Generer sæt af en gruppe

Genereringssættet af en gruppe (eller sættet af generatorer [1] eller systemet af generatorer ) er en delmængde , således at hvert element kan skrives som produktet af et endeligt antal elementer og deres invers. $G$ $S$ $G$ $G$ $S$

Definition

Lad være en delmængde af gruppen . Vi definerer — en undergruppe genereret af — som den mindste undergruppe , der indeholder alle elementer af , det vil sige skæringspunktet mellem alle undergrupper, der indeholder . Tilsvarende er en undergruppe af alle elementer , der kan repræsenteres som endelige produkter af elementer og deres invers . $S$ $G$ $\langle S\rangle$ $S$ $G$ $S$ $S$ $\langle S\rangle$ $G$ $S$

Hvis , så siger vi, at det genererer en gruppe . Elementerne kaldes generatorer af gruppen. Hvis en gruppe har et endeligt sæt af generatorer, kaldes det en endeligt genereret gruppe . $G=\langle S\rangle$ $S$ $G$ $S$ $G$

Noter

Bemærk, at hvis den er tom, så er den per definition en triviel gruppe bestående af et neutralt element. $S$ $\langle S\rangle$

Når det kun indeholder ét element , skrives det normalt i stedet for . I dette tilfælde er en cyklisk undergruppe af grader i . $S$ $x$ $\langle x\rangle$ $\langle \{x\}\rangle$ $\langle x\rangle$ $x$ $G$

Generering af semigrupper og monoider

For det tilfælde, hvornår er en semigruppe eller en monoid, kan man også introducere et lignende koncept for et generatorsæt: genererer som en semigroup eller monoid, hvis det er henholdsvis en minimal semigroup eller en minimal monoid, der indeholder . $G$ $S$ $G$ $G$ $S$

En sådan definition kan også udtrykkes i sproget for elementrepræsentation som en kombination. For en semigruppe kan vi sige, at det er et generatorsæt, hvis hvert element kan repræsenteres som et endeligt produkt af elementer fra . For en monoid kan vi sige, at det er et generatorsæt, hvis hvert element , undtagen det neutrale, kan repræsenteres som et endeligt produkt af elementer fra . $S$ $G$ $S$ $S$ $G$ $S$

På grund af forskellen i definitioner kan det samme sæt generere i én forstand, men ikke i en anden. For eksempel, for en monoid af ikke-negative heltal, vil generatorsættet være , men for en semigruppe er det ikke længere et generatorsæt, da 0 ikke kan repræsenteres som en sum af enheder. Tilsvarende er en gruppe et generatorsæt, men ikke for en monoid, da definitionen af et generatorsæt for en monoid ikke inkluderer at tage invers. $(\mathbb {N} _{\geq 0},+)$ $S=\{1\}$ $(\mathbb {N} _{\geq 0},+)$ $S$ $\mathbb {Z}$ $\{en\}$

Generer sæt af en gruppe

Definition

Noter

Generering af semigrupper og monoider

Se også

Noter

Litteratur