Gruppeobjekt

Et gruppeobjekt er en generalisering af begrebet en gruppe til et objekt af en vilkårlig kategori , i mange tilfælde kan et gruppeobjekt forstås som en gruppe med en yderligere struktur. Et typisk eksempel er en topologisk gruppe , som har en topologisk rumstruktur i overensstemmelse med gruppestrukturen, i den forstand at gruppedriften er kontinuerlig .

Definition

Lad C være en kategori med et terminalobjekt 1, hvori der for to vilkårlige objekter findes deres produkt . Et gruppeobjekt i C er et objekt G af kategori C sammen med en tripel af morfismer :

m : G × G → G (morfismen svarende til "gruppeoperationen")
e : 1 → G ("indlejring af identitetselementer")
inv : G → G ("tager det omvendte element"),

for hvilke følgende egenskaber skal være gældende (svarende til gruppens aksiomer):

m er associativ, det vil sige, og er den samme morfisme (her identificerer vi kanonisk og ); $m\cirkel (m\gange\mathrm{id}_G)$ $m\cirkel (\mathrm{id}_G \ gange m)$ $G\ gange G\ gange G\ til G$ $(G\ gange G)\ gange G$ $G\ gange (G\ gange G)$
e er et bilateralt neutralt element , det vil sige, hvor er den naturlige projektion på den anden faktor, og hvor er den naturlige projektion på den første faktor; $m\circ (e\ gange \mathrm{id}_G) = p_2,$ $p_2: 1\gange G\til G$ $m\cirkel (\mathrm{id}_G\ gange e) = p_1,$ $p_1: G\ gange 1 \ til G$
det inverse element er faktisk en invers, det vil sige, hvis d : G → G × G er en diagonal afbildning, og e G : G → G er sammensætningen af den unikke morfisme G → 1 og morfismen e , så $m\circ (\mathrm{id}_G\times \mathrm{inv})\circ d=m\circ (\mathrm{inv}\times \mathrm{id}_G)\circ d=e_G.$

Eksempler

Grupper er nøjagtigt gruppeobjekter i kategorien sæt . Her er m en binær multiplikationsoperation, e er en funktion , der sender singleton -sættet til gruppens identitetselement, inv afbilder det inverse element til gruppeelementet, og e G sender alle elementer i gruppen til identiteten.
En topologisk gruppe er et gruppeobjekt i kategorien topologiske rum og kontinuerlige afbildninger .
Lie -gruppen er et gruppeobjekt i kategorien glatte manifolds og glatte afbildninger .
En algebraisk gruppe er et gruppeobjekt i kategorien algebraiske varianter og regulære afbildninger . I moderne algebraisk geometri betragtes også et mere generelt koncept af et gruppeskema - et gruppeobjekt i kategorien af skemaer .
Gruppeobjekter i kategorien grupper er nøjagtigt abelske grupper . Faktisk, hvis G er en abelsk gruppe, så opfylder m , e og inv , defineret på den sædvanlige måde, egenskaberne for et gruppeobjekt (især da gruppen G er abelsk , følger det, at inv er en homomorfi ). Omvendt, hvis ( G , m , e , inv ) er et gruppeobjekt i kategorien grupper, kan det bevises, at operationen m er den samme som den oprindelige operation på gruppen G , hvilket indebærer, at e og inv også er defineret på sædvanlig vis. Se også Eckmann-Hiltons argumentation.
Hvis C er en kategori med endelige biprodukter (især hvor det oprindelige objekt 0 er coproduktet af det tomme sæt af objekter), er samgruppeobjektet i kategori C et objekt af G sammen med følgende morfismer: "comultiplication" m : G → G G, "tælle" e : G → 0 og "co-inversion" inv : G → G , som opfylder aksiomer, der er dobbelte til aksiomerne for gruppeobjektet anført ovenfor. Samgruppeobjekter opstår naturligt i algebraisk topologi . $\plus$

Se også

Hopf algebraer kan ses som en generalisering af gruppeobjekter til en vilkårlig monoidal kategori .

Gruppeobjekt

Definition

Eksempler

Se også

Links