Glat manifold

En glat manifold er en manifold udstyret med en glat struktur . Glatte manifolder er et naturligt grundlag for at konstruere differentialgeometri . På differentielle manifolder introduceres yderligere infinitesimale strukturer - tangentrum , orientering, metrisk, forbindelse osv., og de egenskaber, der er forbundet med disse objekter, der er invariante under gruppen af diffeomorfismer , der bevarer den yderligere struktur, studeres.

Definition

Lad være et Hausdorff topologisk rum . Hvis der for hvert punkt er dets naboskab , homøomorft til en åben delmængde af rummet , så kaldes det lokalt euklidisk rum eller en topologisk mangfoldighed af dimensioner . $x$ $x\i X$ $U$ $\mathbb {R} ^{n}$ $x$ $n$

Parret , hvor er den angivne homeomorphism, kaldes et lokalt diagram på punktet . Således svarer hvert punkt til et sæt reelle tal , som kaldes koordinater på kortet . Et sæt kort kaldes et manifoldatlas , hvis: $(U,\phi)$ $\phi$ $x$ $x$ $n$ $(x^{1},\ldots,x^{n})$ $(U,\phi)$ $\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \i A,$ $C^k$ $(0\leqslant k\leqslant \infty )$ $x$

helheden af alle omslag , dvs. $U_{\alpha }$ $x$ $X=\kop _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }$
for enhver sådan , kortlægning: $\alfa ,\beta \i A$ $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing$

\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_ {\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta})

er en jævn kortlægning af klassen ;

C^k

{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta ))

er en mapping med en ikke-nul Jacobian og kaldes en mapping af limning af et kort til et kort

(U_{\alpha },\phi _{\alpha })

(U_{\beta },\phi _{\beta}).

To -atlas siges at være ækvivalente , hvis deres forening igen danner et -atlas. Sættet af -atlas er opdelt i ækvivalensklasser, kaldet - strukturer , for - differentielle (eller glatte) strukturer. $C^k$ $C^k$ $C^k$ $C^k$ $1\leqslant k\leqslant \infty$

En topologisk manifold udstyret med en -struktur kaldes en glat manifold . $x$ $C^k$ $C^k$

Noter

Hvis limkortene derudover er analytiske , så giver denne definition en analytisk struktur, nogle gange betegnet med -struktur. ${\displaystyle C^{a))$

Komplekse manifolder

Problemer med analytisk og algebraisk geometri fører til behovet for at overveje i definitionen af en differentiel struktur i stedet for et rum med mere generelle rum eller endda , hvor er et komplet ikke-diskret normeret felt. Så i tilfældet betragter vi holomorfe ( analytiske komplekse) -strukturer ( ) og de tilsvarende glatte manifolds - komplekse manifolds . Desuden har enhver sådan manifold også en naturlig reel analytisk struktur. $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $K^n$ $K$ $K=\mathbb {C}$ $C^k$ $k\geqslant 1$

Kompatible strukturer

På enhver analytisk manifold eksisterer der en -struktur i overensstemmelse med den, og på en -manifold, , -struktur hvis . Omvendt kan enhver paracompact -manifold, , udstyres med en analytisk struktur, der er kompatibel med den givne, og denne struktur (op til isomorfisme ) er unik. Det kan dog ske, at -manifolden ikke kan udstyres med en -struktur, og hvis dette lykkes, så er en sådan struktur måske ikke unik. For eksempel er antallet af -ikke -isomorfe -strukturer på en -dimensionel kugle: $C^\infty$ $C^\infty$ $0\leqslant k\leqslant \infty$ $C^{r}$ $0\leqslant r\leqslant k$ $C^{r}$ $r\geqslant 1$ $C^{0}$ $C^1$ $\theta (n)$ $C^1$ $C^\infty$ $n$

$n$	en	2	3	fire	5	6	7	otte	9	ti	elleve	12
$\theta (n)$	en	en	en		en	en	28	2	otte	6	992	en

Viser

Lade være en kontinuerlig kortlægning af -manifolds ; det kaldes en -morfisme (eller -mapping, eller mapping af klassen ) af glatte manifolds, hvis for et hvilket som helst par af diagrammer på X og på Y , såsom mapping: $f:X\til Y$ $C^{r}$ $X,Y$ $C^k$ $C^k$ $k\leqslant r$ $C^k$ $(U_{\alpha },\phi _{\alpha })$ $(V_{\beta },\psi _{\beta})$ $f(U_{\alpha })\delsæt V_{\beta }$

\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1)):\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta } (V_{\beta })

tilhører klassen . En bijektiv mapping , hvis de er -maps, kaldes en isomorfisme (eller diffeomorfisme ). I dette tilfælde siges og og deres -strukturer at være -isomorfe. $C^k$ $f$ $f^{-1}$ $C^k$ $C^k$ $x$ $Y$ $C^{r}$ $C^k$

Undersæt og indlejringer

En delmængde af en -dimensional -manifold kaldes - en undermanifold af dimension i, hvis der for et vilkårligt punkt eksisterer et -strukturkort , således at og inducerer en homeomorfisme med et (lukket) underrum ; med andre ord er der et kort med koordinater , sådan som er bestemt af relationerne . $Y$ $n$ $C^k$ $x$ $C^k$ $m$ $x$ $y\i Y$ $(U,\phi)$ $C^k$ $x$ $y\in U$ $\phi$ $U\cap Y$ $\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}$ $(x^{1},\ldots,x^{n})$ $U\cap Y$ $x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0$

En mapping kaldes - en indlejring , hvis den er en -undermanifold i og er -diffeomorfisme. $f:X\til Y$ $C^k$ $f(X)$ $C^k$ $Y$ $X\til f(X)$ $C^k$

Enhver dimensionel -manifold tillader en indlejring i såvel som i . Desuden er sættet af sådanne indlejringer overalt tæt i kortlægningsrummet med hensyn til den kompakt-åbne topologi . Betragtningen af glatte manifolder som undermanifolder af det euklidiske rum giver således en af måderne at studere deres teori på, på denne måde etableres for eksempel sætningerne om analytiske strukturer nævnt ovenfor. $n$ $C^k$ $\mathbb{R} ^{{2n+1}}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}.$ $C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}})$

Litteratur

Bourbaki N. Differentierbare og analytiske manifolder. Resumé af resultater / pr. fra fransk G. I. Olshansky. — M .: Mir, 1975. — 220 s.
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Moderne geometri: Metoder og anvendelser. - 2. udg., revideret. - M . : Nauka, Ch. udg. Fysisk.-Matematik. tændt. , 1986. - 760 s.
Kobayashi Sh., Nomizu K. Fundamentals of differential geometri. - M. : Nauka, 1981. - T. 1. - 344 s.
de Ram J. Differentiable manifolds / overs. fra fransk D. A. Vasilkova. - M. : IL, 1956. - 250 s.
Leng S. Introduktion til teorien om differentierbare manifolder / pr. fra engelsk. I. M. Dektyareva. — M .: Mir, 1967. — 203 s.
Narasimhan R. Analyse på reelle og komplekse manifolder / pr. fra engelsk. E. M. Chirki. — M .: Mir , 1971. — 232 s.
Pontryagin LS Smooth manifolds og deres anvendelser i homotopi teori. - 2. udg. — M .: Nauka, 1976. — 176 s.
Postnikov M. M. Introduktion til Morse teori. — M .: Nauka, 1971. — 568 s.
Rokhlin V. A. , Fuchs D. B. Indledende topologiforløb. Geometriske hoveder. — M .: Nauka, 1977. — 487 s.
Whitney X. Geometrisk integrationsteori / pr. fra engelsk. I. A. Vainshtein. - M. : IL, 1960. - 355 s.
Wells R. Differentialregning på komplekse manifolds / pr. fra engelsk. udg. B.S. Mityagin. - M . : Mir, 1976. - 284 s.