Sylows sætninger

I gruppeteori er Sylovs sætninger en ufuldstændig version af den omvendte sætning til Lagranges sætning og garanterer for nogle divisorer af rækkefølgen af gruppe G eksistensen af undergrupper af denne orden. Sætningerne blev bevist af den norske matematiker Sylov i 1872 .

Definitioner

Lade være en endelig gruppe og lad være et primtal , der deler rækkefølgen af . Ordreundergrupper kaldes -undergrupper . $G$ $s$ $G$ $p^t$ $s$

Lad os udskille den maksimale grad af , det vil sige hvor er ikke delelig med , fra rækkefølgen af gruppen . Så er en Sylow -undergruppe en undergruppe af orden . $G$ $s$ $|G| = p^ns$ $s$ $s$ $s$ $G$ $p^{n}$

Sætninger

Lad være en begrænset gruppe. Derefter: $G$

Sylow -undergruppen eksisterer. $s$
Hver -undergruppe er indeholdt i en eller anden Sylow -undergruppe. Alle Sylow -undergrupper er konjugerede (det vil sige, hver er repræsenteret som , hvor er et element i gruppen og er en Sylow-undergruppe fra sætning 1). $s$ $s$ $s$ $gPg^{-1}$ $g$ $P$
Antallet af Sylow -undergrupper er sammenligneligt med unity modulo ( ) og dividerer , hvor og . $s$ $N_p$ $s$ $N_{p}\equiv 1\;{{\rm {mod\,))}s$ $s$ $|G|=p^{k}s$ $(p,s)=1$

Konsekvens

Hvis alle divisorer , undtagen 1, efter at have divideret med giver en anden rest end enhed, så er der en unik Sylow -undergruppe, og den er normal (og endda karakteristisk ). $|G|$ $s$ $G$ $s$

For eksempel: Lad os bevise, at gruppen af ordre 350 ikke kan være enkel . , så Sylow 5-undergruppen har orden 25. skal dividere 14 og er kongruent med 1 modulo 5. Disse betingelser er kun opfyldt af identiteten. Derfor i én Sylow 5-undergruppe, hvilket betyder, at det er normalt, og derfor ikke kan være enkelt. $350 = 2\cdot 5^2\cdot 7$ $N_5$ $G$ $G$

Beviser

Lad være den primære divisor af ordren . $p^{n}$ $s$ $G$

1. Vi beviser sætningen ved induktion på rækkefølgen . Når sætningen er sand. Lad nu . Lad være gruppens centrum . To tilfælde er mulige: $G$ $|G|=p$ $|G|>p$ $Z(G)$ $G$

a) deler sig . Så eksisterer der en cyklisk gruppe i centret (som et element i den primære nedbrydning af centret), der er normal i . Kvotientgruppen af denne cykliske gruppe har en lavere orden end , og derfor indeholder den ifølge induktionshypotesen en Sylow -undergruppe. Lad os overveje dens prototype i . Det vil være Sylow -undergruppen , vi har brug for . $s$ $|Z|$ $\langle a\rangle _{p^{k))$ $G$ $G$ $G$ $s$ $G$ $s$ $G$

b) deler sig ikke . Overvej derefter opdelingen i konjugationsklasser : (da hvis et element ligger i midten, så består dets konjugationsklasse af det alene). Rækkefølgen er delelig med , så der skal være en klasse, hvis rækkefølge ikke er delelig med . Den tilsvarende centralisator har ordre , . Derfor er der ifølge induktionshypotesen en Sylow -undergruppe i den - det vil være den ønskede. $s$ $|Z|$ $G$ $|G| = |Z| + \sum |K_a|$ $G$ $s$ $K_{a}$ $s$ $Z_G(a)$ $p^{n}r$ $r<s$ $s$

2. Lad være en vilkårlig -undergruppe af . Overvej dets handling på sættet af venstre cosets ved venstre skift, hvor er en Sylow -undergruppe. Antallet af elementer i enhver ikke-triviel bane skal være deleligt med . Men det er ikke deleligt med , hvilket betyder at handlingen har et fast punkt . Vi får , og derfor, , det vil sige, ligger helt i en eller anden Sylow -undergruppe. $H$ $s$ $G$ $G/P$ $P$ $s$ $s$ $|G/P|$ $s$ $gP$ $\forall h \in H \quad hga = ga',\quad a,a' \in P$ $h = ga'a^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}$ $H$ $s$

Hvis derudover er en Sylow -undergruppe, så er den konjugeret til . $H$ $s$ $P$

3. Antallet af Sylow p-undergrupper er [G:N G (P)], derfor deler det |G|. Ved sætning 2 er mængden af alle Sylow p-undergrupper X = {gPg -1 }. Overvej virkningen af P på X ved konjugationer. Lad H fra X være et fast punkt under denne handling. Så hører P og H til normalisatoren af undergruppen H og er desuden konjugerede i N G (H) som dens Sylow p-undergrupper. Men H er normal i sin normalisering, så H = P og det eneste faste virkningspunkt er P. Da rækkefølgen af alle ikke-trivielle baner er multipla af p, får vi . $N_p \equiv 1 \pmod s$

At finde Sylow-undergruppen

Problemet med at finde en Sylow-undergruppe af en given gruppe er et vigtigt problem i beregningsgruppeteori . For permutationsgrupper beviste William Cantor, at en Sylow p -undergruppe kan findes i polynomisk tid i problemets størrelse (i dette tilfælde rækkefølgen af gruppen gange antallet af generatorer ).

Litteratur

A. I. Kostrikin. Introduktion til algebra, del III. Moskva: Fizmatlit, 2001.
E. B. Vinberg. Algebra kursus. M.: Factorial-Press, 2002.