Fisher gruppe

Fischer-grupper er tre sporadiske grupper Fi 22 , Fi 23 og Fi 24 introduceret af Bernd Fischer [1] [2] .

Gruppe af 3-permutationer

Fischer-grupper er opkaldt efter Bernd Fischer , som opdagede grupperne, da han undersøgte 3-permutationsgrupper. Disse er G- grupper med følgende egenskaber:

• G er genereret af konjugationsklasser af elementer af orden 2, kaldet "Fischer-permutationer" eller 3-permutationer .
• Produktet af to forskellige permutationer har orden 2 eller 3.

Et typisk eksempel på en 3-permutationsgruppe er den symmetriske gruppe . Den symmetriske gruppe S n kan genereres af n − 1 permutationer — (12), (23), ..., ( n − 1, n ) .

Fischer var i stand til at klassificere grupper af 3-permutationer, der opfylder visse yderligere betingelser. De grupper, han fandt, falder for det meste i nogle uendelige klasser (udover symmetriske grupper inkluderer dette nogle klasser af symplektiske grupper, unitære og ortogonale grupper), og fandt også 3 meget store nye grupper. Disse grupper omtales almindeligvis som Fi 22 , Fi 23 og Fi 24 . De to første af dem er simple grupper, og den tredje indeholder den simple gruppe Fi 24 ′ med indeks 2.

Udgangspunktet for Fischer-grupper er enhedsgruppen PSU 6 (2), der kan betragtes som Fi 21 -gruppen i Fischer-gruppeserien. Denne gruppe har rækkefølgen 9.196.830.720 = 2 15 ⋅3 6 ⋅5⋅7⋅11 . Faktisk bliver dobbeltdækslet 2.PSU 6 (2) en undergruppe af den nye gruppe. Det er stabilisatoren af ​​et toppunkt i en graf med 3510 (= 2⋅3 3 ⋅5⋅13) hjørner. Disse hjørner er defineret som konjugerede 3-permutationer i symmetrigruppen Fi 22 i grafen.

Fischer-grupperne er navngivet i analogi med de store Mathieu-grupper . I Fi 22 har det maksimale sæt af 3-permutationer, der pendler med hinanden, størrelse 22 og kaldes basissættet . Der er 1024 3-permutationer, kaldet en anabasis , som ikke pendler med nogen permutation i det valgte basissæt. Enhver permutation af de resterende 2364 permutationer, kaldet hexavalent , pendler med de 6 basispermutationer. Sættene med 6 permutationer danner Steiner-systemet S(3,6,22), hvis symmetrigruppe er M 22 . Basissættet genererer en Abelsk gruppe af orden 2 10 , som udvides i Fi 22 til undergruppen 2 10 :M 22 .

Den følgende Fisher-gruppe er opnået fra 2.Fi 22 som en etpunkts grafstabilisator med 31671 (= 3 4 ⋅17⋅23) hjørner, når toppunkterne fortolkes som 3-permutationer i Fi 23 -gruppen . 3-permutationer har basissæt af størrelse 23, og 7 permutationer pendler med en given ydre 3-permutation.

Den næste gruppe tager Fi 23 som en etpunkts grafstabilisator med 306936 (= 2 3 ⋅3 3 ⋅7 2 ⋅29) hjørner for at danne Fi 24 . 3-permutationerne har basissæt af størrelse 24, og 8 af de 24 permutationer pendler med den givne ydre 3-permutation. Gruppe Fi 24 er ikke en simpel gruppe, men dens undergruppe har indeks 2 og er en sporadisk simpel gruppe.

Betegnelse

Der er ikke en enkelt betegnelse for disse grupper. Nogle forfattere bruger F i stedet for Fi (f.eks. F 22 ). Fischer brugte betegnelserne M(22), M(23) og M(24)′, hvilket understregede deres tætte forhold til de tre største Mathieu-grupper M 22 , M 23 og M 24 .

En kilde til forvirring er Fi 24 . Denne notation bruges nogle gange til den simple gruppe Fi 24 ′, og nogle gange for den fulde 3-permutationsgruppe (dobbelt så stor).

Generaliseret monstrøst nonsens

Conway og Norton foreslog et papir i 1979, hvor de argumenterede for, at den monstrøse nonsensteori [3] ikke var begrænset til Monster-gruppen, og at lignende fænomener blev fundet for andre grupper. Larissa Quinn og andre har fundet ud af, at det er muligt at konstruere en udvidelse af mange Hauptmoduln (mastermoduler) [4] ud fra simple kombinationer af sporadiske gruppedimensioner.

Noter

1. ↑ Fischer, 1971 .
2. ↑ Fischer, 1976 .
3. ↑ Monstrøs nonsensteori udforsker uventede forbindelser mellem "Monster"-gruppen og modulære funktioner
4. ↑ Generelt er Hauptmoduln et udtryk, der kommer fra det tyske sprog. Bogstaveligt talt - hovedmodulet. På engelsk bruges det til at betegne de globale uniformeringsparametre for nogle udvidede modulære grupper i teorien om Monstrøs Nonsens.

Litteratur

• Michael Aschbacher. 3-transponeringsgrupper . - Cambridge University Press , 1997. - V. 124. - (Cambridge Tracts in Mathematics). - ISBN 978-0-521-57196-8 . - doi : 10.1017/CBO9780511759413 . Indeholder et komplet bevis for Fishers sætning.
• Bernard Fischer. Finite grupper genereret af 3-transpositioner. I // Inventiones Mathematicae . - 1971. - T. 13 , no. 3 . — S. 232–246 . — ISSN 0020-9910 . - doi : 10.1007/BF01404633 . Den første del af Fishers fortryk med opbygningen af ​​hans grupper. Resten af ​​artiklen forblev upubliceret (fra 2010).
• Bernard Fischer. Finite Groups genereret af 3-transpositioner . - Mathematics Institute, University of Warwick, 1976. - (Preprint).
• Robert A. Wilson. De endelige simple grupper. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2009. - V. 251. - (Graduate Texts in Mathematics). - ISBN 978-1-84800-987-5 . - doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 .
• Wilson RA ATLAS fra Finite Group Repræsentation . Arkiveret fra originalen den 4. december 2017.