Semigruppe

En semigruppe generelt algebra er et sæt med en associativ binær operation defineret på den . Der er uenighed om, hvorvidt kravet om ikke-tomhed skal inkluderes i definitionen af en semigruppe; nogle forfattere insisterer endda på behovet for et neutralt element ("et"). Den mere almindelige tilgang er dog, at en semigruppe ikke nødvendigvis er ikke-tom og ikke nødvendigvis indeholder et neutralt element. En halvgruppe med et neutralt element kaldes en monoid ; enhver semigruppe , der ikke indeholder et neutralt element, kan omdannes til et monoid ved at tilføje et element til det og definere det resulterende monoid, normalt betegnet som . $(S,\cdot )$ $S$ $e\ikke \i S$ $es=s=se\ \forall s\in S\cup \{e\};$ $S^{1}$

Eksempler på semigrupper: naturlige tal med additionsoperationen , mængden af alle afbildninger af en mængde til sig selv med kompositionsoperationen , mængden af alle ord over et eller andet alfabet med sammenkædningsoperationen . Enhver gruppe er også en semigruppe; Et ideal for en ring er altid en halvgruppe under multiplikation.

Definition

En semigruppe er et (ikke-tomt) sæt , hvor for ethvert par af elementer taget i en bestemt rækkefølge defineres et nyt element, kaldet deres produkt , og for enhver altid [1] . ${\mathfrak {U}}$ $X,Y\in {\mathfrak {U}}$ $U=XY\in {\mathfrak {U}}$ $X,Y,Z\in {\mathfrak {U}}$ $(XY)Z=X(YZ)$

Typer af semigrupper

En semigruppe kaldes kommutativ (eller abelsk ), hvis den altid gælder for nogen . ${\mathfrak {U}}$ $A,B\in {\mathfrak {U}}$ $AB=BA$

Vigtige klasser danner semigrupper med reduktion [2] :

med venstre sammentrækning, hvis nogen af altid indebærer ; $X,A,B\in {\mathfrak {U}}$ $XA=XB$ $A=B$
med ret sammentrækning, hvis nogen af det altid indebærer ; $Y,A,B\in {\mathfrak {U}}$ $AY=BY$ $A=B$
med bilateral aflysning , hvis det er en semigruppe med både venstre og højre aflysning på samme tid.

Et element i en semigruppe kaldes regulært , hvis der er et element i sådan , at . En halvgruppe, hvis elementer alle er regulære, kaldes en regulær halvgruppe . $EN$ ${\mathfrak {U}}$ ${\mathfrak {U}}$ $x$ $AXA=A$

Et element i en semigruppe siges at være helt regulært , hvis der er et element i sådan , at og . En fuldstændig regulær halvgruppe er en halvgruppe, hvis elementer alle er fuldstændig regulære [3] . $EN$ ${\mathfrak {U}}$ ${\mathfrak {U}}$ $x$ $AXA=A$ $AX=XA$

En semigruppe , hvori der for nogen derinde altid eksisterer sådan , at og , er en gruppe . ${\mathfrak {U}}$ $A,B\in {\mathfrak {U}}$ ${\mathfrak {U}}$ $X,Y$ $XA=B$ $AY=B$

Semigruppestruktur

Hvis , så er det sædvanligt at betegne . $A,B\undersæt S$ $AB=\{ab\mid a\in A,b\in B\}$

En undergruppe af en halvgruppe kaldes en undergruppe, hvis den selv er en halvgruppe med hensyn til begrænsningen af operationen til en undergruppe. Til dette er det tilstrækkeligt, at for alle to elementer fra deres produkt også tilhører . $EN$ $S$ $EN$ $EN$

Hvis delmængden ikke er tom og (henholdsvis ) ligger i , så kaldes det højre (henholdsvis venstre) ideal af . Hvis er både et venstre- og et højreideal, så kaldes det et tosidet ideal, eller blot et ideal. $EN$ $AS$ $SA$ $EN$ $EN$ $EN$

Skæringspunktet og foreningen af enhver familie af undersemigrupper er også en undersemigruppe; det følger heraf, at underhalvgrupperne danner et komplet gitter . Et eksempel på en semigruppe, hvor der ikke er noget minimalt ideal, er positive heltal med additionsoperationen. Hvis der er et mindst ideal, og semigruppen er kommutativ, så er det en gruppe.

På grund af associativitet kan man korrekt definere den naturlige grad af et element i en semigruppe som:

a^{n}={\overset {n}{\overbrace {a\cdot a\cdot \dots \cdot a)) }}

For graden af et element er forholdet sandt . $a^{{m+n}}=a^{m}\cdot a^{n},(a^{n})^{m}=a^{{nm}},\forall n,m\in {\mathbb N}$

Et særligt tilfælde af semigrupper er semigrupper med division , hvori for hver to elementer og højre og venstre kvotienter er defineret. $-en$ $b$ $(a/b)$ $(b/a)$

En endelig halvgruppe har altid en idempotent (et element for hvilket ). $aa=a$

En semigruppehomomorfi er en kortlægning, der bevarer strukturen af en semigruppe. En kortlægning fra en semigruppe til en semigruppe kaldes nemlig en homomorfi, hvis . To semigrupper og siges at være isomorfe , hvis der eksisterer en bijektiv homomorfi . $f$ $R$ $S$ $\foralt a,b\in S\ f(ab)=f(a)f(b)$ $S$ $T$ $f\kolon S\til T$

Greens relationer

I 1951 introducerede James Green fem fundamentale ækvivalensrelationer på en semigruppe. De viste sig at være afgørende for at forstå semigruppen både lokalt og globalt. Greens relationer på en semigruppe er defineret af følgende formler: $S$

aRb\Leftrightarrow aS^{1}=bS^{1}

aLb\Leftrightarrow S^{1}a=S^{1}b

aJb\Leftrightarrow S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}

H=L\cap R

D=R\vee L

Det følger direkte af definitionen, at der er en højrekongruens og en venstrekongruens. Det er også kendt, at . Et af de mest fundamentale udsagn i teorien om semigrupper er Greens lemma, som siger, at hvis elementer og er R-ækvivalente, , sådan at , og er de tilsvarende højreforskydninger, så er de gensidigt omvendte bijektioner på henholdsvis og omvendt. De bevarer også H-klasserne. $R$ $L$ $D=R\cirkel L=L\cirkel R$ $-en$ $b$ $u$ $v$ $au=b$ $bv=a$ $p_{u},p_{v}$ $p_{u},p_{v}$ $L_{a}$ $L_{b}$

Noter

↑ Lyapin, 1960 , s. 28.
↑ Lyapin, 1960 , s. 29.
↑ Lyapin, 1960 , s. 104.

Litteratur

Shevrin L. N. . Kapitel IV. Semigrupper // Generel Algebra / Under det generelle. udg. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 11-191. - 480 s. — (Matematisk referencebibliotek). — 25.000 eksemplarer. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Lyapin E. S. Semigroups. - M. : Fizmatlit, 1960. - 592 s.