Klein Quadruple Group

Klein firdobbelt gruppe er en fjerde ordens ikke- cyklisk endelig kommutativ gruppe , der spiller en vigtig rolle i generel algebra, kombinatorik og geometri. Normalt betegnet eller (fra det. Vierergruppe - quad gruppe). Først beskrevet og studeret af Felix Klein i 1884 . $V$ $V_{4}$

Cyklusgraf for Klein firdobbelt gruppe
Cayley-grafen for Klein-firegruppegruppen

En binær operation mellem elementer (en enhed er et neutralt element i en gruppe) er givet af følgende Cayley-tabel [1] : $\{1,a,b,ab\}$

{\begin{array}{c||rrrr|}\cdot &1&a&b&ab\\\hline 1&1&a&b&ab\\a&a&1&ab&b\\b&b&ab&1&a\\ab&ab&b&a&1\\\end{array))

Rækkefølgen af hvert ikke-et element er 2, så gruppen er ikke cyklisk . Er et direkte produkt af andenordens cykliske grupper ; den mindste ikke-cykliske gruppe i rækkefølge. $C_{2}\ gange C_{2}$

Det er den enkleste dihedrale gruppe [2] . Enhver fjerde - ordens gruppe er isomorf til enten en cyklisk gruppe eller en firedobbelt Klein-gruppe. Den symmetriske gruppe har, udover sig selv og enhedsundergruppen , kun to normale undergrupper - den alternerende gruppe og Klein-fire-gruppen , bestående af permutationer [2] . $D_{2}$ $S_{4}$ $A_{4}$ $V_{4}$ $(),(12)(34),(13)(24),(14)(23)$

Det forekommer i mange dele af matematikken, eksempler på grupper, der er isomorfe til det:

indstillet med bitvis eksklusiv ELLER- operation ; $\{0,1,2,3\}$
reduceret system af rester modulo 8, bestående af klasserne 1, 3, 5, 7 og modulo 12, bestående af klasserne 1, 5, 7, 11;
symmetrigruppe af en rombe i tredimensionelt rum, bestående af 4 transformationer: identitet, rotation på og to refleksioner om diagonaler [3] . $180^{\cirkel }$
gruppen af rotationer af tetraederet gennem en vinkel omkring alle tre kantmedianer (sammen med den identiske rotation) [4] . $\pi$

Noter

↑ Aleksandrov, 1980 , kap. 1 "Begrebet gruppe", punkt 2 "Indledende eksempler", punkt 4 "Klein gruppe af fjerde orden", s. 23.
↑ 1 2 V. F. Zaitsev. s. 2, Diskrete transformationsgrupper // Introduktion til moderne gruppeanalyse. - Sankt Petersborg. , 1996. - S. 10.
↑ Aleksandrov, 1980 , kap. 5 "De simpleste selvtilfældige grupper", s. 3 "Vendingsgrupper af en regulær pyramide og en dobbeltpyramide", s. 3 "Tilfældet med degeneration: grupper af rotationer af et segment og en rombe", s. 71.
↑ Aleksandrov, 1980 , kap. 5 "Simple selvsammenfaldsgrupper", punkt 3 "Vendegrupper af regulær pyramide og dobbeltpyramide", punkt 4 "Regulær tetraederrotationsgruppe", s. 75.

Litteratur

P. S. Alexandrov . Introduktion til gruppeteori. - M. : Nauka, 1980. - 144 s. Med. — (Bibliotek Kvant, hæfte 7).
F. Klein . Forelæsninger om icosahedron og løsning af ligninger af femte grad. — M .: Nauka , 1989. — 336 s.