Grundlæggende gruppe

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. september 2022; verifikation kræver 1 redigering .

En fundamental gruppe er en bestemt gruppe , der er forbundet med et topologisk rum . Groft sagt måler denne gruppe antallet af "huller" i rummet. Tilstedeværelsen af et "hul" er bestemt af umuligheden af kontinuerligt at deformere en lukket kurve til et punkt.

Den grundlæggende gruppe af et rum er normalt betegnet med eller , sidstnævnte notation gælder for forbundne rum. Den grundlæggende gruppes trivialitet skrives normalt som , selvom notationen er mere passende. $x$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi _{1}(X)$ $\pi _{1}(X)=0$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)=\{1\))$

Definition

Lad være et topologisk rum med markeret punkt . Overvej sættet af løkker i fra ; det vil sige sættet af kontinuerlige afbildninger sådan, at . To sløjfer og betragtes som ækvivalente, hvis de er homotopiske med hinanden i klassen af sløjfer, det vil sige, at der er en homotopi, der forbinder dem , der opfylder egenskaben . De tilsvarende ækvivalensklasser (betegnet ) kaldes homotopiklasser . Produktet af to sløjfer er en sløjfe bestemt af deres successive passage: $x$ $x_{0}\i X$ $x$ $x_{0}$ $f\kolon [0,1]\til X$ $f(0)=x_{0}=f(1)$ $f$ $g$ $f_t$ $f_{t}(0)=x_{0}=f_{t}(1)$ $[f]$

(f*g)(t)={\begin{cases}f(2t),~t\i [0,{1 \over 2}]\\g(2t-1),~t\i [{1 \over 2},1]\end{cases}}

Produktet af to homotopiklasser er homotopiklassen af et produkt af sløjfer. Det kan påvises, at det ikke afhænger af valget af sløjfer i klasserne. Sættet af homotopi loop klasser med et sådant produkt bliver en gruppe . Denne gruppe kaldes den grundlæggende gruppe af det markerede punktrum og er betegnet med . $[f]$ $[g]$ $[f*g]$ $x$ $x_{0}$ $\pi _{1}(X,x_{0})$

Kommentarer

En pro kan opfattes som et par mellemrum . $(X,x_{0})$ $(X,\{x_{0}\})$
Enheden for gruppen er klassen af den identiske eller faste sløjfe, det omvendte element er klassen af sløjfen, der krydses i den modsatte retning.
Hvis er et sti-forbundet rum , så, op til isomorfisme, er den grundlæggende gruppe ikke afhængig af det markerede punkt. Derfor kan man for sådanne mellemrum skrive i stedet uden frygt for at skabe forvirring. For to punkter eksisterer der dog kun en kanonisk isomorfi mellem og , hvis den grundlæggende gruppe er abelsk. $x$ $\pi _{1}(X)$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $x,y\i X$ $\pi_{1}(X,x)$ $\pi _{1}(X,y)$

Relaterede definitioner

Hver kontinuerlig kortlægning af spidse rum inducerer en homomorfi defineret af formlen . At tage den grundlæggende gruppe sammen med den beskrevne operation danner således en funktion . $\varphi :(X,x_{0})\til (Y,\varphi (x_{0}))$ $\varphi _{*}=\pi _{1}\varphi :\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,\varphi (x_{0}))$ $\varphi _{*}[f]=[\varphi f]$ $\pi _{1}:{\mathbf {hTop}}\to {\mathbf {Grp}}$

Et rum kaldes simpelthen forbundet , hvis det er stiforbundet, og gruppen er triviel (består kun af én). $x$ $\pi _{1}(X)$

Eksempler

B har kun én homotopi loop-klasse. Derfor er grundgruppen triviel, . Det samme gælder for ethvert mellemrum - en konveks delmængde af . $\mathbb {R} ^{n}$ $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{n})=0$ $\mathbb {R} ^{n}$

I en cirkel består hver homotopi-klasse af løkker, der snor sig rundt om cirklen et givet antal gange, hvilket kan være positivt eller negativt afhængigt af retningen. Derfor er den grundlæggende gruppe af cirklen isomorf til den additive gruppe af heltal . ${\mathbb S}^{1}$ $\mathbb {Z}$

Den grundlæggende gruppe i den dimensionelle sfære er triviel for alle . $n$ ${\mathbb S}^{n}$ $n\geq 2$

Den grundlæggende gruppe af de otte er ikke-abelsk - det er et gratis produkt . Et mere generelt resultat er gyldigt, som følger af van Kampens sætning : hvis og er stiforbundne rum og er lokalt blot forbundet, så er grundgruppen af deres buket (limning på et udvalgt punkt) isomorf til det frie produkt af deres grundlæggende grupper: $\mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1}$ $\mathbb {Z} *\mathbb {Z}$ $x$ $Y$ $\pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).$

Den grundlæggende gruppe af flyet med punkterede punkter er en fri gruppe med generatorer. $\mathbb {R} ^{2}$ $n$ $n$

Grundgruppen af en orienteret lukket overflade af slægten kan gives af generatorer med en enkelt relation :. $g$ $a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}$ $a_{1}b_{1}a_{1}^{{-1}}b_{1}^{{-1}}\dots a_{g}b_{g}a_{g}^{{-1} }b_{g}^{{-1}}=1$

Egenskaber

Den grundlæggende gruppe af et rum afhænger kun af dets homotopi type .
- Det omvendte gælder for stiforbundne asfæriske rum ; se også K(G,n) mellemrum .

Hvis er en tilbagetrækning , der indeholder et markeret punkt , så er homomorfi induceret af indlejringen injektiv . $EN$ $x$ $x_{0}$ $i_{*}:\pi _{1}(A,x_{0})\til \pi _{1}(X,x_{0})$ $i:A\hookrightarrow X$
- Især den grundlæggende gruppe af den sti-forbundne komponent, der indeholder det markerede punkt, er isomorf med den fundamentale gruppe af alt . $x$ $x$
- Hvis er en
streng deformation tilbagetrækning , så er en isomorfisme. $EN$ $x$ $i_{*}:\pi _{1}(A,x_{0})\til \pi _{1}(X,x_{0})$

$\pi_{1}$ bevarer produktet : for ethvert par topologiske rum med markerede punkter og der er en isomorfi $(X,x_{0})$ $(Y,y_{0})$ $\pi _{1}(X\ gange Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi _{1}(X,x_{0})\ gange \pi _{1}(Y ,y_{0}),$

naturligt i og .

(X,x_{0})

(Y,y_{0})

Van Kampens sætning : Hvis er foreningen af stiforbundne åbne mængder , som hver indeholder et markeret punkt , og hvis hvert skæringspunkt er stiforbundet, så er homomorfi induceret af indlejringer surjektiv. Derudover, hvis hvert skæringspunkt er stiforbundet, så er homomorfikernen den mindste normale undergruppe , der indeholder alle elementer i formen (hvor induceret af indlejringen ), og inducerer derfor en isomorfi ( den første isomorfismesætning ). [1] Især $x$ $A_{\alpha}$ $x_{0}\i X$ $A_{\alpha }\cap A_{\beta }$ $\Phi :\ast _{\alpha }\pi _{1}(A_{\alpha })\to \pi _{1}(X)$ $A_{\alpha }\hookrightarrow X$ $A_{\alpha }\cap A_{\beta}\cap A_{\gamma }$ $\Phi$ $N$ $i_{{\alpha \beta }}(\omega )i_{{\beta \alpha }}(\omega )^{{-1}}$ $i_{{\alpha\beta))$ $A_{\alpha }\cap A_{\beta }\hookrightarrow A_{\alpha }$ $\Phi$ $\pi _{1}(x)\cong \ast _{\alpha }\pi _{1}(A_{\alpha })/N$
- $\pi_{1}$ bevarer biprodukter : naturligt over alt . $\pi _{1}(\bigvee _{\alpha }X_{\alpha })\cong \ast _{\alpha }\pi _{1}(X_{\alpha })$ $X_{\alpha }$
- (tilfælde af to ): betingelsen for tredobbelte kryds bliver overflødig, og det viser sig, at , som er en afgrænset (stiforbundet tilfælde ) form for bevarelse af
stød . $A_{\alpha}$ $\pi _{1}(A_{1}\kop A_{2})\cong \pi _{1}(A_{1}){\mathbin {\ast _{{\pi (A_{1}\cap A_{2})}}}}\pi _{1}(A_{2})$ $A_{1}\cap A_{2}$

Den grundlæggende gruppe i en topologisk gruppe er Abelian, som Eckmann-Hilton-argumentet demonstrerer .

Frie grupper og kun de kan realiseres som fundamentale grupper af grafer (så sandelig, at trække et spændende træ sammen til et punkt realiserer homotopi-ækvivalensen af en graf og en masse cirkler , man kan også anvende van Kampens sætning).

En vilkårlig gruppe kan realiseres som den grundlæggende gruppe af et todimensionelt cellekompleks .

En vilkårlig endelig given gruppe kan realiseres som den grundlæggende gruppe af en lukket 4-manifold.

Den grundlæggende gruppe af et rum virker ved skift på den universelle dækning af dette rum (hvis den universelle dækning er defineret).

Variationer og generaliseringer

Grundgruppen er den første af homotopigrupperne .
Den fundamentale groupoid af et rum er en groupoid , hvis objekter er punkter, og hvis morfismer er homotopiske stiklasser med stisammensætning. Desuden , og hvis er sti-forbundet, så er indlejringen en ækvivalens af kategorierne . $x$ $\Pi(X)$ $x$ $\pi _{1}(X,x_{0})\cong \operatørnavn {Aut}_({\Pi (X)))x_{0}$ $x$ $\pi _{1}(X,x_{0})\hookrightarrow \Pi (X)$

Noter

↑ A. Hatcher , Algebraisk topologi, M.: MTsNMO, 2011.

Litteratur

Vasiliev V. A. Introduktion til topologi. - M. : FAZIS, 1997. - 132 s. — ISBN 5-7036-0036-7 .
Matveev SV Fundamental gruppe: Forelæsninger på kurset "Topologi". - Chelyabinsk: ChelGU, 2001. - 16 s. (der er en pdf)
Fomenko Anatoly Timofeevich. Differentialgeometri og topologi (yderligere kapitler). - R&C dynamic, 1999. - 250 s.