Conway grupper

Conway-grupperne er de tre sporadiske simple grupper Co 1 , Co 2 og Co 3 introduceret af Conway sammen med den endelige gruppe Co 0 [1] [2] forbundet med dem .

Den største af Conway-grupperne, Co 0 , er automorfigruppen i Leach-gitteret . Denne gruppe er i orden $\lambda$

8.315.553.613.086.720.000

Det er ikke en simpel gruppe. Simpel gruppe Co of order 1

4.157.776.806.543.360.000

er defineret som faktorgruppen af gruppen Co 0 ved dens centrum , som består af skalarmatricer ±1.

Det skalære produkt på Leach-gitteret er defineret som 1/8 af summen af produkterne af de tilsvarende koordinater af de to multiplicerede vektorer. Dette er et heltal. Den kvadratiske norm for en vektor er lig med skalarproduktet af vektoren og sig selv, altid et lige heltal. Man taler ofte om typen af Leach gittervektoren, som er lig med halvdelen af normen. Undergrupperne er ofte navngivet efter typerne af de tilsvarende fikspunkter. Gitteret har ingen vektorer af type 1.

Grupperne Co 2 (af størrelsesordenen 42.305.421.312.000 ) og Co 3 (af størrelsesordenen 495.766.656.000 ) består af automorfier, der bevarer henholdsvis type 2-vektorer og type 3-vektorer. Da multiplikation med skalaren −1 ikke bevarer nogen ikke-nul vektor, er disse to grupper isomorfe til undergrupper af Co 1 . $\lambda$

Historie

Thomas Thompson [3] beskrev, hvordan John Leach undersøgte den tætte pakning af kugler i højdimensionelle euklidiske rum omkring 1964 . En af Leachs opdagelser var et gitter-stabling i 24-dimensionelt rum, baseret på det, der kom til at blive kaldt Leach-gitteret . Han besluttede at finde ud af, om gitterets symmetrigruppe indeholdt interessante enkle grupper, men følte, at han havde brug for hjælp fra nogen, der var mere vidende om gruppeteori. Han søgte efter sådan en i lang tid, men matematikere havde travlt med deres egne opgaver. John Conway gik med til at se på opgaven. John G. Thompson udtalte, at han ville deltage i arbejdet, hvis Conway fandt rækkefølgen af gruppen . Conway troede, at han ville bruge måneder eller år på problemet, men han fik resultatet på få dage. $\lambda$

Witt [4] hævdede, at han havde fundet Leach-gitteret i 1940, og antydede, at han havde beregnet rækkefølgen af dens automorfigruppe Co 0 .

Monomial undergruppe N i gruppen Co 0

Conway begyndte sin forskning i Co 0 med en undergruppe, han kaldte N . Det er en holomorf den (udvidede) binære Golay-kode , repræsenteret som et sæt diagonale matricer c 1 eller −1 på diagonalen, det vil sige dens forlængelse med Mathieu-gruppen M 24 (hvis elementer er repræsenteret som permutationsmatricer ). N = 212 : M24 .

Standardrepræsentationen af den binære Golay-kode, der bruges i denne artikel, arrangerer 24 koordinater, således at 6 på hinanden følgende blokke af 4 (tetrader) danner en sekstet .

Matricer af Co 0 - gruppen er ortogonale . Det vil sige, at de efterlader prikproduktet uændret. Den inverse matrix er dens transponering . Co 0 indeholder ikke matricer med determinant −1.

Leach-gitteret kan defineres som Z - modulet genereret af sættet af alle type 2-vektorer bestående af $\Lambda _{2}$

(4, 4, 0 22 ) (2 8 , 0 16 ) (−3, 1 23 )

og deres billeder under handling af N . under påvirkning af N henfalder det i 3 baner af størrelse 1104, 97152 og 98304. Derefter . Conway havde en kraftig mistanke om, at Co 0 var transitiv den , og desuden opdagede han en ny matrix, hverken monomial heltal. $\Lambda _{2}$ $|\Lambda _{2}|=196560=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 13$ $\Lambda _{2}$

Lad være en 4×4 matrix $\eta$

{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1 \end{pmatrix}}

Lad nu være en 6-blok matrix med et ulige tal og [5] [6] . er en symmetrisk og ortogonal matrix, og er derfor en involution . Det permuterer vektorer mellem forskellige baner i gruppen N . $\zeta$ $\eta$ $-\eta$ $\zeta$

For at beregne er det bedst at overveje et sæt af vektorer af type 4. Enhver type 4-vektor er nøjagtig en af 48 vektorer af type 4, der kan sammenlignes med hinanden modulo , som falder ind i 24 ortogonale par . Et sæt af 48 sådanne vektorer kaldes en ramme . N har en standardramme på 48 vektorer af formen (±8, 0 23 ) som en bane . Undergruppen, der fikserer den givne ramme, er konjugeret til N . Gruppen 2 12 , som er isomorf i forhold til Golay-koden, fungerer som en fortegnsvending af rammevektorerne, mens M 24 permuterer de 24 par af rammen. Co 0 kan påvises at være transitiv på . Conway multiplicerede grupperækkefølgen N og antallet af frames, sidstnævnte er lig med forholdet . Dette produkt er i rækkefølgen af enhver undergruppe af Co 0 , der strengt taget indeholder N . Derfor er N en maksimal undergruppe af gruppen Co 0 og indeholder Sylow 2-undergrupper af gruppen Co 0 . N er også en undergruppe Co 0 af alle matricer med heltalsindtastninger. $|\mathrm {Co} _{0}|$ ${\displaystyle \Lambda _{4))$ $2\Lambda$ ${\displaystyle \{v,-v\))$ ${\displaystyle \Lambda _{4))$ $2^{12}|\mathrm {M} _{24}|$ $|\Lambda _{4}|/48=8252375=3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 13$

Da det inkluderer vektorer af formen (±8, 0 23 ) , består Co 0 af rationelle matricer, hvori alle nævnere deler 8. $\lambda$

Den mindste ikke-trivielle repræsentation af gruppen Co 0 over ethvert felt er 24-dimensionel, der stammer fra Leach-gitteret, og det er nøjagtigt over felter med karakteristik forskellig fra 2.

Involutioner i Co 0

Enhver involution i Co 0 kan påvises at være konjugeret til et element i Golay-koden. Co 0 har 4 konjugationsklasser af involutioner.

En permutationsmatrix af formen 2 12 kan påvises at være konjugeret til dodecader . Dens centralisator [7] har formen 2 12 :M 12 og har konjugationer inde i den monomiale undergruppe. Enhver matrix i denne konjugerede klasse har spor 0.

En permutationsmatrix af formen 2 8 1 8 kan påvises at være konjugeret til en oktad . Den har spor 8. Den og dens modsætning (spor −8) har en fælles centralisator af formen , en maksimal undergruppe i Co 0 . $(2^{1+8}\ gange 2).\mathrm {O} _{8}^{+}(2)$

Undergittergrupper

Conway og Thompson fandt ud af, at de fire nyligt fundne sporadiske simple grupper beskrevet i konferenceoplægget [8] er isomorfe for undergrupper eller faktorgrupper af undergrupper af Co 0 .

Conway brugte selv notationen til punktstabilisatorer og underrum ved at sætte en prik foran den. Undtagelserne var •0 og •1 , nu kendt som Co 0 og Co 1 . For et helt tal , lad betegne stabilisatoren af punkter af typen n (se ovenfor) i Leach-gitteret. $\mathbf {n} \geqslant 2$ ${\boldsymbol {\cdot ))\mathbf {n}$

Conway introducerede derefter navne for planstabilisatorer defineret af trekanter med oprindelsen som toppunktet. Lad •hkl være den punktvise stabilisator af en trekant med kanter (toppunktsforskelle) af typen h , k og l . I de simpleste tilfælde er Co 0 transitiv på punkter eller trekanter, og stabilisatorgrupper er defineret op til konjugation.

Conway identificerede •322 med McLaughlin-gruppen McL (ordre 898.128.000 ), og •332 med Higman-Sims-gruppen HS (ordre 44.352.000 ). Begge er for nylig blevet opdaget.

Nedenfor er en tabel [9] [10] over nogle grupper af undergitter:

Navn	Bestille	Struktur	Vertex eksempel
•2	2 18 3 6 5 3 7 11 23	Co2 _	(−3, 1 23 )
•3	2 10 3 7 5 3 7 11 23	Co3 _	(5, 123 )
•fire	2 18 3 2 5 7 11 23	2 11 :M 23	(8, 0 23 )
•222	2 15 3 6 5 7 11	PSU 6 (2) ≈ Fi 21	(4, −4, 0 22 ), (0, −4, 4, 0 21 )
•322	2 7 3 6 5 3 7 11	McL	(5, 1 23 ), (4, 4, 0 22 )
•332	2 9 3 2 5 3 7 11	HS	(5, 1 23 ), (4, −4, 0 22 )
•333	2 4 3 7 5 11	3 5 M 11	(5, 1 23 ), (0, 2 12 , 0 11 )
•422	2 17 3 2 5 7 11	2 10 :M 22	(8, 0 23 ), (4, 4, 0 22 )
•432	2 7 3 2 5 7 11 23	M23 _	(8, 0 23 ), (5, 1 23 )
•433	2 10 3 2 5 7	2 4 .A 8	(8, 0 23 ), (4, 2 7 , −2, 0 15 )
•442	2 12 3 2 5 7	2 1+8 .A 7	(8, 0 23 ), (6, −2 7 , 0 16 )
•443	2 7 3 2 5 7	M21 :2 ≈ PSL3 ( 4 ):2	(8, 0 23 ), (5, −3, −3, 1 21 )

To andre sporadiske undergrupper

To sporadiske undergrupper kan defineres som faktorgrupper af stabilisatorer af strukturer på Leach-gitteret. Identifikation af R 24 med C 12 og med $\lambda$

\mathbf {Z} \left[e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right]^{12},

den resulterende automorfigruppe (det vil sige gruppen af automorfier i Leach-gitteret, der bevarer den komplekse struktur ), når den divideres med seks-elementgruppen af komplekse skalarmatricer, giver Suzuki-gruppen Suz (af størrelsesordenen 448.345.497.600 ). Denne gruppe blev opdaget i 1968 af Michio Suzuki.

En lignende konstruktion giver Janko-gruppen J 2 (af størrelsesordenen 604.800 ) som en faktorgruppe af quaternion - automorfismer over skalargruppen ±1. $\lambda$

De syv simple grupper beskrevet ovenfor inkluderer, hvad Robert Griss kaldte anden generation af den lykkelige familie , som består af 20 sporadiske simple grupper fundet i monsteret . Nogle af de syv grupper indeholder i det mindste nogle af de fem Mathieu-grupper , der udgør den første generation .

Suzuki-kædeprodukter i grupper

Co 0 har 4 sidesæt af elementer af orden 3. I M 24 danner et element af formen 3 8 en gruppenormal i kopien S 3 , der pendler med en simpel undergruppe af orden 168. Det direkte produkt i M 24 permuterer oktader af trioen og permuterer de 14 matricer i den monomiale undergruppe. I Co 0 udvides denne monomiale normalisator til en maksimal undergruppe af formen , hvor 2.A 9 er en dobbelt dækning af den alternerende gruppe A 9 [11] . ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)\ gange \mathrm {S} _{3))$ ${\displaystyle 2^{4}\colon \mathrm {PSL} (2,7)\ gange \mathrm {S} _{3))$ ${\displaystyle 2.\mathrm {A} _{9}\times \mathrm {S} _{3))$

John Thompson påpegede, at det ville være frugtbart at studere normalisatorer af små grupper af formen 2.A n [12] . Nogle maksimale undergrupper Co 0 findes på denne måde. Desuden optræder to sporadiske grupper i den resulterende kæde.

Der er en undergruppe , kun en af dens kæder er ikke maksimal i Co 0 . Yderligere er der en undergruppe . Næste kommer . Enhedsgruppen (orden 6048 ) er forbundet med automorfigruppen i 36-vertex-grafen, idet den foregriber den næste undergruppe. Denne undergruppe er , hvor Janko Group J2 optræder . Ovenstående graf udvides til en Hall-Yanko-graf med 100 hjørner. Dernæst kommer gruppen G 2 (4), som er en exceptionel gruppe af Lie type [13] [16] . ${\displaystyle 2.\mathrm {A} _{8}\ gange \mathrm {S} _{4))$ ${\displaystyle (2.\mathrm {A} _{7}\ gange \mathrm {PSL} _{2}(7))\kolon {2))$ $(2.\mathrm {A} _{6}\times \mathrm {SU} _{3}(3)):2$ $\mathrm {SU} _{3}(3)$ $(2.\mathrm {A} _{5}\circ \mathrm {2.HJ} ):2$ $(2.\mathrm {A} _{4}\circ 2.\mathrm {G} _{2}(4)):2$

Kæden slutter med 6.Suz:2 (Suz= Sporadic Suzuki Group ), der, som nævnt ovenfor, bevarer den komplekse repræsentation af Leach-gitteret.

Generaliseret monstrøst nonsens

Conway og Norton foreslog i et papir fra 1979, at der også kunne være et modstykke til det monstrøse nonsens for andre grupper. Larisa Kuin og andre fandt successivt ud af, at det er muligt at konstruere udvidelser af mange hovedmoduler (i den engelske litteratur er udtrykket Hauptmodul lånt fra det tyske sprog, bogstaveligt talt - hovedmodulet) fra simple kombinationer af dimensioner af sporadiske grupper. For Conway-grupper er den tilsvarende McKay-Thompson-serie ={1, 0, 276, −2048 , 11 202 , −49 152 , …} ( A007246 ) og ={1, 0, 276, 2048 , 11 202 , 11 202 , , …} ( A097340 ), hvor konstantleddet er a(0)=24 , $T_{2B}(\tau )$ $T_{4A}(\tau )$

{\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau)}{\ eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )))\right)^{ 4}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q))+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\dots \end {aligned}}

og er Dedekind eta-funktionen . $\eta (\tau )$

Noter

↑ Conway, 1968 .
↑ Conway, 1969 .
↑ Thompson, 1983 .
↑ Witt, 1998 , s. 329.
↑ Griess, 1998 , s. 97.
↑ Thompson, 1983 , s. 148-152.
↑ Centralisatoren af en matrix er det sæt af matricer, der pendler med den ( Arnold 1999 ).
↑ Brauer, Sah, 1969 .
↑ Conway, Sloane, 1999 , s. 291.
↑ Griess, 1998 , s. 126.
↑ Wilson, 2009 , s. 27.
↑ Conway, 1971 , s. 242.
↑ Wilson, 2009 , s. 219.
↑ Wilson, 2009 , s. 9.
↑ Wilson, 2009 , s. 82.
↑ Her betyder kolon en delt forlængelse af en gruppe ( halvdirekte produkt ) [14] , tegnet ◦ betyder det centrale produkt af grupper — faktorgruppen af det direkte produkt af grupper ved dets centrum [15] .

Litteratur

Arnold VI Geometriske metoder i teorien om almindelige differentialligninger. - Anden version. - Izhevsk: MTSNMO, VKM NMU, 1999. - ISBN 5-89806-028-4 .
John Horton Conway . En perfekt gruppe af orden 8.315.553.613.086.720.000 og de sporadiske simple grupper // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . - 1968. - T. 61 , no. 2 . — S. 398–400 . - doi : 10.1073/pnas.61.2.398 .
Teori om endelige grupper: Et symposium / Brauer R., Chih-han Sah. — W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969.
John Horton Conway . En gruppe på 8.315.553.613.086.720.000 // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1969. - T. 1 . — s. 79–88 . — ISSN 0024-6093 . - doi : 10.1112/blms/1.1.79 .
John Horton Conway . Tre forelæsninger om exceptionelle grupper // Finite simple groups / Powell MB, Higman G. - Boston, MA: Academic Press , 1971. - s. 215–247. — (Proceedings of an Instructional Conference arrangeret af London Mathematical Society (et NATO Advanced Study Institute), Oxford, september 1969.). - ISBN 978-0-12-563850-0 . Genoptrykt iConway, Sloane (1999, 267-298)
John Horton Conway , Neil Sloane . Kuglepakninger, gitter og grupper . — 3. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1999. - T. 290. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). - ISBN 978-0-387-98585-5 .
Thomas M. Fra fejlkorrigerende koder over kuglepakninger til simple grupper . - Mathematical Association of America , 1983. - V. 21. - (Carus Mathematical Monographs). - ISBN 978-0-88385-023-7 .
John Horton Conway , Richard A. Parker, Simon P. Norton, Curtis RT, Robert A. Wilson. Atlas over endelige grupper . - Oxford University Press , 1985. - ISBN 978-0-19-853199-9 .
Robert L. Griess Jr. Tolv sporadiske grupper. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1998. - (Springer Monographs in Mathematics). - ISBN 978-3-540-62778-4 .
Atlas over endelige grupperepræsentationer: Co 1 version 2
Atlas of Finite Group Representations: Co 1 Arkiveret 27. marts 2008 på Wayback Machine version 3
Robert A. Wilson. De maksimale undergrupper af Conways gruppe Co₁ // Journal of Algebra. - 1983. - T. 85 , no. 1 . — S. 144–165 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(83)90122-9 .
Robert A. Wilson. På de 3-lokale undergrupper af Conways gruppe Co₁ // Journal of Algebra. - 1988. - T. 113 , no. 1 . — S. 261–262 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(88)90192-5 .
Robert A. Wilson. De endelige simple grupper. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2009. - (Graduate Texts in Mathematics 251). - ISBN 978-1-84800-987-5 . - doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 .
Ernst Witt. Samlede papirer. Gesammelte Abhandlungen. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1998. - ISBN 978-3-540-57061-5 .
RT Curtis, BT Fairburn. Symmetrisk repræsentation af elementerne i Conway Group •0 // Journal of Symbolic Computation. - 2009. - Udgave. 44 . - S. 1044-1067 .

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation