Faktor gruppe

En kvotientgruppe er et sæt medsæt af en gruppe i forhold til dens normale undergruppe , som i sig selv er en gruppe med en gruppeoperation defineret på en særlig måde.

Faktorgruppen i en gruppe af en normal undergruppe er normalt betegnet med . $G$ $H$ $G/H$

Billedet af en gruppe under en homomorfi er isomorft for dens faktorgruppe med hensyn til kernen af denne homomorfi.

Definition

Lad være en gruppe , være dens normale undergruppe og være et vilkårligt element. Så på cosets ind $G$ $H$ $a\i G$ $H$ $G$

aH=\{\,ah\midt \,h\in H\}

du kan indtaste multiplikation :

(aH)(bH)=abH

Det er let at kontrollere, at denne multiplikation ikke afhænger af valget af elementer i cosets, altså hvis og , så . Denne multiplikation bestemmer strukturen af gruppen på sættet af cosets, og den resulterende gruppe kaldes faktorgruppen med hensyn til . $aH=a'H$ $bH=b'H$ $abH=a'b'H$ $G/H$ $G$ $H$

Egenskaber

Homomorfismesætning: For enhver homomorfi $\varphi :G\til K$

G/{\mathrm {Ker}}\,\varphi \cong \varphi (G)

, det vil sige, at kvotientgruppen med hensyn til kernen er isomorf for sit billede i .

G

{\mathrm {ker}}\,\varphi

\varphi (G)

K

Kortlægningen definerer en naturlig homomorfi . $a\mapsto aH$ $G\til G/H$
Rækkefølgen er lig med undergruppeindekset . I tilfælde af en endelig gruppe er den lig med . $G/H$ $[G:H]$ $G$ $|G|/|H|$
Hvis det er abelsk , nilpotent , opløseligt , cyklisk eller endeligt genereret , så vil u have den samme egenskab. $G$ $G/H$
$G/G$ er isomorf for den trivielle gruppe ( ), isomorf til . $\{e\}$ $G/{e}$ $G$

Eksempler

Lad , , så være isomorfe til . $G={\mathbb {Z}}$ $H=n\mathbb {Z}$ $G/H$ $\mathbb {Z} _{n}$
Lad (gruppe af ikke-degenererede øvre trekantede matricer ), (gruppe af øvre enhedstriangulære matricer ), så er isomorf til gruppen af diagonale matricer . $G={\mathbf {UT}}_{n}$ $H={\mathbf {SUT}}_{n}$ $G/H$
Lad ( symmetrisk gruppe ), ( kvaternær Klein-gruppe , bestående af permutationer e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)) så være isomorf til . ${\displaystyle G=S_{4))$ ${\displaystyle H=V_{4))$ $G/H$ $S_{3}$
Lad (symmetrisk gruppe), ( skiftende gruppe ), så være isomorf til . ${\displaystyle G=S_{n))$ $H=A_{n}$ $G/H$ ${\mathbb {Z}}_{2}$
Lad ( quaternion gruppe ), (cyklisk gruppe bestående af 1, −1) så være isomorf til . $G=Q_{8}$ ${\displaystyle H=\mathbb {Z} _{2))$ $G/H$ $V_{4}$

Variationer og generaliseringer

Noter

Litteratur

Vinberg E. B. Algebra kursus. - M . : Factorial Press, 2002. - ISBN 5-88688-060-7 .

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation