Halvdirekte produkt

Et semidirekte produkt  er en konstruktion i gruppeteori , der giver dig mulighed for at bygge en ny gruppe fra to grupper og , og gruppens handling på gruppen ved automorfismer.

Det halvdirekte produkt af grupper og derover er normalt betegnet med .

Konstruktion

Lad en gruppes handling på en gruppes rum med bevarelse af dens gruppestruktur være givet. Dette betyder, at der gives en homomorfi af en gruppe i gruppen af ​​automorfismer . En automorfi af gruppen svarende til et element fra under homomorfien er betegnet med . For sættet af elementer af et semidirekte produkt af grupper og over en homomorfi  tages et direkte produkt . Den binære operation på bestemmes af følgende regel:

Egenskaber

1. Grupperne og er naturligt indlejret i , og  er en normal undergruppe af .
2. Hvert element er unikt nedbrydeligt til et produkt , hvor og  er elementer i grupperne og hhv. (Denne egenskab retfærdiggør navnet på gruppen som et halvdirekte produkt af grupperne og .)
3. Gruppens angivne handling på gruppen falder sammen med handlingen på makkerne (i gruppen ).

Enhver gruppe med egenskaberne 1-3 er isomorfe for en gruppe (universalitetsegenskaben for det halvdirekte produkt af grupper).

• Operationens associativitet verificeres direkte. Der anvendes forhold

• Enheden i gruppen G er grundstoffet , hvor og er enheder i henholdsvis grupperne N og H . (Ligestilling bruges .)
  
• Elementet invers til er lig med .
  • For at bevise, at dette element er venstre omvendt, bruges ligheden .
• Kortlægningerne og homomorfisk indlejring af grupperne N og H i gruppen G. Deres billeder har et enkelt fælles element - identiteten af ​​gruppen G .
• Kortet er en epimorfi af gruppen G på gruppen H med kerne N . Dette indebærer, at gruppen N er normal i G.
• Ligheden giver en nedbrydning af et vilkårligt element i gruppen G til et produkt af elementerne n og h fra henholdsvis grupperne N og H . Det unikke ved udvidelsen følger også af denne ligestilling.
• Ligheden viser, at virkningen af ​​gruppen H på N givet af homomorfien falder sammen med virkningen af ​​H på N ved konjugationer.
• For at bevise den universelle egenskab af et semidirekte produkt skal man bruge formlen . Det følger heraf, at et produkt i en gruppe G med en enkeltværdi NH-nedbrydning (forudsat at gruppen N er normal ) er fuldstændig bestemt af multiplikationsreglerne inde i undergrupperne N og H og reglerne for konjugation af elementer fra N ved elementer fra H .
  

Eksempel

Modulo 4-restgruppen ( ) virker på (betragtet som additivgruppen i den tilsvarende ring) på fire forskellige måder:

Derfor kan du på sættet introducere 4 strukturer i gruppen - et semidirekte produkt:

1. , hvor ;
2. , hvor ;
3. ;
4. ;

Det kan vises, at de sidste to grupper er isomorfe, mens de andre ikke er det, og også at disse eksempler opregner alle grupper af orden 20, der indeholder et element af orden 4 (ved hjælp af Sylows sætninger ).

Tilsvarende bruges det halvdirekte produkt af grupper generelt til at klassificere endelige grupper.

Litteratur

• Vinberg E. B. Algebra kursus. - 3. udg. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 eksemplarer.  — ISBN 5-88688-060-7 .