Normal undergruppe

En normal undergruppe (også en invariant undergruppe eller en normaldivisor ) er en undergruppe af en speciel type, hvis venstre og højre sidesæt falder sammen. Sådanne grupper er vigtige, fordi de tillader konstruktionen af en faktorgruppe .

Definitioner

En undergruppe af en gruppe kaldes normal , hvis den er invariant under konjugationer, dvs. for ethvert element af og et hvilket som helst af elementet ligger i : $N$ $G$ $n$ $N$ $g$ $G$ $gng^{{-1}}$ $N$

N\triangleleft G\,\iff \,\forall \,n\i N,\forall \g\in G

gng^{-1}\in {N}.

Følgende normalitetsbetingelser for en undergruppe er ækvivalente:

For nogen af . $g$ $G$ $gNg^{{-1}}\subseteq N$
For nogen af . $g$ $G$ $gNg^{{-1}}=N$
Sættene af venstre og højre sidesæt falder sammen. $N$ $G$
For nogen af . $g$ $G$ $gN=Ng$
$N$ er isomorf til foreningen af klasser af konjugerede elementer.

Betingelse (1) er logisk svagere end (2), og betingelse (3) er logisk svagere end (4). Derfor bruges betingelser (1) og (3) ofte til at bevise normaliteten af en undergruppe, og betingelser (2) og (4) bruges til at bevise konsekvenserne af normalitet.

Eksempler

$\{e\}$ og er altid normale undergrupper af . De kaldes trivielle. Hvis der ikke er andre normale undergrupper, kaldes gruppen simple . $G$ $G$ $G$

Centret i en gruppe er en normal undergruppe.

En gruppes kommutator er en normal undergruppe.

Enhver karakteristisk undergruppe er normal, da konjugation altid er en automorfi .

Alle undergrupper af en abelsk gruppe er normale, da . En ikke-abelsk gruppe, hvor hver undergruppe er normal, kaldes en Hamiltonian . $N$ $G$ $gN=Ng$

Gruppen af parallelle oversættelser i et rum af enhver dimension er en normal undergruppe af den euklidiske gruppe ; f.eks. i 3D-rum resulterer drejning, skift og drejning bagud i et simpelt skift.

I Rubiks terninggruppen er en undergruppe bestående af operationer, der kun virker på hjørneelementerne, normal, da ingen konjugeret transformation vil få en sådan operation til at virke på kantelementet, ikke hjørneelementet. I modsætning hertil er en undergruppe, der kun består af rotationer af topfladen, ikke normal, da fileter tillader dele af topfladen at blive flyttet ned.

Egenskaber

Normalitet er bevaret under surjektive homomorfismer og tilbagetrækninger.
Homomorfiens kerne er en normal undergruppe.
Normaliteten bevares, når det direkte produkt konstrueres .
En normal undergruppe af en normal undergruppe behøver ikke at være normal i gruppen, det vil sige normalitet er ikke transitiv . Den karakteristiske undergruppe af en normal undergruppe er dog normal.
Hver undergruppe af indeks 2 er normal. Hvis er den mindste prime divisor af størrelsesordenen , så er enhver undergruppe af indekset normal. $s$ $G$ $s$
Hvis er en normal undergruppe i , så kan man på sættet af venstre (højre) cosets indføre en gruppestruktur i henhold til reglen $N$ $G$ $G/N$

(g_{1}N)(g_{2}N)=(g_{1}g_{2})N

Det resulterende sæt kaldes faktorgruppen med hensyn til .

G

N

$N$ er normalt, hvis og kun hvis det virker trivielt på venstre sidesæt af . $G/N$
Hver normal undergruppe er kvasinormal

Historiske fakta

Évariste Galois var den første til at forstå vigtigheden af normale undergrupper.

Links

Vinberg E. B. Algebra Course - M . : Facttorial Press Publishing House, 2002, ISBN 5-88688-060-7
Kostrikin A.I. Introduktion til algebra. Del III. Grundlæggende strukturer. - 3. udg. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 272 s. - ISBN 5-9221-0489-6 .

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation