Gruppecenter

Centrum for en gruppe i gruppeteori er mængden af alle sådanne elementer i en given gruppe , der pendler med alle dens elementer:

Z(G) = \{z \in G \mid \forall g\in G, zg = gz \}

[1] ).

En gruppe er abelsk , hvis og kun hvis dens centrum falder sammen med den: ; i denne forstand kan midten af en gruppe betragtes som et mål for dens "abelske" (kommutativitet). En gruppe siges ikke at have noget center, hvis gruppens centrum er trivielt, det vil sige, at det kun består af et neutralt element . $G$ $Z(G) = G$

Centerelementer omtales nogle gange som gruppecenterelementer .

Undergruppeegenskaber

En gruppes centrum er altid dens undergruppe: den indeholder altid et neutralt element (da det per definition pendler med et hvilket som helst element i gruppen), er lukket i forhold til gruppeoperationen og indeholder sammen med de indkommende elementer deres inversioner .

Centrum af G er altid en normal undergruppe af G , da den er lukket under konjugering . Desuden er gruppens centrum en karakteristisk undergruppe , men det er samtidig ikke en helt karakteristisk undergruppe .

Faktorgruppen er isomorf i forhold til gruppen af indre automorfier i gruppen . $G/Z(G)$ $G$

Konjugationsklasser og centralisatorer

Per definition er midten af en gruppe det sæt af elementer, for hvilke konjugationsklassen for hvert element er selve elementet.

Centret er også skæringspunktet mellem alle centralisatorer af alle elementer i gruppen G.

Adjacency

Kernen i kortlægningen , der forbinder et element i gruppen med en automorfi givet ved formlen: $f: G \to \operatørnavn{Aut}(G)$ $g$

\phi_g(h) = ghg^{-1}

er præcis midten af gruppen G , og billedet af kortlægningen f kaldes en indre automorfi af gruppen G , som er betegnet med ; ved den første isomorfismesætning har vi : $\operatørnavn{Inn}(G)$

G/Z(G)\cong \rm{Inn}(G)

Kokernen af f er gruppen af ydre automorfier ; så der er en nøjagtig rækkefølge : $\operatørnavn{Out}(G)$

1 \to Z(G) \to G \to \operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G) \to 1

Eksempler

Centrum for en abeliaansk gruppe G er G .
Centrum af Heisenberg gruppe G er matricer af formen:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & z\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}

Centrum for en ikke- abelian simpel gruppe er trivielt.
Centrum af den dihedrale gruppe D n er trivielt for ulige n . Hvis n er lige, består midten af et neutralt element og en 180° rotation af polygonen .
Centrum for quaternion gruppen er . $Q_8 = \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}$ $\{elleve\}$
Centrum af den symmetriske gruppe S n er trivielt for n ≥ 3 .
Centrum af den vekslende gruppe A n er trivielt for n ≥ 4 .
Centrum af den fulde lineære gruppe er sættet af skalarmatricer . $\mbox{GL}_n(F)$ $\{ sI_n | s \in F\setminus\{0\} \}$
Centrum af en ortogonal gruppe er . $O(n, F)$ $\{ I_n,-I_n \}$
Centrum af den multiplikative gruppe af ikke-nul kvaternioner er den multiplikative gruppe af ikke-nul reelle tal.
Ved hjælp af klasseligningen kan man bevise, at midten af enhver ikke-triviel finit p-gruppe er ikke- triviel.
Hvis faktorgruppen er cyklisk , er G Abelsk (så G = Z(G), og er triviel). $G/Z(G)$ $G/Z(G)$
Kvotientgruppen er ikke isomorf for quaterniongruppen . $G/Z(G)$ $Q_8$

Midterste rækker

Faktorisering af gruppecentre genererer en sekvens af grupper, som kaldes den øverste centrale række :

G_0 = G \til G_1 = G_0/Z(G_0) \til G_2 = G_1/Z(G_1) \til \cdots

Kernen i kortlægningen er det i -te centrum af gruppen G ( andet center , tredje center , og så videre), og de er angivet med . Specifikt er -th center de elementer, der pendler med alle elementer i i -th center. I dette tilfælde er det muligt at definere gruppens nulpunkt som en undergruppe af enhed. Den øverste centerserie kan udvides til transfinite tal ved hjælp af transfinit induktion . Foreningen af alle centre i en serie kaldes et hypercenter [2] . $G til G_i$ $Z^i(G)$ $(i+1)$

Stigende rækkefølge af undergrupper:

1 \leq Z(G) \leq Z^2(G) \leq \cdots

stabiliserer sig ved (hvilket betyder ) hvis og kun hvis , ikke har noget center. $jeg$ $Z^i(G) = Z^{i+1}(G)$ $G_{i}$

Eksempler

For en gruppe uden et center er alle centre i serien nul, hvilket sker i tilfælde af . $Z^0(G)=Z^1(G)$
Ved Grüns lemma har kvotientgruppen af en gruppe, der falder sammen med dens afledte undergruppe intet center i sit centrum, da alle centre af højere orden er lig med centrum. Dette er et tilfælde af stabilisering . $Z^1(G)=Z^2(G)$

Se også

Center (algebra)
Norma (gruppeteori)

Noter

↑ Betegnelsen Z kom fra ham. Zentrum
↑ Denne forening inkluderer transfinite elementer, hvis sættet af øvre centre ikke stabiliseres i et endeligt antal iterationer.

Gruppecenter

Undergruppeegenskaber

Konjugationsklasser og centralisatorer

Adjacency

Eksempler

Midterste rækker

Eksempler

Se også

Noter

Links