Geometrisk gruppeteori er en gren af matematikken , der studerer endeligt genererede grupper ved hjælp af forholdet mellem deres algebraiske egenskaber og de topologiske og geometriske egenskaber af de rum, som sådanne grupper virker på, eller grupperne selv, betragtet som geometriske objekter (hvilket normalt udføres af i betragtning af Cayley-grafen og de tilsvarende ordforrådsmetrikker ).
Geometrisk gruppeteori, som en separat gren af matematikken, dukkede op relativt for nylig og begyndte at stå klart i slutningen af 1980'erne og begyndelsen af 1990'erne. Geometrisk gruppeteori interagerer med lavdimensionel topologi , hyperbolsk geometri , algebraisk topologi , beregningsgruppeteori . Hun er også forbundet med kompleksitetsteori , matematisk logik , studiet af Lie-grupper og deres diskrete undergrupper , dynamiske systemer , sandsynlighedsteori , K-teori og andre områder af matematik.
Gromovs teorem om grupper af polynomiel vækst bør betragtes som det første resultat i geometrisk gruppeteori . Beviset bruger for første gang den såkaldte Gromov-Hausdorff-konvergens .
Ikke desto mindre blev hovedtrinnet i dannelsen af den geometriske teori om grupper lavet i Gromovs papir om hyperbolske grupper. [1] Definitionen af en hyperbolsk gruppe givet i denne artikel gav en klar geometrisk fortolkning af gruppeteori med små annulleringer .