Magma (algebra)

En magma ( groupoid ) generelt algebra er en algebra bestående af en mængde M med en binær operation M × M → M . Ud over kravet om, at sættet skal være lukket i forhold til den betjening , der er givet på det , er der ingen andre krav til driften og sættet.

Udtrykket " magma " blev foreslået af Bourbaki . Udtrykket " groupoid " er ældre, opfundet af Oistin Ore , men udtrykket refererer også til en anden generel algebraisk struktur, den kategoriteoretiske groupoid , og er mere almindeligt brugt i denne betydning i nyere litteratur.

Generelt studeres magmaer normalt ikke; i stedet studeres forskellige typer, der adskiller sig i yderligere introducerede aksiomer. Almindeligt undersøgte magmatyper omfatter følgende:

en kvasigruppe er en ikke-tom magma, hvor fission altid er mulig ;
loop er en kvasigruppe med et neutralt element ;
semigruppe -magma med associativ drift ;
en monoid er en halvgruppe med et neutralt element ;
en gruppe er en monoid med et omvendt element eller, det samme som en associativ løkke (som altid er en kvasigruppe);
en abelsk gruppe er en gruppe med kommutativ drift .

En magmamorfisme er en funktion , der relaterer en magma til en magma , der bevarer den binære operation: $f\colon M\to N$ $M$ $N$

f(x\;*_{M}\;y)=f(x)\;*_{N}\;f(y)

hvor og betegner henholdsvis de binære operationer på og på . $*_{M}$ $*_{N}$ $M$ $N$

Kombinatorik og parenteser

For det generelle, ikke-associative tilfælde, kan magma-operationen gentages mange gange. Parentes bruges til at angive rækkefølge. Den resulterende streng består af tegn, der angiver magmaelementer og afbalancerede parenteser. Sættet af alle mulige strenge af balancerede parenteser kaldes Dyck-sproget . Det samlede antal forskellige måder at skrive n applikationer af magmaoperatoren på er givet af det catalanske tal . For eksempel, , som svarer til udsagnet om, at og er de eneste mulige måder at bestemme rækkefølgen for at anvende den binære magma-operation to gange. $C_{n}$ $C_{2}=2$ $(ab)c$ $a(bc)$

For at forenkle notationen og reducere antallet af brugte parenteser, bruges et symbol. For at udpege en højere prioritet til udførelsen af en operation, skal du bruge posten ved siden af den. For eksempel, hvis magmaoperationen er "·", så er xy · z en forkortelse for ( x · y ) · z . Yderligere forkortelser er mulige ved brug af mellemrum. For eksempel at skrive xy z wv i stedet for (( x y ) z ) ( w v ) . For mere komplekse udtryk er det selvfølgelig svært at undgå brugen af parenteser. En måde at undgå at bruge parentes på er præfiksnotation , som dog ikke er intuitiv.

Litteratur

Kulikov L. Ya. Algebra og talteori. - M . : Højere skole, 1979. - 559 s.