Arkimedisk spiral

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 16. april 2021; checks kræver 4 redigeringer .

En arkimedisk spiral  er en spiral , en plan kurve , en bane af punktet M (se fig. 1), som bevæger sig ensartet langs strålen OV med begyndelsen ved O , mens selve strålen OV roterer ensartet omkring O. Med andre ord er afstanden ρ = OM proportional med omdrejningsvinklen φ af strålen OV . Rotationen af ​​strålen OV med den samme vinkel svarer til den samme stigning ρ.

Egenskaberne ved denne spiral er beskrevet af den antikke græske videnskabsmand Archimedes i hans essay " On Spirals ".

Beskrivelse

Ligningen for den arkimedeiske spiral i det polære koordinatsystem er skrevet som følger:

(en)  

hvor k  er forskydningen af ​​punktet M langs strålen r , når den drejes gennem en vinkel lig med en radian.

Rotationen af ​​den rette linje på svarer til forskydningen a = | bm | = | MA | = . Tallet a  kaldes " helixens pitch ". Ligningen for den arkimedeiske spiral kan omskrives som følger:

Når strålen roterer mod uret, opnås en højrehåndet helix (blå linje) (se fig. 2), når den drejes med uret, opnås en venstrehåndet helix (grøn linje).

Begge grene af spiralen (højre og venstre) er beskrevet af en ligning (1). Positive værdier svarer til højre helix, negative værdier til venstre helix. Hvis punktet M bevæger sig langs linjen UV fra negative værdier gennem rotationscentret O og videre til positive værdier, langs linjen UV, så vil punktet M beskrive begge grene af spiralen.

Strålen OV, tegnet fra startpunktet O, krydser spiralen et uendeligt antal gange - punkterne B, M, A og så videre. Afstandene mellem punkterne B og M, M og A er lig med helixens stigning . Når spiralen vikles ud, tenderer afstanden fra punkt O til punkt M til uendelig, mens spiralens stigning forbliver konstant (endelig), det vil sige, jo længere fra midten, desto tættere nærmer spiralens drejninger sig en cirkel .

Sektorområde

OCM sektorområde :

,

hvor ,, . _

For , , , giver formel (2) arealet af figuren afgrænset af den første drejning af spiralen og segmentet CO:

,

hvor  er arealet af en cirkel, hvis radius er lig med spiralens stigning - .

Alle disse egenskaber og ligninger blev opdaget af Archimedes .

Beregning af buelængden af ​​en arkimedisk spiral

Et uendeligt lille segment af buen er (se fig. 3):

,

hvor  er tilvæksten af ​​radius , når vinklen øges med . For en uendelig lille stigning af vinklen er det sandt:

.

Derfor:

samt _

eller

.

Længden af ​​buen er lig med integralet fra til inden for området fra til :

. [en]

Tredimensionel generalisering

En tredimensionel generalisering af den arkimedeiske spiral kan betragtes som projektionen af ​​en konisk spiral på et plan vinkelret på keglens akse.

Noter

  1. Weisstein, Eric W. Archimedes ' Spiral  på Wolfram MathWorld -webstedet .

Links