Veronese overflade

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 10. september 2018; verifikation kræver 1 redigering .

En Veronese-overflade er en algebraisk overflade i et femdimensionelt projektivt rum , der er realiseret som et billede af Veronese-indlejringen . Der er også en generalisering af den veronesiske indlejring til vilkårlige dimensioner af projektive rum. Opkaldt efter den italienske matematiker Giuseppe Veronese .

Definition

Veronese-overfladen er billedet af Veronese-indlejringen, det vil sige kortlægningen

\nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}

givet ved formler

\nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]

hvor angiver de homogene koordinater for et punkt på det projektive plan. $[x:\ldots ]$

Motivation for definitionen

Veronese-overfladen opstår naturligt i studiet af kegleformet , især når man beviser udsagnet "fem punkter definerer en kegleformet unikt". En kegle er en plan kurve givet af ligningen

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0,

som er kvadratisk i forhold til variablerne. Sammensætningen med Veronese-indlejringen giver os imidlertid mulighed for at gøre denne ligning lineær (mere præcist, for at opnå en vilkårlig kegleform, er det tilstrækkeligt at skære Veronese-overfladen med et hyperplan og tage det omvendte billede af krydset). Omvendt er betingelsen om, at keglen indeholder et punkt , lineær i forhold til koefficienterne og reducerer derfor rummets dimension med én. Et mere præcist udsagn er, at fem punkter i generel position definerer fem uafhængige lineære ligninger, dette følger af det faktum, at under den Veronese-indlejring går punkter i generel position til punkter i generel position. $x,y,z.$ $[x:y:z]$ $(A,B,C,D,E,F)$

Veronese overflade og kegler

Veronese-overfladen kan relateres til kegleformernes geometri på en anden måde, på en måde dobbelt med den, der er beskrevet ovenfor. Vi har set, at keglen på er defineret som , det vil sige, at en vektor, der ikke er nul, er forbundet med den (for nemheds skyld vil vi antage, at grundfeltet er feltet af komplekse tal). De proportionale vektorer definerer den samme kegle, så faktisk er keglene parametriseret af dens projektivisering, . Med andre ord kan kegler i planet repræsenteres som punkter i et femdimensionelt projektivt rum; i dette tilfælde vil blyanten af kegleformede være repræsenteret af punkter, der ligger på én ret linje osv. Som det er kendt, kan flade keglegange være degenererede og ikke-degenererede, desuden kan degenererede være enten et par linjer eller en dobbelt linje. Hvilke geometriske objekter parameriserer degenererede kegleformer? $\mathbb {P} ^{2}$ $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0$ $(A,B,C,D,E,F)\in \mathbb {C} ^{6}$ $\mathbb {P} ^{5}$ $\mathbb {P} ^{5}$

Den dobbelte linje er en kegle med ligningen . Simple, enkelte linjer er parametriseret af det dobbelte projektive plan; "fordobling" af den lige linje vil definere en kortlægning fra til det rum , der parametriserer keglene. Når vi udvider parenteserne, ser vi, hvordan man skriver det eksplicit: , hvorfra vi har , hvilket svarer til Veronese-kortlægningen op til en lineær transformation. $(Lx+My+Nz)^{2}=0$ $\mathbb {P} ^{2}$ $\left(\mathbb {P} ^{2}\right)^{*}$ $\mathbb {P} ^{5}$ $(Lx+My+Nz)^{2}=L^{2}x^{2}+2LMxy+M^{2}y^{2}+2LNxz+2MNyz+N^{2}z^ {2}$ $(A,B,C,D,E,F)=(L^{2},2LM,M^{2},2LN,2MN,N^{2})$

Hvis Veronese-overfladen parametriserer dobbelte linjer, hvad parametriserer så resten af de degenererede kegler? Det er let at skrive en ligning for en sådan manifold: faktisk kan keglen betragtes som en kvadratisk form givet af matrixen . Forsvinden af dens determinant betyder, at den tilsvarende kegle ikke er glat; tredjegradsligning i matrixkoefficienter, og den definerer en kubisk hyperflade i . $Q={\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix)).$ $\det Q=0$ $\mathbb {P} ^{5}$

Denne hyperflade har også en geometrisk udførelsesform. Som vi ved, repræsenterer linjer i skiver af flade kegleformede. Det er let at vise, at linjerne, der tangerer Veronese-overfladen, definerer en blyant af kegleformede kegler af følgende form: vi fikserer en linje og et punkt og roterer den anden linje omkring dette punkt. Derfor er variationen af degenererede kvadrikker foreningen af alle tangentplaner til Veronese-overfladen. $\mathbb {P} ^{5}$ $\ell$ $p\in \ell$

Der er to interessante geometriske fakta forbundet med dette. Som det er kendt, har to tilfældigt optagne planer ikke fælles punkter i det femdimensionale rum (ligesom i det tredimensionale rum skærer to tilfældigt taget lige linjer). Imidlertid har to planer, der tangerer Veronese-overfladen, et skæringspunkt: Nemlig, hvis vi tager punkterne på Veronese-overfladen svarende til dobbeltlinjer med ligningerne og , så har tangentplanerne i dem et fælles punkt - der repræsenterer et kvadrisk med ligningen . Dette er så meget desto mere bemærkelsesværdigt, fordi Veronese-overfladen ikke ligger i noget hyperplan (og i det firedimensionale projektive rum skærer alle to planer hinanden). Til sammenligning, hvis en kurve i har den egenskab, at to af dens tangenter skærer hinanden, så ligger denne kurve i et plan. $L_{1}(x,y,z)^{2}=0$ $L_{2}(x,y,z)^{2}=0$ $L_{1}L_{2}=0$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}\subset \mathbb {P} ^{5))$ $\mathbb {P} ^{3}$

Et andet faktum er til en vis grad en omformulering af den første. I princippet kunne vi ikke betragte foreningen af alle dens tangentlinjer, men foreningen af alle dens sekanter. Den ville indeholde en række tangenter, da en tangent er grænsepositionen for en sekant, men den kunne være større. Faktisk, hvis to punkter på Veronese-overfladen er dobbelte linjer med ligninger og , så vil keglerne fra blyanten genereret af dem have ligninger af formen , og har derfor en singularitet i skæringspunktet mellem linjerne og . Således er variationen af sekanter af en Veronese-overflade udtømt af de mange forskellige tangenter. Dette er en sjælden begivenhed. En naiv dimensionsberegning ville vise, at sekantmanifolden er femdimensionel: fire parametre er nødvendige for at bestemme to punkter på overfladen, og en mere for at bestemme positionen af et punkt på akkorden, der underlægger dem. I tilfælde af en generel overflade virker denne naive dimensionsregning, og derfor vil dens sekantvariation være alle . For eksempel opfører en snoet terning (også kaldet Veronese-kurven) sig på samme måde : gennem ethvert punkt i rummet kan du tegne en lige linje, der skærer den to gange (eller rører den på et punkt, men med en multiplicitet af to) . I tilfælde af Veronese-overfladen mislykkes beregningen af dimensioner, fordi gennem hvert punkt, hvorigennem sekanten passerer, passerer faktisk ikke én, men en hel én-parameter familie af sekanter. Dette fænomen kaldes sekantinsufficiens . $L_{1}(x,y,z)^{2}=0$ $L_{2}(x,y,z)^{2}=0$ $aL_{1}^{2}+bL_{2}^{2}=0$ $L_{1}=0$ $L_{2}=0$ $\mathbb {P} ^{5}$ $\mathbb {P} ^{5}$ $\mathbb {P} ^{3}$

Denne fantastiske overflade hjemsøger geometre den dag i dag, desuden i de mest uventede afskygninger. Så vi kan overveje et dobbeltdæksel forgrenet i en kurve af slægt seks - dette vil være en K3-overflade , angivet med bogstavet . Det omvendte billede af en ret linje vil være en kurve på denne overflade, nemlig et dobbeltdæksel , der er forgrenet i seks punkter, det vil sige en kurve af slægt 2 . Følgelig vil en kegleformet generel stilling stige til en to-pladet belægning, der er forgrenet i punkter. Fra beregningen af Euler-karakteristikken har vi . Det lineære system af en kurve af slægt på en K3-overflade er altid -dimensionelt, det vil sige, uanset hvordan vi deformerer den løftede kurve på , vil det stadig forblive et løft af en eller anden kegleform (da kegler på planet også er givet af fem parametre). Med dette lineære system kan man forbinde modulvarianten af skiver på med understøtninger i sådanne kurver; det vil være en holomorfisk symplektisk manifold med en lagrangisk fibration (kortlægningen af en projektion er tildelingen til en bunke af dens støtte, eller mere præcist, af den quadric, hvorfra denne støtte er løftet). Det er interessant, fordi dens Mukai-vektor ikke er primitiv, og derfor er den ikke glat. Dens specielle lag svarer til specielle kurver. Nogle gange stiger specielle kurver fra glatte kvadrikker - i det enkleste tilfælde dem, der har en simpel tangens med den forgrenende sekstik. Men alle specielle kvadrikker stiger selvfølgelig til specielle kurver. I dette tilfælde vil de enkeltstående fibre over de punkter, der svarer til linjeparrene, også kunne reduceres - en komponent vil parametrisere skiverne på forbilledet af den ene linje og den anden på forbilledet af den anden. Således vil der i diskriminant locus af en sådan Lagrangian fibration være en komponent arrangeret som en mangfoldighed af sekanter af Veronese overfladen; lagene over det vil kunne reduceres og opdeles i to komponenter. Desuden vil monodromien omkring Veronese-overfladen permutere et par linjer, og dermed to irreducerbare komponenter af fiberen; hvis et sådant bundt havde mindst et homologisk snit, så ville det nødvendigvis skære begge irreducible komponenter, og derfor ville det skære et glat lag med multiplicitet 2, og ikke 1. Et sådant lagrangisk bundt tillader således ikke et topologisk snit, hvilket giver et modeksempel til en hypotese om Bogomolov . På den anden side kan man ved at modificere de specielle lag opnå, at monodromien forsvinder, og et afsnit kommer frem; men dette ændrer den topologiske type af manifolden - fra Hilbert-skemaet bliver det en exceptionel 10-dimensionel O'Grady -manifold . $\mathbb {P} ^{2}$ $S$ $\mathbb {P} ^{1}$ $2\cdot 6=12$ $2-2g=2(2-12)+12$ $g=5$ $g$ $g$ $S$ $S$

Kortlægning af Veronese

En veronesisk kortlægning af grad d fra et n -dimensionelt projektivt rum er en kortlægning

{\displaystyle \nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m))

hvor m er givet ved den binomiale koefficient :

m={n+d \choose d}-1.

Kortet sender punktet til alle mulige monomialer fra den fulde kraft af d . Sættet af sådanne monomialer kaldes Veronese-varianten . $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n))$

For lav d er afbildningen triviel: for d = 0 får vi en afbildning til et enkelt punkt , for d = 1, identitetskortlægningen; derfor overvejes normalt tilfældet med d mindst to. $\mathbb {P} _{0}$

Man kan definere Veronese-kortlægningen på en koordinat-uafhængig måde, nemlig

\nu _{d}:\mathbb {P} V\to \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)))

hvor V er et endeligt dimensionelt vektorrum , og er dets symmetriske grad . ${\rm {{Sym}^{d}V))$

Rationelle normalkurver

Ved er billedet af Veronese-indlejringen kendt som den rationelle normalkurve . Lad os give eksempler på rationelle normale kurver med små dimensioner: $n=1$

Når Veronese-indlejringen er identitetskortlægningen af den projektive linje på sig selv. $n=1,d=1$
Når en Veronese-manifold er en parabel i affine koordinater $n=1,d=2$ $[x^{2}:xy:y^{2}],$ $(x,x^{2}).$
Når en veronesisk sort er en snoet kubisk , i affine koordinater $n=1,d=3$ $[x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],$ $(x,x^{2},x^{3}).$

Biregelmæssighed af den Veronese-indlejring

Billedet af en manifold under den Veronese-indlejring er igen en manifold og isomorf i forhold til den første (dette betyder, at der er en invers mapping, som også er regelmæssig ). Derfor er den Veronese-indlejring biregulær .

Det følger især af uregelmæssighed, at punkter i generel stilling går over til punkter i generel stilling. Faktisk, hvis billederne af punkterne skulle opfylde en ikke-trivial ligning, ville denne ligning definere en undermanifold, hvis omvendte billede ville være den undermanifold, der indeholder de oprindelige punkter. Det kan også bruges til at vise, at enhver projektiv varietet er skæringspunktet mellem en veronesisk sort og et lineært rum, det vil sige et skæringspunkt mellem kvadrikker .

Litteratur

Harris J. Algebraisk geometri. Indledende kursus. — M.: MTsNMO, 2005. ISBN 5-94057-084-4