Prismatisk ensartet polyeder

Et prismatisk ensartet polyeder er et ensartet polyeder med dihedral symmetri . De danner to uendelige familier, homogene prismer og homogene antiprismer . De har alle hjørner på to parallelle planer, og derfor er de alle prismatoider .

Vertex-konfiguration og symmetrigrupper

Fordi de er isogonale (vertex-transitive), svarer deres vertexarrangementer entydigt til symmetrigrupper .

Forskellen mellem prismatiske og antiprismatiske symmetrigrupper er, at D p h har kanter, der forbinder hjørnerne på to planer vinkelret på disse planer, hvilket giver et symmetriplan parallelt med polygonerne, mens D p d har skæve kanter, hvilket giver en rotationssymmetri. Hver krop har p refleksionsplaner, som indeholder p -fold polygonakser.

Symmetrigruppen D p h indeholder en central symmetri hvis og kun hvis p er lige, mens D p d indeholder en central symmetri hvis og kun hvis p er ulige.

Liste

Eksisterer:

• Prismer for hver rationel p/q > 2 med symmetrigruppe D p h ;
• Antiprismer for hver rationel p/q > 3/2 med symmetrigruppe D p d hvis q er ulige og D p h hvis lige.

Hvis p/q er et heltal, dvs. q = 1, prismet eller antiprismet er konveks. (En brøkdel betragtes altid som irreducerbar.)

Et antiprisme med p/q < 2 er selvskærende eller degenereret , og dets toppunktsfigur ligner en butterfly. Med p/q ≤ 3/2 er der ingen homogene antiprismer, da deres toppunktsfigur ville overtræde trekantens ulighed .

Tegninger

Bemærk: Tetraederet , terningen og oktaederet er anført nedenfor som havende dihedrisk symmetri (henholdsvis som det diagonale antiprisme , det kvadratiske prisme og det trekantede antiprisme ), selvom tetraederet, når det er ensartet farvet, også har tetraedrisk symmetri og terningen og oktaederet har oktaedrisk symmetri.

Se også

• Ensartet polyeder
• Prisme (geometri)
• antiprisme

Noter

Litteratur

• HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A. Matematiske og fysiske videnskaber. - Det Kongelige Selskab, 1954. - T. 246 , Nr. 916 . — S. 401–450 . — ISSN 0080-4614 . doi : 10.1098/ rsta.1954.0003 . — .

• P. Cromwell. Polyeder. - Storbritannien: Cambridge University Press, 1997. - S. 175. - ISBN 0-521-55432-2 .
• John Skilling. Uniform Compounds of Uniform Polyhedra // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1976. - T. 79 , no. 3 . — S. 447–457 . - doi : 10.1017/S0305004100052440 . .

Links

• Prismer og antiprismer George W. Hart