Harcourts sætning

Harcourts sætning  er en formel i geometri for arealet af en trekant som funktion af længderne af siderne og afstandene fra trekantens toppunkter til en vilkårlig linje, der tangerer den indskrevne cirkel [1] .

Sætningen er opkaldt efter J. Harcourt, en irsk professor [2] .

Erklæring

Lad trekanten være givet ved dens toppunkter A , B og C , siderne modsat hjørnerne har længderne a , b og c , arealet er lig med K og linjen berører cirklen indskrevet i trekanten i et vilkårligt punkt. Lad os betegne afstandene fra trekantens hjørner til den rette linje som a ', b ' og c ', mens hvis toppunktet og cirklens centrum ligger på hver sin side af den rette linje, betragtes afstanden som negativ. Derefter

Degenereret kasus

Hvis tangentlinjen indeholder en af ​​trekantens sider, så er to afstande lig med nul, og formlen forenkles til trekantsformlen - to gange er arealet lig med produktet af basen og højden.

Generalisering

.

Dualitetsegenskab

Hvis a', b', c' i stedet for afstanden til en vilkårlig tangent til den indskrevne cirkel angiver afstandene fra siderne til et vilkårligt punkt, er ligheden

forbliver sandt [5] .

Noter

  1. ↑ Dergiades, Salazar, 2003 , s. 117-124.
  2. ↑ G.-M., 1912 , s. 750.
  3. ↑ Dergiades, Salazar, 2003 , Thm.3.
  4. ↑ Zetel S. I. Ny geometri af en trekant. En guide til lærere. 2. udgave. M.: Uchpedgiz, 1962. Følge på s. 43.
  5. ↑ Whitworth, 2012 , s. elleve.

Litteratur