Radikalt centrum

Det radikale centrum af tre cirkler er skæringspunktet for de tre radikalakser i par af cirkler. Hvis det radikale centrum ligger uden for alle tre cirkler, så er det midten af den eneste cirkel ( radikal cirkel ), der skærer de tre givne cirkler ortogonalt . Konstruktionen af denne ortogonale cirkel svarer til Monge-problemet . Dette er et særligt tilfælde af sætningen med tre keglesnit.

De tre radikalakser skærer hinanden i et punkt, det radikale centrum, af følgende grund: Radikalaksen i et par cirkler er defineret som det sæt af punkter, der har samme grad h i forhold til begge cirkler. For eksempel, for ethvert punkt P på den radikale akse af cirkler 1 og 2, er graderne med hensyn til hver af cirklerne h 1 = h 2 . På samme måde skal graderne for ethvert punkt på den radikale akse af cirkler 2 og 3 være lig med h 2 = h 3 . I skæringspunktet mellem disse to linjer skal disse tre grader således falde sammen: h 1 \ u003d h 2 \ u003d h 3 . Heraf følger, at h 1 = h 3 , og dette punkt skal ligge på den radikale akse af cirkler 1 og 3. Alle tre radikalakser passerer således gennem ét punkt - det radikale centrum.

Eksempler

Det radikale center har flere anvendelsesmuligheder inden for geometri. Det spiller en vigtig rolle i løsningen af Apollonius-problemet , udgivet af Joseph Díaz Gergonne i 1814.
I et graddiagram af et system af cirkler, ligger alle toppunkterne i diagrammet ved de radikale centre for tripler af cirkler.
Spieker-centret i en trekant er det radikale centrum af dens tre cirkler [1] .
Der findes også andre radikale centre, såsom det radikale center i Lucas-kredse.
Ortopolen P i trekantens rette linie ℓ er det radikale centrum af tre cirkler, der tangerer den rette linie ℓ og har centre ved spidserne af den antikomplementære trekant i forhold til den givne trekant. [2]

Ortogonalitet

To cirkler, der skærer hinanden i rette vinkler , kaldes ortogonale . Cirkler kan betragtes som ortogonale , hvis de danner en ret vinkel med hinanden.
To cirkler, der skærer hinanden i punkter og med centre og kaldes ortogonale , hvis de er rette vinkler og . Det er denne betingelse, der garanterer en ret vinkel mellem cirklerne. I dette tilfælde er radierne (normalerne) af de to cirkler tegnet til punktet for deres skæringspunkt vinkelrette. Derfor er tangenterne af to cirkler trukket til punktet for deres skæringspunkt også vinkelrette. Cirklens tangent er vinkelret på radius (normal) tegnet til kontaktpunktet. Normalt er vinklen mellem kurver vinklen mellem deres tangenter tegnet ved deres skæringspunkt. $EN$ $B$ $O$ $O'$ $OAO'$ $OBO$
Der kan være en anden yderligere betingelse. Lad to cirkler, der skærer i punkterne A og B, have midtpunkter af skærende buer i punkterne C og D , det vil sige, at buen AC er lig med buen CB , buen AD er lig med buen DB . Så kaldes disse cirkler ortogonale , hvis de er rette vinkler СAD og СBD .

Se også

Noter

↑ Odenhal, 2010 , s. 35-40.
↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. (Afsnit: G. Ortopolen. Øvelser. Punkt 6. S. 291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 s.

Litteratur