Hilbert kort aritmetik

Den stabile version blev tjekket ud den 17. april 2022 . Der er ubekræftede ændringer i skabeloner eller .

Hilberts korte aritmetik  er et eksempel på en semigruppe , der illustrerer det faktum, at for at bevise hovedsætningen for aritmetik , er det nødvendigt at bruge egenskaberne for ikke kun multiplikation , men også addition . Dette eksempel skyldes David Hilbert [1] .

Definition

Hilberts korte aritmetik er et sæt tal af formen , hvor der går gennem alle naturlige tal [2] :

Nogle gange kaldes de Hilbert-tal [3] . På dette sæt kan standardoperationen af ​​multiplikation defineres korrekt, da produktet af to tal fra mængden igen giver et tal fra dette sæt :. Således kort Hilbert aritmetik er en semigruppe .

Hilbert primer

I Hilbert-aritmetikken kan man definere primtal ( Hilbert-primtal [a] ) på standardmåden: et Hilbert-tal kaldes et Hilbert-primtal , hvis det ikke er deleligt med et mindre Hilbert-tal (ud over ) [5] [6] . Sekvensen af ​​Hilbert-primtal starter således [7] :

En Hilbert-primtal er ikke nødvendigvis primtal i sædvanlig forstand . For eksempel er sammensat i naturlige tal , fordi det dog er et Hilbert-primtal, da hverken , eller (det vil sige alle divisorer af tallet bortset fra og selve tallet) er Hilbert-tal. Det følger af egenskaberne ved modulo multiplikation , at Hilbert-primtal enten er et primtal af formen (sådanne tal kaldes pythagoræiske primtal ) eller en semisimple af formen .

Utilfredsstillelse af aritmetikkens grundsætning

Ethvert Hilbert-tal kan dekomponeres til et produkt af Hilbert-primtal, men den grundlæggende sætning for aritmetik holder ikke for kort Hilbert-aritmetik : en sådan dekomponering er muligvis ikke unik. For eksempel er et Hilbert-tal, men dekomponerer i Hilbert-primtal på to måder:

.

hvor tallene , og er Hilbert-primtal [1] [4] .

Noter

Kommentarer

  1. ↑ I Kostrikins lærebog kaldes de kvasi-primtal [4] .

Kilder

  1. ↑ 1 2 Zhikov V. V. Det grundlæggende aritmetiske sætning  // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , nr. 3 . - S. 113 . Arkiveret fra originalen den 23. november 2018.
  2. ↑ OEIS -sekvens A016813 _
  3. ↑ Flannery S. , Flannery D. In Code: A Mathematical Journey. - Profilbøger, 2000. - S. 35.
  4. ↑ 1 2 Kostrikin A. I. Introduktion til algebra. - M . : Nauka, 1977. - S. 72-73. — 496 s.
  5. ↑ Don Redmond. Talteori: En introduktion til ren og anvendt matematik . — CRC Press, 1996-04-23. - S. 30. - 784 s.
  6. ↑ James J. Tattersall. Elementær talteori i ni kapitler . - Cambridge University Press, 1999-10-14. - S. 84. - 420 s.
  7. ↑ OEIS -sekvens A057948 _

Links