Pythagoras primtal

Et pythagoras primtal er et primtal på formen 4n + 1.

Pythagoras primtal kan repræsenteres som summen af to kvadrater (deraf navnet på tallene - analogt med den berømte Pythagoras sætning .)

De første par pythagoræiske primtal er:

5 , 13 , 17 , 29 , 37 , 41 , 53 , 61 , 73 , 89 , 97 , 101 , 109 , 113 , ... OEIS -sekvens A002144 .

Fermat-Euler- sætningen siger, at disse primtal kan repræsenteres entydigt (op til en størrelsesorden) som summen af to kvadrater, og at ingen andre primtal kan repræsenteres på denne måde bortset fra . Alle disse primtal (inklusive 2) er normen for Gaussiske heltal , mens de andre primtal ikke er det. $2=1^{2}+1^{2}$

Den kvadratiske lov om reciprocitet siger, at hvis p og q er forskellige ulige primtal, og mindst et af dem er pythagoræisk, så er p kun en andengradsrest mod q , hvis q er en andengradsrest mod p ; omvendt, hvis hverken p eller q er Pythagoras, så er p en andengradsrest modulo q , hvis og kun hvis q er en kvadratisk ikke- rest mod p .

I et felt Z/p med et Pythagoras primtal p har polynomiet to løsninger. $x^{2}=-1$

Numeriske systemer
Tællelige sæt	Naturlige tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationel ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beregnbar Aritmetik
Reelle tal og deres forlængelser	Ægte ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Kompleks ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonioner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Skifter Dobbelt Hyperkompleks Superrealistisk Hypermateriale surrealistisk
Numeriske udvidelsesværktøjer	Cayley-Dixon procedure Frobenius sætning Hurwitz-sætning
Andre nummersystemer	kardinalnumre Ordinaltal (transfinite, ordinaler) p-adic Overnaturlige tal intervaltal
se også	dobbelte tal Irrationelle tal transcendentale tal nummerstråle Biquaternion