Deltahedra

Deltaederet er et polyeder , hvis flader alle er regulære trekanter . Navnet er taget fra det græske store bogstav delta ( ), der er formet som en ligesidet trekant. Der er uendeligt mange deltaedre, men kun otte af dem er konvekse , og de har 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 og 20 ansigter [1] .

Antallet af flader, kanter og toppunkter er angivet nedenfor for hver af de otte deltaedre.

Konvekse deltaedre

I alt er der 8 konvekse deltaedre [2] , hvoraf 3 er platoniske faste stoffer , og 5 er Johnson polyedre .

I et deltaeder med 6 flader er nogle knudepunkter af grad 3 og nogle er af grad 4. I deltaedre med 10, 12, 14 og 16 flader er nogle knudepunkter af grad 4, og nogle er af grad 5. Disse fem uregelmæssige deltaedre tilhører klassen af ​​regulære polyedre - konvekse polyedre med regulære polygoner som flader.

Der er ingen konveks deltaeder med 18 flader [3] . Et ikosaeder med en sammentrukket kant giver dog et eksempel på et oktaeder , som enten kan gøres konveks med 18 uregelmæssige flader, eller med to sæt af tre ligesidede trekanter liggende i samme plan.

Almindelige deltaedre
Navn Billede Antal
hjørner 		Antal
ribben 		Antal
ansigter
Vertex konfiguration 		Symmetri gruppe
almindelig tetraeder fire 6 fire 4 x 3 3 T d , [3,3]
Regelmæssig oktaeder (firkantet bipyramide) 6 12 otte 6× 34 Åh , [ 4,3 ]
Almindelig icosahedron 12 tredive tyve 12× 35 I h , [5,3]
Johnson deltahedra
trekantet bipyramide 5 9 6 2 x 3 3
3 x 3 4 		D 3h , [3,2]
Femkantet bipyramide 7 femten ti 5 x 3 4
2 x 3 5 		D 5t , [5,2]
pladeepitel biclinoid otte atten 12 4 x 3 4
4 x 3 5 		D2d , [2,2 ]
Tredobbelt forlænget trekantet prisme 9 21 fjorten 3 x 3 4
6 x 3 5 		D 3h , [3,2]
Snoet aflang firkantet bipyramide ti 24 16 2 x 3 4
8 x 3 5 		D4d , [4,2 ]

Ikke-strengt konvekse tilfælde

Der er uendeligt mange deltaedre med koplanære (ligger i samme plan) trekanter. Hvis sæt af koplanære trekanter anses for at være én flade, kan færre flader, kanter og hjørner tælles. Coplanare trekantede flader kan smeltes sammen til rombiske, trapezformede, sekskantede eller andre ligesidede polygonale flader. Hvert ansigt skal være en konveks polymond , såsom , , , , , , og , ... [4]

Nogle små eksempler

Coplanar deltaedre
Billede Navn ansigter ribben Toppe Vertex-konfigurationer Symmetri gruppe
Extended octahedron
Extension
1 tetra. + 1. okt 		ti femten 7 1 x 3 3
3 x 3 4
3 x 3 5
0 x 3 6 		C 3v , [3]
4 3
 12
Trekantet trapezhedron
Extension
2 tetra. + 1. okt 		12 atten otte 2 x 3 3
0 x 3 4
6 x 3 5
0 x 3 6 		C 3v , [3]
6 12
Udvidelse
2 tetra. + 1. okt 		12 atten otte 2 x 3 3
1 x 3 4
4 x 3 5
1 x 3 6 		C 2v , [2]
2 2 2

 elleve 7
Trekantet trunkeret pyramide
Extension
3 tetra. + 1. okt 		fjorten 21 9 3 x 3 3
0 x 3 4
3 x 3 5
3 x 3 6 		C 3v , [3]
1 3 1

 9 6
Elongated octahedron
Extension
2 tetra. + 2. okt 		16 24 ti 0 x 3 3
4 x 3 4
4 x 3 5
2 x 3 6 		D 2h , [2,2]
4 4
 12 6
Tetrahedron
Extension
4 tetra. + 1. okt 		16 24 ti 4 x 3 3
0 x 3 4
0 x 3 5
6 x 3 6 		T d , [3,3]
fire 6 fire
Udvidelse
3 tetra. + 2. okt 		atten 27 elleve 1 x 3 3
2 x 3 4
5 x 3 5
3 x 3 6 		D 2h , [2,2]
2 1 2 2


 fjorten 9
Icosahedron med sammentrukket kant atten 27 elleve 0 x 3 3
2 x 3 4
8 x 3 5
1 x 3 6 		C 2v , [2]
12 2
 22 ti
Bi-truncated bipyramid
Extension
6 tetra. + 2. okt 		tyve tredive 12 0 x 3 3
3 x 3 4
6 x 3 5
3 x 3 6 		D 3h , [3,2]
26 _
 femten 9
Tre-pitched dome
Extension
4 tetra. + 3. okt 		22 33 13 0 x 3 3
3 x 3 4
6 x 3 5
4 x 3 6 		C 3v , [3]
3 3 1 1


 femten 9
Trekantet bipyramid
Extension
8 tetra. + 2. okt 		24 36 fjorten 2 x 3 3
3 x 3 4
0 x 3 5
9 x 3 6 		D 3t , [3]
6 9 5
Sekskantet antiprisme 24 36 fjorten 0 x 3 3
0 x 3 4
12 x 3 5
2 x 3 6 		D 6d , [12,2 + ]
12 2
 24 12
Trunkeret tetraeder
Extension
6 tetrahedron. + 4. okt 		28 42 16 0 x 3 3
0 x 3 4
12 x 3 5
4 x 3 6 		T d , [3,3]
4 4
 atten 12
Tetrakiskuboctahedron
Octahedron
Extension
8 tetra. + 6. okt 		32 24 atten 0 x 3 3
12 x 3 4
0 x 3 5
6 x 3 6 		Åh , [ 4,3 ]
otte 12 6

Ikke-konvekse deltaedre

Der er uendeligt mange ikke-konvekse og toroidale deltaedre.

Et eksempel på et deltahedron med selvskærende ansigter

Andre ikke-konvekse deltaedre kan opnås ved at tilføje pyramider til flader af alle 5 almindelige polyedre:

Triakistetraeder Tetrakisheksahedron Triakisoctahedron
( stella octangula ) 		Pentakisdodecahedron Triakisicosahedron
12 trekanter 24 trekanter 60 trekanter

Andre udvidelser af tetraedre:

Eksempler: Augmented Tetrahedra
8 trekanter 10 trekanter 12 trekanter

Også ved at tilføje omvendte pyramider til ansigterne:


Notched dodecahedron
toroidal deltahedron
60 trekanter 48 trekanter

Noter

  1. ↑ Freudenthal, van der Waerden, 1947 , s. 115-128.
  2. ↑ Konvekse deltaedre . Hentet 6. juni 2016. Arkiveret fra originalen 26. september 2020.
  3. ↑ Trigg, 1978 , s. 55-57.
  4. ↑ De konvekse deltaedre og tilladelsen til koplanare ansigter . Hentet 13. oktober 2017. Arkiveret fra originalen 19. oktober 2015.

Litteratur