Konvergenskriterium for fortegnspositive serier

Kriteriet for konvergens af positive serier er hovedtegnet på konvergens af positive numeriske serier . Hævder, at en positiv serie konvergerer, hvis og kun hvis rækkefølgen af dens partielle summer er afgrænset ovenfra. $\sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}$ $S(n)=\sum _{{k=1}}^{n}a_{k}$

Bevis

På den ene side, da serien konvergerer, har sekvensen af delsummer en grænse. Derfor er det begrænset. Så det er begrænset både nedefra og oppefra.

Lad omvendt give en positiv række og en sekvens af delsummer afgrænset ovenfra. Bemærk, at rækkefølgen af delsummer ikke er faldende:

S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}\geqslant 0

Nu bruger vi egenskaben fra den monotone sekvenssætning . Vi opnår, at sekvensen af partielle summer konvergerer (den aftager ikke monotont og er afgrænset ovenfra), og derfor konvergerer rækken per definition.

Litteratur

Yu. S. Bogdanov — Forelæsninger om matematisk analyse — Del 2 — Minsk — BSU Publishing House. V. I. Lenin - 1978.

Tegn på konvergens af serier
For alle rækker	Nødvendig tilstand Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
For tegn-positive serier	Hovedkriterium Sammenligningstegn Kummer tegn Gauss tegn Cauchys radikale tegn Integreret funktion Tegn af D'Alembert magt tegn logaritmisk tegn Tegn af Raabe Bertrand tegn Tegn på Jamet Tegn på Schlömilch Ermakovs tegn Lobachevskys tegn teleskopskilt Tegn på Sapogov
Til skiftende serier	Leibniz tegn
For rækker af formularen $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tegn Tegn på Dedekind Dubois-Reymond skilt Dirichlet tegn
Til funktionelle serier	Weierstrass skilt
Til Fourier-serien	Dini tegn Tegn på de la Vallée Poussin Jordan tegn Jung tegn Salem tegn Lebesgue tegn Lebesgue-Gergen tegn Tegn af Martsinkevich