Tegn af Raabe

Raabe -tegnet ( Raabe-Duhamel- tegnet ) er et tegn på konvergens af tegn-positive numeriske serier , etableret i 1832 af Joseph Ludwig Raabe [ 1] og selvstændigt i 1839 af Jean-Marie Duhamel [2] .

Ordlyd

Serien konvergerer , hvis uligheden er tilstrækkelig stor $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n$

R_{n}=n\venstre({\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-1\right)\geqslant r,

hvor . $r>1$

Hvis , startende fra nogle , så divergerer serien . $R_{n}\leqslant 1$ $n$ $a_n$

Hvis der er en grænse:

R=\lim _{{n\to \infty }}R_{n}

derefter for , serien konvergerer, og for , den divergerer. $R>1$ $R<1$

Kommentar. Hvis , så svarer Raabe-kriteriet ikke på spørgsmålet om seriens konvergens. $R=1$

Beviset er baseret på brugen af kriteriet til sammenligning af relationer sammenlignet med en generaliseret harmonisk række.

For kriteriet i den begrænsende form giver 2, hvilket betyder seriens konvergens. $\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}$

D'Alembert-konvergenstesten er en lignende test baseret på forholdet mellem naboled.

↑ JL Raabe. Untersuchungen über die Convergenz und Divergenz der Reihen (tysk) // Zeitschrift für Physik und Mathematik. - 1832. - Bd. 10 . - S. 41-74 .
↑ M. Duhamel. Nouvelle règle pour la convergence des séries (fransk) // J. de mathématiques pures et appliquées. - 1839. - Bd. 4 . - S. 214-221 .

Arkhipov, G. I., Sadovnichiy, V. A., Chubarikov, V. N. Forelæsninger om matematisk analyse: Lærebog for universiteter og ped. universiteter / red. V. A. Sadovnichy. - M . : Higher School , 1999. - 695 s. - ISBN 5-06-003596-4 . .
I. M. Vinogradov. Raabe tegn // Matematisk Encyklopædi. — M.: Sovjetisk Encyklopædi . - 1977-1985. (Russisk)

Tegn på konvergens af serier
For alle rækker	Nødvendig tilstand Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
For tegn-positive serier	Hovedkriterium Sammenligningstegn Kummer tegn Gauss tegn Cauchys radikale tegn Integreret funktion Tegn af D'Alembert magt tegn logaritmisk tegn Tegn af Raabe Bertrand tegn Tegn på Jamet Tegn på Schlömilch Ermakovs tegn Lobachevskys tegn teleskopskilt Tegn på Sapogov
Til skiftende serier	Leibniz tegn
For rækker af formularen $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tegn Tegn på Dedekind Dubois-Reymond skilt Dirichlet tegn
Til funktionelle serier	Weierstrass skilt
Til Fourier-serien	Dini tegn Tegn på de la Vallée Poussin Jordan tegn Jung tegn Salem tegn Lebesgue tegn Lebesgue-Gergen tegn Tegn af Martsinkevich