Antal sekvensgrænse

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. september 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Grænsen for en numerisk sekvens er grænsen for en sekvens af elementer i et numerisk rum. Et talrum er et metrisk rum , hvor afstand er defineret som modulet af forskellen mellem elementer. Derfor kaldes et tal grænsen for en sekvens, hvis der for nogen eksisterer et tal afhængig af , sådan at uligheden gælder for nogen . $-en$ $\{x_n\}$ $\varepsilon > 0$ $N_\varepsilon$ $\varepsilon$ $n > N_\varepsilon$ $\ |x_n - a| < \varepsilon$

I tilfælde af komplekse tal svarer eksistensen af en grænse for en sekvens til eksistensen af grænserne for de tilsvarende sekvenser af reelle og imaginære dele af komplekse tal.

Grænsen (for en numerisk sekvens) er et af de grundlæggende begreber i matematisk analyse . Hvert reelt tal kan repræsenteres som grænsen for en sekvens af tilnærmelser til den ønskede værdi. Talsystemet giver en sådan sekvens af justeringer. Hele tal og rationelle tal er beskrevet af periodiske sekvenser af tilnærmelser, mens irrationelle tal er beskrevet af ikke-periodiske sekvenser af tilnærmelser. [1] I numeriske metoder , hvor repræsentationen af tal med et endeligt antal fortegn bruges, spiller valget af tilnærmelsessystemet en særlig rolle. Kriteriet for kvaliteten af tilnærmelsessystemet er konvergenshastigheden. I denne henseende viser fortsatte brøkrepræsentationer af tal at være effektive .

Historie

Begrebet grænsen for en sekvens blev brugt af Newton i anden halvdel af det 17. århundrede og af matematikere fra det 18. århundrede , såsom Euler og Lagrange , men de forstod grænsen intuitivt. De første strenge definitioner af grænsen for en sekvens blev givet af Bolzano i 1816 og af Cauchy i 1821 .

Definition

Et tal kaldes grænsen for en numerisk sekvens, hvis sekvensen er uendelig lille, det vil sige, at alle dens elementer, startende fra nogle, er mindre end et hvilket som helst forudtaget positivt tal i absolut værdi. $a\in \mathbb {R}$ $\{x_n\}$ $\{x_{n}-a\}$

\lim _{n\to \infty }x_{n}=a~\Leftrightarrow ~\forall \varepsilon >0~\eksisterer N(\varepsilon )\i \mathbb {N} \colon ~n\geqslant N~\Rightarrow |x_{n}-a|<\varepsilon

(for enhver lille epsilon er der et tal, der starter, hvorfra elementerne i sekvensen vil afvige fra grænsen med mindre end epsilon)

Hvis et tal er grænsen for en numerisk sekvens , så siges sekvensen også at konvergere til . Hvis intet reelt tal er grænsen for rækkefølgen , kaldes det divergent . $a\in \mathbb {R}$ $\{x_n\}$ $\{x_n\}$ $-en$ $\{x_n\}$

For nogle sekvenser antages grænsen at være uendelig . De siger nemlig, at sekvensen har en tendens til at være uendelig , hvis for et hvilket som helst reelt tal alle medlemmer af sekvensen, startende fra nogle, viser sig at være større end dette tal i absolut værdi. Formelt, $\{x_n\}$

\lim_{n \to \infty} x_n = \infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow |x_n| > E

Derudover, hvis alle elementer i en sekvens, der har en tendens til uendelig, startende fra et bestemt tal, har et positivt fortegn, så siger de, at grænsen for en sådan sekvens er plus uendelig .

\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \eksisterer N (E) \i \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n > E

Hvis elementerne i en sekvens, der har en tendens til uendelig, startende fra et vist tal, har et negativt fortegn, siger de, at grænsen for en sådan sekvens er lig med minus uendelig .

\lim_{n \to \infty} x_n = -\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \eksisterer N (E) \i \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n < -E

Enhver sekvens, der tenderer mod det uendelige, er ubegrænset . Det omvendte er dog ikke sandt.

Den delvise grænse for en sekvens er grænsen for en af densundersekvenser.

Den øvre grænse for en sekvens er den største af dens grænsepunkter (hvilket svarer til den største delgrænse).

Den nedre grænse for en sekvens er den mindste af dens grænsepunkter.

Notation

Det faktum, at en sekvens konvergerer til et tal , angives på en af følgende måder: $\{x_n\}$ $-en$

$\lim_{n \to \infty} x_n = a$

eller

$x_n ~ \xrightarrow[n \to \infty]{} ~ a$

Egenskaber

Der er visse funktioner for grænsen for sekvenser af reelle tal . [2]

Alternative definitioner af grænsen for en sekvens kan gives. For eksempel at kalde en grænse for et tal i et hvilket som helst kvarter, hvoraf der er uendeligt mange elementer i sekvensen, mens der uden for sådanne kvarterer kun er et endeligt antal elementer. Således kan grænsen for en sekvens kun være grænsepunktet for sættet af dens elementer. Denne definition stemmer overens med den generelle definition af en grænse for topologiske rum.

Denne definition har en uundgåelig mangel: den forklarer, hvad en grænse er, men giver ikke en måde at beregne den på, eller information om dens eksistens. Alt dette udledes af følgende (bevisbare per definition) egenskaber af grænsen.

Egenskaber

Det unikke ved grænsen.

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a,\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=b\;\Rightarrow \;a=b$

Aritmetiske egenskaber

at tage grænsen for en numerisk sekvens er lineær , det vil sige, at den udviser to egenskaber ved lineære afbildninger.
- Additivitet . Grænsen for summen af numeriske sekvenser er summen af deres grænser, hvis hver af dem eksisterer. $\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n$
- Ensartethed . Konstanten kan tages ud under grænsetegnet. $\forall k \in \R \colon \lim_{n \to \infty} k x_n = k \lim_{n \to \infty} x_n$
Grænsen for et produkt af numeriske sekvenser faktoriseres med produktet af grænserne, hvis hver af dem eksisterer. $\lim_{n \to \infty}(x_n \cdot y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} y_n$
Grænsen for forholdet mellem numeriske sekvenser er forholdet mellem deres grænser, hvis disse grænser eksisterer, og divisorsekvensen ikke er uendelig. $\lim _{{n\to \infty }}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim \limits _{{n\to \infty }}x_{n }}{\lim \limits _{{n\to \infty }}y_{n}}}$

Ordrebevaringsegenskaber _

Hvis alle elementer i en konvergent sekvens, startende fra et eller andet tal, ikke overstiger et eller andet antal, så overstiger grænsen for denne sekvens heller ikke dette tal. $\eksisterer N \i \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$
Hvis et tal ikke overstiger alle elementer i en konvergent sekvens, startende fra et eller andet tal, så overskrider det heller ikke grænsen for denne sekvens. $\eksisterer N \i \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \geqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$
Hvis et eller andet tal strengt taget overstiger alle elementer i en konvergent sekvens, startende fra et eller andet tal, så overstiger grænsen for denne sekvens ikke dette tal. $\eksisterer N \i \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n < a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$
Hvis alle elementer i en konvergent sekvens, startende fra et eller andet tal, strengt taget overstiger et eller andet antal, så overskrider dette tal ikke grænsen for denne sekvens. $\eksisterer N \i \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n > a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$
Hvis, startende fra et eller andet tal, alle elementer i en konvergent sekvens ikke overstiger de tilsvarende elementer i en anden konvergent sekvens, så overskrider grænsen for den første sekvens ikke grænsen for den anden. $\eksisterer N \i \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$
For numeriske sekvenser er sætningen om to politimænd (princippet om tosidet begrænsning) gyldig. $\eksisterer N \i \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant z_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} z_n \ leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$

Andre egenskaber

En konvergent talrække har kun én grænse. $\lim_{n \to \infty} x_n = a ~ \land ~ \lim_{n \to \infty} x_n = b ~ \Højrepil ~ a = b$

Lukning . Hvis alle elementer i en konvergent numerisk sekvens ligger på et bestemt segment , så ligger grænsen også på det samme segment. $\forall n \in \N \colon x_n \i [a,~b] ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \i [a,~b]$

Grænsen for en sekvens med samme tal er lig med dette tal. $\lim_{n \to \infty} x = x$

Udskiftning eller sletning af et begrænset antal elementer i en konvergent numerisk sekvens påvirker ikke grænsen.

En stigende sekvens afgrænset fra oven har en grænse. Det samme gælder for en aftagende sekvens afgrænset nedenfor.
Produktet af en uendelig stor sekvens afgrænset nedenfor er en uendelig stor sekvens.

Stolz' sætning gælder .

Hvis en sekvens har en grænse, så har sekvensen af aritmetiske middelværdier den samme grænse (følger af Stolz' sætning). $x_n$ $\frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$

Hvis en talfølge har en grænse , og hvis der er givet en funktion , defineret for hver og kontinuerlig ved punktet , så $\{x_n\}$ $x$ $f(x)$ $x_{n}$ $x$ $\lim_{n\to\infty}{f(x_{n})}=f(x)$

Eksempler

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$

$\forall q \in \R \colon \lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{n!} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$

$\forall a \in \R\setminus\{0\} \colon \lim_{n \to \infty} \underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \cdots + \sqrt{a))))_ {n} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 a}}{2}$

$\lim_{n \to \infty} x_n = x ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k = 1}^{n} x_k} = x$

$\forall n \in \N \colon x_n > 0 ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt [n]{x_n}$

$\lim_{n \to \infty} n = +\infty$

$\neksisterer \lim_{n \to \infty} (-1)^n$

Tilfældet med komplekse tal

Et komplekst tal kaldes grænsen for en rækkefølge , hvis det for ethvert positivt tal er muligt at angive et sådant tal , startende fra hvilket alle elementer i denne rækkefølge opfylder uligheden for $-en$ $\{z_n\}$ $\varepsilon$ $N=N(\varepsilon)$ $z_n$
$|z_n - a|< \varepsilon$ $n\geqslant N(\varepsilon )$

En sekvens , der har en grænse , siges at konvergere til et tal , som skrives som . $\{z_n\}$ $-en$ $-en$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}z_{n}=a$

Eksempler

Ikke enhver afgrænset sekvens har en grænse. For eksempel, hvis vi tager som et mellemrum sættet af reelle tal med standardtopologi, og som en sekvens , så vil det ikke have en grænse (det kan dog finde øvre og nedre grænser, dvs. grænserne for dens undersekvenser - delvise grænser ). $x_n$ $x_n = (-1)^n$ $elleve$

Se også

Noter

↑ Dette indebærer gentagelse af tal i notationen af et tal i et eller andet fast talsystem.
↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 3. Theory of Limits // Matematisk analyse / Red. A.N. Tikhonova . - 3. udg. , revideret og yderligere - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 68-105. — 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .