Interpolation

For funktionen, se: Interpolant .

Interpolation , interpolation ( fra lat. inter-polis - " udjævnet, opdateret, opdateret; transformeret ") - i beregningsmatematik , finde ukendte mellemværdier af en funktion, fra et eksisterende diskret sæt af dens kendte værdier, på en bestemt måde . Udtrykket "interpolation" blev først brugt af John Vallis i hans afhandling The Arithmetic of the Infinite (1656).

I funktionel analyse er interpolationen af lineære operatorer et afsnit, der betragter Banach-rum som elementer i en bestemt kategori [1] .

Mange af dem, der beskæftiger sig med videnskabelige og tekniske beregninger, må ofte operere på værdisæt opnået ved erfaring eller tilfældig stikprøve . Som regel er det på grundlag af disse sæt påkrævet at konstruere en funktion , hvor andre opnåede værdier kan falde med høj nøjagtighed. Sådan en opgave kaldes tilnærmelse . Interpolation er en type tilnærmelse, hvor kurven for den konstruerede funktion passerer nøjagtigt gennem de tilgængelige datapunkter.

Der er også et problem tæt på interpolation, som består i at tilnærme en kompleks funktion med en anden, enklere funktion. Hvis en bestemt funktion er for kompleks til produktive beregninger, kan du prøve at beregne dens værdi på flere punkter og bygge, det vil sige interpolere, en enklere funktion ud fra dem. Naturligvis giver brug af en forenklet funktion ikke mulighed for at få de samme nøjagtige resultater, som den oprindelige funktion ville give. Men i nogle klasser af problemer kan gevinsten i enkelhed og hastighed af beregninger opveje den resulterende fejl i resultaterne.

Vi bør også nævne en helt anden form for matematisk interpolation, kendt som "operatørinterpolation". Klassiske værker om operatorinterpolation omfatter Riesz-Thorin- sætningen og Marcinkiewicz-sætningen , som er grundlaget for mange andre værker.

Definitioner

Overvej et system af ikke-sammenfaldende punkter ( ) fra et eller andet område . Lad værdierne af funktionen kun være kendt på disse punkter: $x_{i}$ $i\i {0,1,\dots ,N}$ $D$ $f$

y_{i}=f(x_{i}),\quad i=1,\ldots ,N.

Problemet med interpolation er at finde en sådan funktion fra en given klasse af funktioner, der $F$

F(x_{i})=y_{i},\quad i=1,\ldots ,N.

Punkter kaldes interpolationsnoder , og deres helhed kaldes interpolationsgitter . $x_{i}$
Parrene kaldes datapunkter eller basispunkter . $(x_{i},y_{i})$
Forskellen mellem "tilstødende" værdier er trinnet i interpolationsgitteret . Det kan både være variabelt og konstant. ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1))$
Funktion - interpolerende funktion eller interpolant . $F(x)$

Eksempel

1. Antag, at vi har en tabelfunktion, som den, der er beskrevet nedenfor, som for flere værdier bestemmer de tilsvarende værdier : $x$ $f$

$x$	$f(x)$
0	0
en	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
fire	-0,7568
5	-0,9589
6	-0,2794

Interpolation hjælper os med at finde ud af, hvilken værdi en sådan funktion kan have i et andet punkt end de angivne punkter (for eksempel ved x = 2,5).

Til dato er der mange forskellige metoder til interpolation. Valget af den bedst egnede algoritme afhænger af svarene på spørgsmålene: hvor nøjagtig er den valgte metode, hvad koster det at bruge den, hvor glat er interpolationsfunktionen, hvor mange datapunkter kræver den osv.

2. Find en mellemværdi (ved lineær interpolation ).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

$?=15.5+{\frac {(6378-6000)}{8000-6000}}*{\frac {(19.2-15.5)}{1}}=16.1993$

Interpolationsmetoder

Nærmeste nabo interpolation

Den enkleste interpolationsmetode er nærmeste nabointerpolation .

Interpolation med polynomier

I praksis bruges interpolation med polynomier oftest . Dette skyldes primært, at polynomier er lette at beregne, det er nemt analytisk at finde deres afledte, og mængden af polynomier er tæt i rummet af kontinuerte funktioner ( Weierstrass ' sætning ).

Lineær interpolation
Newtons interpolationsformel
Endelig forskelsmetode
IMN-1 og IMN-2
Lagrangepolynomium (interpolationspolynomium)
Aitkens plan
spline funktion
kubisk spline

Omvendt interpolation (beregning af x givet y)

Lagrange polynomium
Invers interpolation med Newtons formel
Invers Gauss-interpolation

Interpolation af en funktion af flere variable

Andre interpolationsmetoder

Rationel interpolation
Trigonometrisk interpolation

Relaterede begreber

Ekstrapolation - metoder til at finde punkter uden for et givet interval (kurveudvidelse)
Retropolation - metoder til at finde, ved kendte værdier af en variabel, dens ukendte værdier i begyndelsen af en tidsserie .
Approksimation - metoder til at konstruere omtrentlige kurver

Se også

Noter

↑ Berg, 1980 , s. 6-7.

Litteratur

J. Berg, J. Löfström. interpolationsrum. Introduktion. — M .: Mir, 1980. — 264 s.
Ibragimov II Metoder til interpolation af funktioner og nogle af deres applikationer. - M . : Højere skole , 1971. - 520 s.
Walsh JL Interpolation og tilnærmelse ved rationelle funktioner i det komplekse domæne. -M.:Udenlandsk litteratur, 1961. - 508 s.
Tribel H. Interpolationsteori, funktionelle rum, differentialoperatorer. - M . : Mir , 1980. - 664 s.

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Stor russer Britannica (online) Treccani
I bibliografiske kataloger	BNF : 11978011w J9U : 987007558186905171 LCCN : sh85067492