En nødvendig betingelse for konvergens af serier

En nødvendig betingelse for konvergens af en serie ( Et nødvendigt kriterium for konvergens af en serie ):

For at serien kan konvergere , skal rækkefølgen være infinitesimal . $\sum a_{k}$ $(a_{k})$

Bevis

Lad den oprindelige række konvergere (sekvensen af delsummer har en endelig grænse). Ved betingelse, sekvenser af delvise summer og har en fælles endelig grænse , men , men fordi det svarer til uendelig lillehed . $(s_{k})$ $(s_{k+1})$ $s$ $|a_{k+1}|=|\,s_{k+1}-\,s_{k}|$ $|a_{k+1}|\højrepil 0$ $(a_{k})$

Bemærk

Denne funktion er kun nødvendig, men ikke tilstrækkelig , det vil sige af det faktum, at det ikke følger, at serien konvergerer. $(a_{k})\rightarrow 0$

Således divergerer den harmoniske række , selvom den nødvendige betingelse for seriens konvergens er opfyldt for den. $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{n}}+...$

Litteratur

Bogdanov Yu. S. - Forelæsninger om matematisk analyse - Del 2 - Minsk: BSU Publishing House - 1978.
Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning. - Ed. 6. - M. : Nauka, 1966. - T. 2. - 800 s.

Tegn på konvergens af serier
For alle rækker	Nødvendig tilstand Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
For tegn-positive serier	Hovedkriterium Sammenligningstegn Kummer tegn Gauss tegn Cauchys radikale tegn Integreret funktion Tegn af D'Alembert magt tegn logaritmisk tegn Tegn af Raabe Bertrand tegn Tegn på Jamet Tegn på Schlömilch Ermakovs tegn Lobachevskys tegn teleskopskilt Tegn på Sapogov
Til skiftende serier	Leibniz tegn
For rækker af formularen $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tegn Tegn på Dedekind Dubois-Reymond skilt Dirichlet tegn
Til funktionelle serier	Weierstrass skilt
Til Fourier-serien	Dini tegn Tegn på de la Vallée Poussin Jordan tegn Jung tegn Salem tegn Lebesgue tegn Lebesgue-Gergen tegn Tegn af Martsinkevich