Nul matrix

En nulmatrix er en matrix, hvis størrelse alle elementer er lig med nul . Det er angivet som eller eller [1]

Tegn

Nulmatricen, og kun den, har rang 0.

Dette betyder, at kun en nulmatrix har den egenskab, at den producerer en nulkolonne, når den ganges fra højre med en hvilken som helst kolonnevektor, og på samme måde, når den multipliceres med en rækkevektor fra venstre.

En anden konsekvens af dette faktum er nulheden af ​​alle m × 0 og 0 × n matricer , på grund af det faktum, at rangeringen af ​​en m × n matrix ikke overstiger min( m ,  n ).

Egenskaber

• Produktet af en nulmatrix med et hvilket som helst tal er lig med sig selv:

• Summen af ​​en matrix og en nulmatrix af samme størrelse er lig med den oprindelige matrix :

• Forskellen mellem en matrix og en nulmatrix af samme størrelse er lig med den oprindelige matrix :

• Produktet af størrelsesmatrixen ved nulstørrelsesmatricen er lig med nulstørrelsesmatrixen

• Den kvadratiske nulmatrix n × n at er degenereret , og som følge heraf er dens determinant lig med nul: Således har en sådan matrix ingen invers .

• Den kvadratiske nulmatrix er symmetrisk , og som en konsekvens heraf er dens transponerede matrix lig med sig selv:

• Den kvadratiske nulmatrix er også skævsymmetrisk :

• De sidste to punkter er sande ordret også med hensyn til at være hermitisk og skæv-hermitisk over komplekse tals felt.

• Den kvadratiske nulmatrix er en øvre trekantet , nedre trekantet og diagonal matrix.

• En kvadratisk nulmatrix er en skalarmatrix og permuterer derfor med enhver kvadratisk matrix af samme størrelse:

Alle ovennævnte egenskaber for nulmatricen er på den ene eller anden måde en konsekvens af, at nulmatricen er et additivt neutralt element (i daglig tale: nul) af det lineære rum af matricer af dens størrelse, hvilket betyder, at det (og kun det) tilhører ethvert lineært underrum . Nå, på samme tid, nulpunktet i algebraen af ​​matricer, hvis matricen er kvadratisk.

På trods af dette har nulmatricen også en ikke-triviel egenskab med hensyn til divisorer , der ikke er nul . Faktisk er der lige så mange af dem, som du vil, i det mindste til højre, endda til venstre, men den nøjagtige definition af "så mange du vil" afhænger af rummet af matricer af hvilken størrelse vi leder efter dem. Par af ikke-nul matricer M af størrelsen m × l og N af størrelsen l × n sådan, at de eksisterer, hvis og kun hvis . For eksistensen af ​​l \u003d 0 er det ikke nok allerede af den grund, at der blandt matricer med størrelse både m × 0 og 0 × n slet ikke er nogen ikke-nul (se ovenfor ). Og for en forklaring på ikke-eksistensen af ​​divisorer med l = 1, se artiklen tensorprodukt . Således i algebraen af ​​n × n matricer over ethvert felt er der nul divisorer hvis og kun hvis . Hvilket dog ikke er overraskende, hvis vi ser på, hvordan sådanne algebraer er arrangeret for n = 1 og n = 0.

Noter

1. ↑ Fundamentals of linear algebra, 1975 , s. elleve.

Litteratur

• Maltsev AI Fundamentals af lineær algebra. — M .: Nauka, 1975. — 400 s.