Cauchy kriterium

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. januar 2016; checks kræver 4 redigeringer .

Cauchy - kriteriet er et kriterium for eksistensen af en grænse . Cauchy-kriteriets tilstand svarer til definitionen af grænsen, men i modsætning til definitionen bruger kriteriet ikke en specifik grænseværdi nogen steder i sin tilstand. Dette gør det muligt at bevise eksistensen af en grænse uden at vide noget om dens specifikke værdi. Der er mange forskellige formuleringer af Cauchy-kriteriet for forskellige analyseobjekter: sekvenser, serier, integraler, funktioner og så videre.

Cauchys kriterium for eksistensen af en grænse for en numerisk sekvens

For det enkleste tilfælde af en numerisk sekvens er Cauchy-kriteriet formuleret som følger.

Lade være en numerisk sekvens (sekvens med elementer fra ). $a_n$ $\mathbb {R}$

$a_n$ har en grænse i hvis og kun hvis: $\mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m,n>N\colon |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon

[en]

Betingelsen, der er pålagt sekvensen i Cauchy-kriteriet, kaldes Cauchy-betingelsen . Ved første øjekast er Cauchy-kriteriet ikke meget enklere end definitionen af grænsen, men det er slet ikke tilfældet. Definitionen af grænsen er formuleret for den allerede kendte værdi af grænsen. For at bevise eksistensen af en grænse gennem en definition, skal man på forhånd vide, hvad denne grænse vil være lig med. Afvisningen af betingelsen i definitionen af grænsen vil kun betyde, at netop denne værdi, vi har overvejet, ikke er en grænse, men den siger absolut intet om, hvorvidt en anden værdi er en grænse eller ej. For at bevise, at grænsen ikke eksisterer, vil det være nødvendigt at kontrollere alle mulige værdier af grænserne. Cauchy-kriteriet har på den anden side en lignende tilstand, men uden at bruge værdien af sekvensens grænse, hvilket gør det muligt at bruge det uden at kende nogen information om den mulige værdi af grænsen.

Kravet under forudsætning af, at grænsen er et reelt tal , er ret betydeligt. Cauchy - kriteriet overføres ikke til rationelle tal: en sekvens af rationelle tal kan konvergere til et irrationelt tal. Den opfylder således Cauchy-betingelsen, men har ingen grænse for rationelle tal. Modeksempel: Udvidet tallinje . En sekvens, der tenderer mod det uendelige, opfylder ikke Cauchy-betingelsen. Men Cauchy-kriteriet kan stadig generaliseres til nogle sæt. For eksempel kan du overalt i formuleringen erstatte med , eller overveje komplekse tal i stedet for reelle tal. Generaliseringen af Cauchy-kriteriet til andre sæt vil blive diskuteret nedenfor. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Bevis

Brug for.

Lad sekvensen konvergere til . Lad os nedskrive definitionen af grænsen. $a_{n}\in \mathbb {R}$ $a\in {\mathbb {R}}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n>N\colon |a_{n}-a|<{\frac {\varepsilon }{2))

Vi ordner og tager det tilsvarende til det . Lad os tage vilkårlig . Derefter: $\varepsilon$ $N$ $m,n>N$

|a_{n}-a_{m}|\leq |a_{n}-a|+|a-a_{m}|<{\frac {\varepsilon }{2))+{\frac { \varepsilon }{2}}<\varepsilon

Tilstrækkelighed.

Beviset kan opdeles i 3 dele. I 1. del bevises rækkefølgens afgrænsning. I 2. uddrages der ved hjælp af Bolzano-Weierstrass-sætningen en konvergent delsekvens. I 3. del beviser vi, at grænsen for denne undersekvens er grænsen for hele sekvensen.

1. Begrænset rækkefølge

Lad os skrive Cauchy-tilstanden.

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n,m>N\colon |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon

Vi ordner og tager det tilsvarende til det . Fix . Så viser det sig, at startende fra sekvensens term, ligger hele sekvensen i -naboskabet af , hvilket betyder, at den er afgrænset. $\varepsilon$ $N$ $m>N$ $N+1$ $\varepsilon$ $er$

2. Bolzano-Weierstrass sætning

Ved Bolzano-Weierstrass-sætningen har en afgrænset talsekvens en konvergent underfølge . Lad os betegne dens grænse som . $a_n$ $a_{n_{k))$ $-en$

3. Grænsen for en delsekvens er grænsen for helheden

Lad os skrive Cauchy-tilstanden.

\forall \varepsilon >0\ \exists N_{1}\in \mathbb {N} \ \forall n,m>N_{1}\colon |a_{n}-a_{m}|<{\ frac {\varepsilon }{2}}

Lad os nedskrive definitionen af grænsen for en undersekvens.

\forall \varepsilon >0\ \exists N_{2}\in \mathbb {N} \ \forall k>N_{2}\colon |a_{n_{k}}-a|<{\frac { \varepsilon }{2}}

Vi fikser . Vi tager de tilsvarende og . Lad os tage sådan en . Derefter $\varepsilon$ $N_1$ $N_2$ ${\displaystyle n>N_{1))$ ${\displaystyle k>N_{2))$ ${\displaystyle n_{k}>N_{1))$

|a_{n}-a|\leq |a_{n}-a_{n_{k}}|+|a_{n_{k}}-a|<{\frac {\varepsilon }{2} }+{\frac {\varepsilon }{2}}<\varepsilon

Formuleringer af Cauchy-kriteriet for forskellige analyseobjekter

Overalt nedenfor kan erstattes af , eller . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb{C}^n$

Cauchys kriterium for eksistensen af en grænse for en funktion

Lad funktionen være defineret , vær basis i . $f\kolon X\til \mathbb {R}$ ${\mathfrak {B}}$ $x$

Grundgrænsen for en funktion eksisterer hvis og kun hvis $f$ ${\mathfrak {B}}$ $\mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B}}\forall x_{1},x_{2}\in b\colon |f(x_{1})-f(x_ {2})|<\varepsilon

[2]

Alle Cauchy-kriterier for reelle tal er på den ene eller anden måde et specialtilfælde af Cauchy-kriteriet for en funktion.

Cauchy-kriterium for Riemann-integrerbarhed af en funktion

Lad funktionen defineres . $f\colon [a;b]\to \mathbb {R}$

En funktion er Riemann-integrerbar på hvis og kun hvis: $f$ $[a;b]$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall (\tau ',\xi '),(\tau '',\xi '')\i T'[a;b], d(\tau ')<\delta ,d(\tau '')<\delta :|\sigma (f,\tau ',\xi ')-\sigma (f,\tau '',\xi '' )|<\varepsilon

[3]

Kriteriet overføres næsten uændret til flere integraler (intervallet erstattes af et Jordan-målbart sæt).

Cauchys kriterium for konvergens af en talserie

Lade være en talrække (en række med elementer fra ). $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\mathbb {R}$

Serien konvergerer , hvis og kun hvis: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m>N\ \forall p\in \mathbb {N} \colon \left|\sum _{i=m} ^{m+p}a_{i}\right|<\varepsilon

[fire]

Cauchy-kriteriet for konvergens af et ukorrekt integral

Lad en funktion defineres, og på et punkt har den en singularitet af den første eller anden slags. $f\colon [a;b)\to \mathbb {R}$ $b$

Det ukorrekte integral konvergerer, hvis og kun hvis: $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \i [a;b)\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b),x_{1}<x_{2} \colon \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx\right|<\varepsilon

[5]

Kriteriet kan også formuleres for tilfældet, hvis singulariteten er på punktet . Så konvergerer det ukorrekte integral , hvis og kun hvis: $-en$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in (a;b]\forall x_{1},x_{2}\in (a;\delta),x_{1}<x_{2} \colon \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx\right|<\varepsilon

Cauchys kriterium for ensartet konvergens af en funktionel sekvens

Lade være en funktionel sekvens ,. $f_{n}(x)$ $f_{n}\colon X\to \mathbb {R}$

En sekvens konvergerer ensartet i en eller anden funktion, hvis og kun hvis: $f_{n}(x)$ $x$ $f\colon X\to \mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m,n>N\ \forall x\in X\colon \left|f_{m}(x)-f_{ n}(x)\right|<\varepsilon

[6]

Cauchy-kriteriet for ensartet konvergens af en familie af funktioner

Lad funktionen være defineret , vær basis i . $f\colon X\ gange Y\til \mathbb {R}$ ${\mathfrak {B}}$ $x$

En funktion konvergerer ensartet til en funktion med hensyn til basen hvis og kun hvis $f(x,y)$ $Y$ $f\colon Y\to \mathbb {R}$ ${\mathfrak {B}}$

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B}}\forall x_{1},x_{2}\in b\ \forall y\in Y\colon |f(x_{ 1},y)-f(x_{2},y)|<\varepsilon

[7]

Cauchys kriterium for ensartet konvergens af en funktionel serie

Lad være en funktionel serie, . $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ $f_{n}\colon X\to \mathbb {R}$

En serie konvergerer ensartet i en eller anden funktion, hvis og kun hvis: $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ $x$ $f\colon X\to \mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m>N\ \forall p\in \mathbb {N} \ \forall x\in X\colon \left|\ sum _{i=m}^{m+p}f_{i}(x)\right|<\varepsilon

[6]

Cauchy-kriteriet for ensartet konvergens af et ukorrekt integral med parameteren

Lad en funktion defineres, og på et punkt har den en singularitet af den første eller anden slags. $f\colon [a;b)\ gange Y\to \mathbb {R}$ $b$

Et ukorrekt integral med en parameter konvergerer ensartet, hvis og kun hvis: $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \i [a;b)\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b),x_{1}<x_{2} \ \forall y\in Y\colon \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x,y)\,dx\right|<\varepsilon

[otte]

Lad en funktion defineres, og på et punkt har den en singularitet af den første eller anden slags. $f\colon (a;b]\ gange Y\to \mathbb {R}$ $-en$

Et ukorrekt integral med en parameter konvergerer ensartet, hvis og kun hvis: $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in (a;b]\ \forall x_{1},x_{2}\in (a;\delta),x_{1}<x_{2 }\ \forall y\in Y\colon \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x,y)\,dx\right|<\varepsilon

Cauchys kriterium og Cantors definition af reelle tal

Som tidligere nævnt overføres Cauchy-kriteriet ikke til rationelle tal . Endnu mere kan siges: Opfyldelsen af Cauchy-kriteriet er selve den egenskab, der adskiller reelle tal fra rationelle. Dette skal forstås på den måde, at tilføjelse af nye elementer til de rationelle tal på en sådan måde, at Cauchy-kriteriet er opfyldt, vil producere et sæt reelle tal. Cantors definition af reelle tal er baseret på dette faktum .

Det følger af ovenstående, at Cauchy-kriteriet ikke overføres til noget sæt, hvor en sådan betingelse kan tages i betragtning. Lad være nogle tal sæt. Sekvensen af elementer i dette sæt , der opfylder Cauchy-betingelsen, kaldes den fundamentale (eller Cauchy-sekvensen). Det vil sige, at en fundamental sekvens er en sekvens, for hvilken følgende betingelse er opfyldt: $x$ $a_n$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m,n>N\colon |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon

Enhver konvergerende sekvens af elementer er fundamental. Men på samme tid konvergerer ikke nogen grundlæggende sekvens af elementer i . Et eksempel på en sådan situation er sættet . Overvej følgende rækkefølge af rationelle tal: $x$ $x$ $x$ $x$ $\mathbb {Q}$

0.1;0.101;0.101001;0.1010010001;\ldots

Det er indlysende, at det konvergerer til et irrationelt tal , hvilket betyder, at det er fundamentalt. Men på samme tid, i sættet af rationelle tal, har denne sekvens ingen grænse. Cauchy-kriteriet siger således, at i reelle tal konvergerer enhver fundamental sekvens. $0.101001000100001\ldots$

Alle reelle tal er grænsen for en grundlæggende række af rationelle tal. Denne egenskab giver os mulighed for at konstruere Cantors definition af reelle tal. Det er simpelthen umuligt at tildele et reelt tal til hver ikke-konvergent i den grundlæggende sekvens: forskellige sekvenser kan konvergere til det samme tal. Det er dog indlysende, at forskellen mellem sådanne sekvenser vil være lig med . Vi identificerer de grundlæggende sekvenser af rationelle tal, hvis forskel har en tendens til nul. Hvert sæt af identificerede sekvenser svarer til nøjagtigt et reelt tal. Det er således muligt at definere reelle tal som netop disse mængder. Operationer af sum, differens, multiplikation af reelle tal svarer til operationer af sum, differens, multiplikation af sekvenser. $\mathbb {Q}$ $0$

Cauchy-kriterium i metrisk rum

Begrebet en fundamental sekvens kan generaliseres til ethvert metrisk rum . Lad være et metrisk rum. En sekvens af elementer kaldes fundamental, hvis følgende betingelse er opfyldt for den: $(X,\rho)$ $a_n$ $x$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m,n>N\colon \rho (a_{m},a_{n})<\varepsilon

Dette generaliserer forestillingen om en fundamental sekvens for et talsæt. Fundamentalitet afhænger af rummets metrik: en fundamental sekvens i en metrik er muligvis ikke fundamental i en anden. For et talsæt kan du også angive en anden metrik end standarden, og definitionen af en fundamental sekvens vil afvige fra definitionen i det foregående afsnit. Når vi taler om en fundamental sekvens, er det derfor nødvendigt at fastsætte, i hvilken metrisk den fundamentale natur antages.

Hver konvergent sekvens af et metrisk rum er fundamental, men ikke enhver fundamental sekvens konvergerer til et element fra dets rum. Det rum, hvori hver grundlæggende sekvens konvergerer, kaldes komplet . Således er et komplet metrisk rum, men ikke. $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$

Således er Cauchy-kriteriet opfyldt for ethvert komplet metrisk rum. Det skal forstås, at dets implementering i et komplet metrisk rum trivielt følger af definitionen, simpelthen fordi rummet så er komplet, når Cauchy-kriteriet er opfyldt i det. Dens opfyldelse på mængden af reelle tal følger ikke trivielt af definitionen: det faktum, at mængden af reelle tal er et komplet metrisk rum kræver bevis. Således er beviset for Cauchy-kriteriet for reelle tal et bevis for deres fuldstændighed, og dets opfyldelse i det mere generelle tilfælde af et vilkårligt komplet metrisk rum kræver slet ikke bevis.

Cantors konstruktion af reelle tal kan anvendes generelt på ethvert metrisk rum. På samme måde opnår vi ved at identificere de fundamentale sekvenser, hvis forskel har en tendens til nul, et superrum over det oprindelige rum, som så vil være komplet. En sådan operation kaldes genopfyldning . De reelle tal er intet andet end færdiggørelsen af de rationelle. Fuldførelsesoperationen fuldender ikke rummet med alle mulige grænser for sekvenser, selv ikke i betydningen en delgrænse: sekvensen af naturlige tal har for eksempel ikke en delgrænse i . $\mathbb {R}$

Det skal forstås, at Cauchy-kriteriet kun giver mening for metriske rum. For eksempel: rækkefølgen af naturlige tal har en tendens til i . Det er dog ikke grundlæggende. Dette sker, fordi det ikke er et metrisk rum, hvilket betyder, at begrebet en fundamental sekvens slet ikke kan defineres for det. Fundamentalitet afhænger af metrikken, men ikke i metrikken. Rækkefølgen af naturlige tal er ikke fundamental i metrikken , men det giver ingen mening at sige noget dybtgående i . På trods af dette kan en metrik specificeres i et topologisk rum. At begrænse det til vil naturligvis ikke falde sammen med standardmetrikken , men samtidig vil sekvensen af naturlige tal i en sådan metrik allerede være fundamental. I dette tilfælde vil forskellens modul i den sædvanlige definition af fundamentalitet for numeriske sekvenser blive erstattet af formlen for metrikken, der er defineret på . $+\infty$ ${\overline {R))$ ${\overline {R))$ ${\overline {R))$ $\mathbb {R}$ ${\overline {R))$ ${\overline {R))$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\overline {R))$

Cauchys kriterium for eksistensen af en grænse for en funktion, med værdier i et komplet metrisk rum

Det mest generelle Cauchy-kriterium kan formuleres for funktioner med værdier i et komplet metrisk rum. Alle andre kriterier er særlige tilfælde af dette.

Lad en funktion være defineret , være en base i , være et komplet metrisk rum. $f\kolon X\til Y$ ${\mathfrak {B}}$ $x$ $Y$

Grundgrænsen for en funktion eksisterer hvis og kun hvis $f$ ${\mathfrak {B}}$ $Y$

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B}}\forall x_{1},x_{2}\in b\colon \rho (f(x_{1}),f (x_{2}))<\varepsilon

Dette kriterium følger ikke trivielt af definitionen af fuldstændighed. For et arbitrært metrisk rum behøver en funktion, der opfylder denne betingelse, ikke konvergere til et element i det, men det vil konvergere til et element i nogle af dets afslutninger.

Bevis

Lad et metrisk mellemrum gives $(Y,\rho )$

Brug for.

Nødvendighed kræver ikke engang fuldstændigheden af det metriske rum . Lad funktionen konvergere til . Lad os nedskrive definitionen af grænsen. $Y$ $f(x)\colon X\to Y$ $a\in Y$

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B))\ \forall x\in B\colon \rho (f(x),a)<{\frac {\varepsilon }{ 2}}

Vi ordner og tager det tilsvarende til det . Lad os tage vilkårlig . Derefter: $\varepsilon$ $b$ $x_{1},x_{2}\in b$

\rho (f(x_{1}),f(x_{2}))\leq \rho (f(x_{1}),a)+\rho (a,f(x_{2}) )<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}<\varepsilon

Tilstrækkelighed.

Denne gang er fylden af rummet afgørende. Beviset er det samme som ved en numerisk sekvens opdelt i dele. Den første del indeholder en konvergent sekvens, og den anden del beviser, at grænsen for denne sekvens er grænsen for hele funktionen i forhold til basen. $Y$

1. Sekvensvalg

1. del af beviset er baseret på aksiomet om tælleligt valg ). Lad os skrive Cauchy-tilstanden.

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B}}\ \forall x_{1},x_{2}\in b\colon \rho (f(x_{1}), f(x_{2}))<\varepsilon

Lad os tage en vilkårlig en og rette den. Lad os tage det tilsvarende . Lad os betegne med . Lad os vælge et vilkårligt punkt . Derfor har vi valgt et punkt for hver . $n\in {\mathbb {N}}$ $b_{n}\in {\mathfrak {B}}$ $\epsilon ={\frac {1}{n}}$ ${\displaystyle b_{n}'\subset b_{1}\cap \ldots \cup b_{n))$ $b_{n}'$ $a_n$ $n$ $a_n$

Betragt det som en sekvens. Startende fra elementet ligger medlemmerne af sekvensen i , dvs. og dermed . Således er sekvensen fundamental, hvilket betyder, at den konvergerer. $a_n$ $n$ $b_n$ ${\displaystyle \forall m>=n\colon a_{m}\in b_{n))$ $\forall k,m>=n\colon \rho (f(a_{k}),f(a_{m}))<{\frac {1}{n))$ $f(a_{n})$

2. Grænsen for en sekvens er grænsen for hele funktionen

Sekvens - konvergerer til et eller andet element . Vi skriver definitionen af grænsen, idet vi tager : $f(a_{n})$ $c\in Y$ $\varepsilon ={\frac {1}{2n))$

\forall n\in \mathbb {N} \ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m>N\colon \rho (f(a_{m}),c)<{\frac { 1}{2n}}

Vi fikser . Vi tager for det tilsvarende og vilkårlige sådan, at . Derefter: $n\in \mathbb {N}$ $N$ $m>N$ $m>2n$

\rho (f(a_{m}),c)<{\frac {1}{n))

Vi tager det som det blev defineret i 1. del. Så for evt $b_{m}$ ${\displaystyle x\in b_{m))$

\rho (f(x),f(a_{m}))<{\frac {1}{m))<{\frac {1}{2n))

Til sidst får vi:

\rho (f(x),c)\leq \rho (f(x),f(a_{m}))+\rho (f(a_{m}),c)<{\frac { 1}{2n}}+{\frac {1}{2n}}={\frac {1}{n}}

Faktisk bruger beviset for Cauchy-kriteriet for numeriske sekvenser også aksiomet om tælleligt valg, kun implicit. Dens bevis bruger Bolzano-Weierstrass-sætningen, som afhænger af aksiomet for tælleligt valg, eller mere præcist, aksiomet for tælleligt valg for delmængder . $\mathbb {R}$

Noter

↑ Arkhipov, 1999 , s. 56.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 66.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 539.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 334.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 231.
↑ 1 2 Arkhipov, 1999 , s. 374.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 416.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 419.

Litteratur

Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Forelæsninger om matematisk analyse / Red. V. A. Sadovnichy. - 1. udg. - M . : Higher School , 1999. - 695 s. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudryavtsev L. D. Kursus i matematisk analyse. I 3 bind. T. 1. Differential- og integralregning af funktioner af en variabel - M. : Drofa, 2003. - 704 s.