Cauchys radikale tegn er et tegn på konvergens af en talrække :
Hvis for en nummerserie
med ikke-negative termer eksisterer der et tal , , sådan at uligheden starter med et tal
,så konvergerer denne serie; hvis, startende fra et eller andet tal
så divergerer serien.
Hvis , så er dette et tvivlsomt tilfælde, og der er behov for mere forskning.
Hvis, startende fra et eller andet tal, , og der ikke eksisterer sådan , at for alle , startende fra et eller andet tal, så i dette tilfælde kan rækken både konvergere og divergere.
Hvis der er en grænse
,så konvergerer den betragtede serie hvis , og hvis divergerer.
Bemærkning 1. Hvis , så besvarer Cauchy radikale test ikke spørgsmålet om konvergensen af serien.
Bemærkning 2. Hvis , men sekvensen tenderer til sin grænse fra oven, så divergerer rækken.
Først og fremmest skal det bemærkes, at hvis Cauchy-kriteriet er opfyldt for sekvensen , startende fra et eller andet tal , så kan vi overveje en undersekvens af sekvensen , bare startende fra dette nummer. En serie sammensat af en sådan undersekvens vil konvergere. Men så vil den oprindelige serie også konvergere, da det endelige antal begyndelsesled i rækkefølgen ikke påvirker konvergensen af rækken. I dette tilfælde, for at forenkle beviset, giver det mening at acceptere , det vil sige at acceptere, at Cauchy-kriteriet er opfyldt for alle naturlige .
1. Række
konvergerer, da betingelsen for den begrænsende form af den radikale test af Cauchy-sætningen er opfyldt2. Overvej serien
serien konvergerer.Tegn på konvergens af serier | ||
---|---|---|
For alle rækker | ||
For tegn-positive serier | ||
Til skiftende serier | Leibniz tegn | |
For rækker af formularen | ||
Til funktionelle serier | ||
Til Fourier-serien |
|