Tegn af d'Alembert

Tegnet for d'Alembert (eller Tegn på D'Alembert ) er et tegn på konvergens af numeriske serier , etableret af Jean d'Alembert i 1768 .

Hvis for en nummerserie

\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}

der eksisterer et tal , , sådan at, startende fra et eller andet tal, uligheden $q$ $0<q<1$

\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|\leqslant q,

så er denne serie absolut konvergent ; hvis, startende fra et eller andet tal

\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geqslant 1

så divergerer serien.

Hvis, startende fra et eller andet tal, , og der ikke eksisterer sådan , at for alle , startende fra et eller andet tal, så i dette tilfælde kan rækken både konvergere og divergere. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$ $q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n$

d'Alemberts kriterium for konvergens i grænseform

Hvis der er en grænse

\rho =\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|,

så konvergerer serien under overvejelse absolut, hvis , og hvis , den divergerer. $\rho<1$ $\rho >1$

Bemærkning 1. Hvis , så besvarer d'Alemberts test ikke spørgsmålet om seriens konvergens. $\rho=1$

Bemærkning 2. Hvis , og rækkefølgen tenderer til sin grænse fra oven, så kan vi stadig sige om serien, at den divergerer. $\rho=1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ $\rho$

Bevis

Lad, startende fra nogle tal , uligheden er sand , hvor . Så kan du skrive , , ..., , og så videre. Multiplicerer de første n uligheder, får vi , hvorfra . Det betyder, at serien er mindre end en uendelig sum af en aftagende geometrisk progression, og derfor konvergerer den til sammenligning. Den fulde serie af moduler konvergerer også, da de første led (sekvenser ) ikke spiller en rolle (der er et begrænset antal af dem). Da serien af moduler konvergerer, konvergerer serien selv på basis af absolut konvergens. Han er helt enig. $N$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\times \left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1} }}\right|\times ...\times \left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|=\left|{\frac {a_{ N+n}}{a_{N}}}\right|\leq {q^{n}}$ $\left|{a_{N+n}}\right|\leq |{a_{N}}|{q^{n}}$ $\left|{a_{N+1}}\right|+\left|{a_{N+2}}\right|+\left|{a_{N+3}}\right|+.. .$ $N-1$ ${\displaystyle \{a\))$
Lad (startende fra noget N): så kan vi skrive . Dette betyder, at modulet af sekvenselementerne ikke har en tendens til nul ved uendelighed, og derfor har sekvensen i sig selv ikke tendens til nul. Så er den nødvendige betingelse for konvergens af enhver serie ikke opfyldt, og rækken divergerer derfor. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1$ $\left|{a_{n+1}}\right|\geq \left|{a_{n}}\right|$ ${\displaystyle \{a\))$ ${\displaystyle \{a\))$
Lad , begyndende fra nogle . Desuden er der ingen , sådan at for alle , startende fra nogle tal . I dette tilfælde kan serien enten konvergere eller divergere. For eksempel opfylder både serier og denne betingelse, og den første serie (harmonisk) divergerer, og den anden konvergerer. Faktisk er serien sand for enhver naturlig . På samme tid, da , betyder dette, at for enhver , er det muligt at vælge et tal , således at , og samtidig, startende fra et eller andet tal, vil alle medlemmer af sekvensen , hvor , vil være i intervallet , dvs. , . Og det betyder, at der ikke er sådan , at for alle . Dette ræsonnement kan gentages for anden række. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$ $n=N$ $q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n$ $N$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|={\frac {n}{n+1}}=1-{\frac {1}{ n+1}}<1$ $n$ $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$ $q$ $0<q<1$ $\varepsilon$ $1-\varepsilon >q$ ${\displaystyle \{b\))$ ${b_{n}}=\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ $(1-\varepsilon ;1)$ ${b_{n}}>q$ $q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n>N$

Eksempler

Serien konvergerer absolut for alle komplekse , siden $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!)}}$ $z$ $\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {{z^{{n+1}}}/{(n+1)!}}{{z^{n}}/{ n!}}}\right|=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {|z|}{n+1}}=0.$

Serien divergerer for alle , siden $\sum _{{n=0}}^{\infty }n!\;z^{n}$ $z\neq 0$ $\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {(n+1)!\;z^{{n+1}}}{n!\;z^{n}}}\ højre|=\lim _{{n\to \infty }}|(n+1)z|=\infty .$

Hvis , så rækken kan både konvergere og divergere: både serier og opfylder denne betingelse, og den første række ( harmonisk ) divergerer, og den anden konvergerer. Et andet eksempel, der har brug for en Raabe-funktion : $\rho=1$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}$

Links

d'Alembert, J. (1768), Opuscules , vol. V, s. 171–183 , < http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62424s.image.f192 > .
Apostol, Tom M. (1974), Matematisk analyse (2. udgave), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-00288-1
Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series , New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-60153-3 : § 3.3, 5.4.
Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis (3. udgave), New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8
Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Bertrand criterium , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Gauss-kriterium , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Kummer-kriterium , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Watson, GN & Whittaker, ET (1963), A Course in Modern Analysis (4. udgave), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Britannica (online)

Tegn på konvergens af serier
For alle rækker	Nødvendig tilstand Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
For tegn-positive serier	Hovedkriterium Sammenligningstegn Kummer tegn Gauss tegn Cauchys radikale tegn Integreret funktion Tegn af D'Alembert magt tegn logaritmisk tegn Tegn af Raabe Bertrand tegn Tegn på Jamet Tegn på Schlömilch Ermakovs tegn Lobachevskys tegn teleskopskilt Tegn på Sapogov
Til skiftende serier	Leibniz tegn
For rækker af formularen $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tegn Tegn på Dedekind Dubois-Reymond skilt Dirichlet tegn
Til funktionelle serier	Weierstrass skilt
Til Fourier-serien	Dini tegn Tegn på de la Vallée Poussin Jordan tegn Jung tegn Salem tegn Lebesgue tegn Lebesgue-Gergen tegn Tegn af Martsinkevich