Kaprekar nummer

Kaprekar-tallet for et givet talsystem er et ikke-negativt heltal, hvis kvadrat i dette system kan opdeles i to dele, hvis sum giver det oprindelige tal. For eksempel er 45 et Kaprekar-tal, fordi 45 2  = 2025 og 20 + 25 = 45. Kaprekar-tal er opkaldt efter D. R. Kaprekar .

Definition

Lad X være et ikke-negativt heltal. X er et Kaprekar-tal til base b , hvis der er ikke-negative tal n , A og positive B , der opfylder betingelserne:

X2 = Abn + B , hvor 0 < B < bn X = A + B

Bemærk at X også er grundtallet b n Kaprekar for det givne n . I en snævrere forstand kan vi definere mængden K ( N ) for et givet heltal N som mængden af ​​heltal X for hvilket [1]

X 2 = AN + B , hvor 0 < B < N X = A + B

Hvert Kaprekar-tal X til grundtal b falder derefter ind i et af sættene K ( b ), K ( b 2 ), K ( b 3 ),….

Eksempler

297 er et Kaprekar-tal i grundtallet 10, fordi 297 2 = 88209, som kan opdeles i 88 og 209 og 88 + 209 = 297. Efter konvention kan anden del starte ved 0, men må ikke være nul. For eksempel er 999 et Kaprekar-tal i basis 10, da 999 2 = 998001, som kan opdeles i 998 og 001, 998 + 001 = 999. Men 100 er ikke et Kaprekar-tal, selvom 100 2 = 10000 og 10000 00 = 100, den anden del er nul.

De første par Kaprekar-tal i base 10 er:

1 9 45 55 99 297 703 999 2223 2728 4879 4950 5050 7272 7777 9999 17344 22222 77778 82656 95121 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687, 643357 , 648648, 670033, 681318, 791505, 812890, 818181, 851851, 857143, 961038, 994708, 999999, ... ( sekvens A 60 )

Især 9, 99, 999... er Kaprekar-numre. Mere generelt er der for enhver basis b , uendeligt mange Kaprekar-tal, inklusive alle tal på formen b n − 1.

Andre grunde

I base 12 er Kaprekar-tallene

1, E, 56, 66, EE, 444, 778, EEE, 12XX, 1640, 2046, 2929, 3333, 4973, 5E60, 6060, 7249, 8889, 9293, 9293, 9263, X4203, 9293, X4203, 9203, 9293, 9293, X420, 9203, 9200, 9200 , 99999, EEEEE, 12E649, 16EX51, 1X1X1X, 222222, 22X54X, 26X952, 35186E, 39X39X, 404040, 4197X2, 450701, 8,50701...E

I base 16 er Kaprekar-tallene

1, 6, A, F, 33, 55, 5B, 78, 88, AB, CD, FF, 15F, 334, 38E, 492, 4ED, 7E0, 820, B13, B6E, C72, CCC, EA1, FA5, FFF 191A 2A2B 3C3C 4444 5556 6667 7F80 8080 9999 AAAA BBBC C3C4 D5D5 E6E6 FFFF 1745E 20EC2 2ACAB 2D02E 30684 3831F 55555 62FCA 689A3 7278C 76417 7A427 7FE00 80200 85BD9 89AE5 89BE9 8D874 9765D 9D036 AAAAB AF0B0 B851F BDEF8 C1F08 C795C1...

Egenskaber

• I 2000 blev det vist [1] , at Kaprekar-tallene med basis b er en bijektion med enhedsdivisorer b n – 1 i følgende betydning. Lad Inv( a,b ) være den reciproke af a mod b , nemlig det mindste positive heltal m sådan at am ≡ 1 (mod b ). Så indgår tallet X i mængden K ( N ) (defineret ovenfor), hvis og kun hvis X = d Inv( d , ( N − 1)/ d ) for en enhedsdivisor d af tallet N  − 1. Især ,
  • For enhver X i K ( N ), er N  −  X indeholdt i K ( N ).
  • I binært er alle lige perfekte tal Kaprekar-tal.

Se også

• Kaprekar
• Kaprekar er konstant

Noter

1. ↑ 1 2 Iannucci, 2000 , s. 00.1.2.

Litteratur

• D. R. Kaprekar. Om Kaprekar-tal // Journal of Recreational Mathematics . - 1980-1981. - T. 13 . — S. 81–82 .
• M. Charosh. Nogle applikationer til at kaste ud 999...'s // Journal of Recreational Mathematics . - 1981-1982. - T. 14 . — s. 111–118 .
• Douglas E. Iannucci. The Kaprekar Numbers // Journal of Integer Sequences . - 2000. - T. 3 . - S. 00.1.2 .

Klasser af naturlige tal
Beføjelser og relaterede numre	Achilles Grad 2 10 grader 12 grader firkanter Cuba fjerde grader Femte grad Perfekt grad Fuld multiple Potens af et primtal
Tal på formen a × 2 b ± 1	Cullen Dobbelt Mersenne-tal Gårdsnumre Mersenne Catalana - Mersenne Prota Sabita Woodala
Andre polynomielle tal	Carola Gilbert Passende tal Kenya Leyland Lykkelige Euler-tal Genforenes
Rekursivt definerede tal	fibonacci Jacobsthal Leonardo Luca Padovan rækkefølge Pella Perrina
Sæt af tal med specifikke egenskaber	Knodel Riesel Sierpinsky
Udtrykt i mængder	Ikke-hypotenuse Praktisk Principal semisimplet Ulama Wolsenholm
Fås med en sigte	lykketal
Relaterede koder _	Mirtens
krøllede tal	2-dimensionel centreret _ trekantet firkant femkantet sekskantet sekskantet ottekantet ikke-kantet tikantet stjerneklar off- center trekantet firkant firkantet trekantet sekskantet ottekantet 3-dimensionel centreret _ tetraedrisk kubik oktaedral dodekaedral icosahedral off- center tetraedrisk oktaedral dodekaedral icosahedral Stjerne-oktaedral pyramideformet _ firkant femkantet sekskantet sekskantet 4-dimensionel centreret _ pentakorisk trekantet i en firkant off- center pentatop
Pseudosimple	Carmichael Catalana elliptisk Euler Euler-Jacobi Gård Frobenius Luca Somera - Luca stærkt pseudo-simpelt
kombinatoriske tal	Klokkenumre kage numre Catalana Dedekind Delanoya Euler Fussa - Catalana central polygonal Lobba Motzkin numre Narayana Antal Bell-bestillinger Schroeder-numre Schroeder - Hipparchus
Aritmetiske funktioner	σ( n ) overflødig næsten perfekt aritmetik kolossalt overflødig Descartes halvperfekte tal meget overflødige tal høje komponenttal hyperperfekte tal multiperfekte tal engageret praktisk primitivt overflødigt lidt overflødig tau tal majestætiske tal overflod af tal supersammensatte tal superperfekte tal Ω( n ) næsten simpelt halvsimpelt φ( n ) meget kovalent høj-totient perfekt totient lidt totient s( n ) venlige beskæftiget utilstrækkelig semi-perfekt Euklid formuetal
Ved divisorer	Viferiha Fibonacci - Viferiha Wolstenholm Wilson
Andre prime divisorer eller relateret til delelighed	Bloom Erdős - Woods coprime venlige beskeden Jugi Malmtal Luca - Carmichael rektangulær fast k-ru glat gemytlig sphenisk Sturmer Super Poole numre Zeisel
Underholdende matematik	Talsystemer _ automorfe tal cyklisk Osiris Dudeni lige cifre ekstravagant Factorion Friedman tilfreds Nivena Kita Lichrel beløb med manglende ciffer Armstrong palindromisk pandigital parasitisk skadelig magisk primitiv repdigits genforeninger selvgenereret selvbeskrivende Smarandsha - Wellena strengt ikke-palindromisk skiftere forskydning trimorfe bølget vampyrer Aronson sekvens pandekage numre