Nul

0
nul
← −2 −1 0 1 2 → _ _
Binær	0
Oktal	0
Hexadecimal	0
Mediefiler på Wikimedia Commons

"Der er to former: nul og nul . I den terminologiske betydning (især i indirekte tilfælde) bruges den anden normalt, for eksempel: er lig med nul, temperaturen forbliver på nul " [1] .
"... et afledt adjektiv er normalt dannet af formen nul , for eksempel: nulmeridian, nulmærke " [1] .

Nul ( 0 , nul fra lat. nullus - ingen [2] ) er et heltal , der , når det lægges til eller trækkes fra et hvilket som helst tal, ikke ændrer det sidste [3] , dvs. giver et resultat lig med dette sidste tal ; gange et hvilket som helst tal med nul giver det nul [4] .

The Big Explanatory Dictionary of Kuznetsov (2009) [5] citerer begge former af ordet: nul, nul - som ækvivalent, selvom der er en vis forskel i brugen. Især formen nul bruges oftere i terminologi, især i indirekte kasus, den tages også som grundlag for dannelsen af adjektivet nul - følgelig bruges formen nul oftere i nominativ kasus (se sidebjælke) .

Nul spiller en ekstremt vigtig rolle i matematik og fysik [6] .

Nul i matematik

Tal "nul" i matematik

Tallet "nul" er et matematisk tegn, der udtrykker fraværet af værdien af denne bit i notationen af et tal i positionstalsystemet . På nuværende tidspunkt er dette tal næsten altid angivet med "0" (ifølge den indo-arabiske notation for tal). Cifferet nul, placeret til højre for et andet ciffer, øger den numeriske værdi af alle cifrene til venstre med et ciffer (f.eks. ganges med ti i decimaltalsystem ). Sammenlign f.eks. tallene 4 10 og 40 10 ; 4 16 og 40 16 (underskriften betyder bunden af talsystemet). Begrebet nul har historisk set dukket op som et særligt digitalt symbol , der kræves, når man skriver tal i et positionelt talsystem . Dette symbol indikerede fraværet af en værdi i den tilsvarende bit, hvilket gjorde det muligt ikke at forveksle f.eks. $7,70,700.$

Tallet 0 er forbundet med særligt simple tegn på deleligheden af heltal.

I decimaltalssystem:

Et tal er deleligt med 10, hvis og kun hvis det ender på 0.
Et tal er deleligt med 100, hvis og kun hvis det ender på to 0'ere.

Lignende tegn på delelighed er tilgængelige for tallene 1000, 10000 osv.

Delelighedstegnene forbundet med tallet 0 i decimalsystemet er særligt lette at kombinere med delelighedstegnene med 2 og 5, for eksempel:

Et tal er deleligt med 20, hvis og kun hvis det sidste ciffer i tallet er 0 og det næstsidste ciffer er lige.
Et tal er deleligt med 50, hvis og kun hvis det sidste ciffer i tallet er 0 og det næstsidste ciffer er 0 eller 5.

Lignende tegn på delelighed er tilgængelige for tallene 200, 500, 2000, 5000 osv.

Tegnene på delelighed forbundet med tallet "0" i andre talsystemer ligner dem i decimaler. Især i ethvert talsystem med grundtallet k er et tal deleligt med kn, hvis det ender på n nuller.

Tallet "nul" i matematik

Tilhører naturlige tal

Der er to tilgange til definitionen af naturlige tal - nogle forfattere klassificerer nul som naturlige tal [7] , andre gør det ikke. I russiske læreplaner for matematik er det ikke sædvanligt at tilføje nul til naturlige tal, selvom det gør nogle formuleringer vanskelige (f.eks. skal man skelne mellem division med en rest og division med heltal ). Som et kompromis betragter kilderne nogle gange en "udvidet naturlig serie", inklusive nul [8] .

Mængden af alle naturlige tal er normalt angivet med symbolet . Internationale standarder ISO 31-11 (1992) og ISO 80000-2 (2009) etablerer følgende betegnelser [9] : $\mathbb {N}$

$\mathbb {N}$ - naturlige tal, inklusive nul: . $\{0,1,2,3,4\dots\}$
$\mathbb {N^{*}}$ - naturlige tal uden nul: . $\{1,2,3,4\dots\}$

Det samme som i ISO er notationen for sættet af naturlige tal fastsat i den russiske GOST 2011: R 54521-2011, tabel 6.1 [10] . Ikke desto mindre er denne standard endnu ikke observeret i russiske kilder - i dem angiver symbolet naturlige tal uden nul, og den udvidede naturlige række er f.eks. angivet osv. [8] $\mathbb {N}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{0))$

Grundlæggende egenskaber for nul

0 er et heltal .
På tallinjen adskiller 0 positive og negative tal .

Nul er et lige tal, fordi når det divideres med 2, er resultatet et heltal : . $0/2=0$
Nul er usigneret . Konventionerne for negativ og positiv infinitesimal kan bruges : , , men det er ikke tal i sædvanlig forstand. $-0$ $+0$
Ethvert tal ændres ikke, når det lægges til nul: At trække nul fra et hvilket som helst tal resulterer i det samme tal [11] : . $a+0=0+a=a.$ $a-0=a$
At gange et hvilket som helst tal med nul giver nul [11] :

a\cdot 0=0\cdot a=0.

At dividere nul med et hvilket som helst ikke-nul tal resulterer i nul:

0/a=0

på

a\neq 0.

Division med nul

Division med nul er ikke mulig i noget felt eller ring , inklusive felterne med reelle og komplekse tal.

Faktisk, hvis vi betegner , så skal division per definition formelt være , mens udtrykket , for enhver , er lig med nul. Med andre ord er der ikke noget omvendt element for nul i noget felt.

{\frac {a}{0}}=b

b\cdot 0=a

b\cdot 0

b

Division med nul af et komplekst tal, der ikke er nul, er muligt på det udvidede komplekse plan , og resultatet er et punkt i uendelighed.

Betydninger af individuelle funktioner

Faktorialet nul, ifølge aftalen [12] , tages lig med én: . Med en sådan aftale vil identiteten være sand for $0!=1$ $n!=(n-1)!\cdot n$ $n=1.$
Resultatet af at hæve nul til enhver positiv potens er nul: ved . At hæve nul til enhver negativ magt giver ikke mening. $0^{a}=0$ $a>0$
Resultatet af at hæve et hvilket som helst tal (undtagen nul) til nulpotensen er lig med én: . $a^{0}=1$
- Udtrykket ( nul til nulgraden ) anses for at være meningsløst [13] [14] [15] , altså ubestemt. $0^{0}$

Dette skyldes det faktum, at en funktion af to variable i et punkt har en irreducerbar diskontinuitet .

x^{y}

\{0,0\}

Faktisk langs den positive retning af aksen, hvor den er lig med en, og langs den positive retning af aksen, hvor den er lig med nul.

x,

y=0,

Y,

x=0,

Se artiklen Zero to the power zero for flere detaljer . Nul i geometri

Et punkt kan betragtes som et nuldimensionelt objekt .
Et punkt i planet med en nulkoordinat ligger på den tilsvarende koordinatakse. Begge nulkoordinater definerer et punkt kaldet oprindelsen .
Et punkt i det tredimensionelle rum med en nulkoordinat ligger på det tilsvarende koordinatplan. Et punkt i det tredimensionelle rum kaldes også oprindelsen, hvis alle dets koordinater er nul.
Lignende udsagn gælder for et rum af enhver dimension .
På en cirkel falder positionerne 0° og 360° sammen.

Nul i beregning

Ved beregning af grænsen for relationen , hvor og , opstår en sådan situation, at direkte substitution giver et udtryk, hvis værdi ikke er defineret. I processen med afsløring af usikkerheder er syv sådanne situationer mulige, og i fire af dem er nul formelt til stede: , , , . $(a/b)$ $a\højrepil 0$ $b\højrepil 0$ $(0/0)$ $\left({\frac {0}{0}}\right)$ $(0^{0})$ $(\infty ^{0})$ $(0\cdot\infty )$
En veldefineret situation er også mulig, når en ensidig (højre eller venstre) grænse af en uendelig lille værdi betragtes:

Højre grænse: _ eller _ . $\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty ,$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} +0}]{}}~{+\infty }$
Venstre grænse: _ eller _ . $\lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty ,$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} -0}]{}}~{-\infty }$

Generaliseringer (nul i generel algebra)

En analog af nul kan eksistere i ethvert sæt, hvorpå additionsoperationen er defineret; i almindelig algebra kaldes et sådant element nogle gange et neutralt element , nogle gange additiv nul , oftest nul med hensyn til addition . Eksempler på et sådant element er nulvektoren og nulmatricen . (Hvis operationen af multiplikation er defineret på sættet, kan den multiplikative enhed betragtes som en analog af nul eller enhed med hensyn til multiplikation , hvis nogen.)

Algebraiske strukturer udstyret med både addition og multiplikation kan også indeholde en analog af nul. Nulelementet indeholder enhver ring og dens specielle tilfælde - kroppen og feltet . For eksempel er den kvadratiske nulstørrelsesmatrix nulelementet i den kvadratiske matrixring . Ringen af polynomier har også et nulelement - et polynomium med nulkoefficienter, eller et nulpolynomium , . $n\ gange n$ $M_{n}(R)$ $p(x)\ækvivalent 0$

Nul i datalogi og computing

Tallet "nul" i datalogi og databehandling

Langt de fleste computere er baseret på det binære system , det vil sige, at deres hukommelse kun indeholder nuller og ettaller. Ikke-numeriske data bruger en standardkodning - for eksempel er de logiske begreber TRUE og FALSE normalt kodet som henholdsvis 1 og 0, og Unicode er udviklet til tekstdata på forskellige sprog .

Når du arbejder med en computer, på grund af faren for at forveksle tallet 0 med det latinske eller russiske bogstav O , hvilket kan have alvorlige konsekvenser, var der på et tidspunkt en anbefaling [16] om at strege nul : . Nogle gange gjorde de det modsatte: når de programmerede på Minsk-32- computeren , stregede de bogstavet O over og ikke nul [17] . Tegngeneratorerne på mange tekstterminaler , videoadaptere og matrixprintere udsender også et nul i en gennemstregningsform, når de arbejder i teksttilstand (nogle printere havde indbyggede kontakter til at aktivere og deaktivere den gennemstregede nultilstand) [18] [19] . På IBM 3270- skærme var tallet 0 afbildet med en prik i midten. Den visuelle skelnen mellem tallet 0 og bogstavet O er fortsat et vigtigt krav for monospace-skrifttyper . I proportionale skrifttyper er bogstavet O mærkbart bredere end nul, så gennemstregning er normalt ikke påkrævet. $\tomt sæt$

Det gennemstregede nul har ikke et separat Unicode-tegn; det kan fås som et tegn U+0030 umiddelbart efterfulgt af U+FE00, men resultatet afhænger af både den aktuelle skrifttype og browseren. Nogle gange bruges symboler med lignende udseende for det skandinaviske bogstav (Ø), tomt sæt (∅) eller diameter (⌀) i stedet for. Nogle OpenType-skrifttyper inkluderer en speciel nul-strike-mulighed, som der er en særlig mulighed for i CSSfont-feature-settings: zero .

Tallet "nul" i datalogi og databehandling

I computere er der begrebet " maskinnul " - dette er et flydende kommatal og en sådan negativ orden, der opfattes af computeren som nul.

Et andet træk ved datarepræsentation i datalogi: I mange programmeringssprog er elementerne i et dataarray ikke nummereret fra den sædvanlige enhed, men fra nul, så beskrivelsen af ægte M(n) betyder .array Microsoft .NET Framework- platformen konsoliderede denne standard og oversatte endda Visual Basic , som oprindeligt brugte nummerering fra én. $M_{0},M_{1}\dots M_{n-1}.$

I SQL -databaser kan et felt have specialværdien NULL , hvilket ikke betyder nul, men en udefineret værdi. Ethvert udtryk, der indeholder NULL, resulterer i NULL.

I matematik ; det vil sige, at de repræsenterer det samme tal, der er ingen separate positive og negative nuller. Men i nogle computerformater (f.eks. i IEEE 754 -standarden eller i frem- og tilbage-koden ), er der to forskellige repræsentationer for nul: positiv (med et positivt fortegn) og negativ; se -0 (programmering) for detaljer . Disse forskelle påvirker dog ikke resultaterne af beregninger. $-0=+0=0$ $-0,+0$

Decimalrepræsentation _	Binær repræsentation (8 bit)
Decimalrepræsentation _	lige	tilbage	ekstra
+0	0000 0000	0000 0000	0000 0000
-0	1000 0000	1111 1111	0000 0000

Nul historie

Historien om tallet 0

Tallet 0 dukkede op samtidig med fremkomsten af positionel (lokal) nummerering - decimal i Indien og sexagesimal i Babylon.

Det gamle øst

Babylonske matematikere plejede at angive det sexagesimale nul, først et mellemrum og derefter et særligt kileskrifttegn "dobbelt kile"; det antages, at det sidste mærke blev brugt af babylonierne fra omkring 300 f.Kr. e. og deres sumeriske lærere gjorde det sandsynligvis endnu tidligere. Men symbolet på de babylonske vismænds "dobbelte kile" havde aldrig en selvstændig betydning og blev ikke opfattet som et tal, men som fraværet af et tal; desuden blev det aldrig placeret i slutningen af en talindtastning, så f.eks. tallene 2 og 120 (2×60) skulle skelnes efter kontekst [20] [21] .

Tallet 0 var fraværende i de romerske, græske og kinesiske nummersystemer. Denne figur blev undladt ved at tildele nogle symboler værdierne af store tal. For eksempel blev tallet 100 i det græske talsystem betegnet med bogstavet Ρ, på romersk - med bogstavet C, på kinesisk - med hieroglyfen 百.

Maya og inkaer

Maya-riget eksisterede på Yucatan-halvøen fra omkring 300 f.Kr. e. til 900 e.Kr e. Mayaerne brugte nul i deres vigesimale talsystem næsten et årtusinde tidligere end indianerne, men kun af præster og kun til kalenderbehov (i hverdagen brugte mayaerne det hieroglyfiske fem-system) [22] . Den første overlevende stele med en Maya-kalenderdato er dateret 7.16.3.2.13, 6 Ben 16 Shul, det vil sige 8. december 36 f.Kr. e.

Det er mærkeligt, at uendelighed også blev betegnet med det samme tegn fra Maya-matematik , da det ikke betød nul i ordets europæiske betydning, men "begyndelse", "fornuft" [23] . Optællingen af månedens dage i Maya-kalenderen begyndte med nuldagen, som blev kaldt Ahau .

I Inkariget Tahuantinsuyu blev nodal quipu-systemet, baseret på det positionelle decimaltalssystem, brugt til at registrere numerisk information . Tallene fra 1 til 9 blev betegnet med knob af en bestemt type, nul - ved at springe en knude over i den ønskede position. I moderne Quechua betegnes nul med Quechua -ordet ch'usaq (lit. "fraværende", "tom"), men hvilket ord inkaerne brugte til at betegne nul, når de læser quipu, er endnu ikke klart, fordi f.eks. i nogle af de første Quechua spanske ( Diego González Holguín , 1608) og den første Aymara-spanske ( Ludovico Bertonio , 1612) havde ikke en match for den spanske "cero" - "nul".

Indien

I Indien blev tallet "nul" kaldt sanskritordet śūnyaḥ ("tomhed"; "fravær") og blev meget brugt i poesi og hellige tekster. Uden nul ville decimalpositionsnotationen af tal opfundet i Indien have været umulig . Det første tegn for nul findes i det indiske " Bakhshali-manuskript " fra 876 e.Kr. e. det ligner en tyk prik eller en fyldt cirkel, senere kaldet śūnya-binduḥ "tomhedspunkt" [24] [25] .

Fra indianerne gennem araberne, som kaldte tallet 0 ṣifr (deraf ordene figur , cipher , og italiensk nul , nul), kom det til Vesteuropa [26] .

Europa

I Wien opbevares håndskrevne regnestykker fra det 15. århundrede, erhvervet i Konstantinopel ( Istanbul ), hvor græske numeriske tegn bruges sammen med betegnelsen nul med en prik [27] . I latinske oversættelser af arabiske afhandlinger fra det 12. århundrede kaldes tegnet på nul (0) en cirkel- cirkulus . I Sacrobosco- manualen, som havde stor indflydelse på regneundervisningen i vestlige lande , skrevet i 1250 og genoptrykt i rigtig mange lande, kaldes nul " thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili " - theta , eller teka , eller cirkel , eller figur , eller tegnet på ingenting . Begrebet nulla figura - ingen tegn - optræder i håndskrevne latinske oversættelser og bearbejdelser af arabiske værker fra det 12. århundrede. Udtrykket nulla findes i et manuskript fra 1484 af Nicolas Schuquet og i den første trykte såkaldte (ifølge udgivelsesstedet) Trevize-aritmetik (1478) [28] .

Siden begyndelsen af det 16. århundrede har ordet "nul" været i udbredt brug i Tyskland og andre lande, først som fremmedord og i latin grammatisk form, men efterhånden antager det en form, der er karakteristisk for dette nationalsprog.

Rusland

Leonty Magnitsky kalder i sin " Aritmetik " tegnet 0 for "cifre eller intet" (første side i teksten); på den anden side i tabellen, hvor hvert ciffer får et navn, kaldes 0 " ingen ". I slutningen af det 18. århundrede, i den anden russiske udgave af " Forkortelser af matematikkens første grundlag " af X. Wolf ( 1791 ), kaldes nul også en figur . I matematiske manuskripter fra det 17. århundrede, ved hjælp af indiske tal, kaldes 0 "på " på grund af dets lighed med bogstavet o [29] .

Historien om tallet "nul"

Selvom der ikke er et tal 0 i det egyptiske talsystem , brugte egyptiske matematikere allerede fra Mellemriget (begyndelsen af det 2. årtusinde f.Kr.) hieroglyfen nfr ("smuk") i stedet for det, hvilket også betød begyndelsen på nedtællingen i skemaerne med templer, pyramider og grave [30] .

I kinesiske optegnelser over tal er tallet "nul" også fraværende; for at betegne tallet "nul" bruger de tegnet 〇 - en af " hieroglyferne af kejserinde Wu Zetian ".

I det antikke Grækenland var tallet 0 ikke kendt. I Claudius Ptolemæus ' astronomiske tabeller blev tomme celler betegnet med symbolet ο (bogstavet omicron , fra andet græsk οὐδέν - ingenting ); det er muligt, at denne betegnelse påvirkede udseendet af tallet "nul", men de fleste historikere erkender, at indiske matematikere opfandt decimalen nul .

I Europa blev 0 i lang tid betragtet som et konventionelt symbol og blev ikke genkendt som et tal; selv i det 17. århundrede skrev Wallis : "Nul er ikke et tal." I aritmetiske skrifter blev et negativt tal tolket som en gæld og nul som en situation med fuldstændig ruin. Leonhard Eulers værker bidrog især til den fuldstændige udligning af hans rettigheder med andre numre .

Se også

Noter

↑ 1 2 D. E. Rosenthal . En guide til stavning, udtale, litterær redigering. Kapitel X. Stavemåde af tal. Arkiveret 12. januar 2015 på Wayback Machine M.: CheRo, 1999.
↑ Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician, 1985 .
↑ Nul // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3. - S. 1082.
↑ Nul // Big Encyclopedic Dictionary . - 2000. (Russisk)
↑ Stor forklarende ordbog over det russiske sprog. Ch. udg. S. A. Kuznetsov. Første udgave: Skt. Petersborg: Norint, 1998.
↑
Det vigtigste tal er nul. Det var en genial idé at lave noget ud af ingenting, give det et navn og opfinde et symbol for det.
— Van der Waerden B. L. Awakening Science. Matematik i det gamle Egypten, Babylon og Grækenland. - M .: Fizmatlit, 1959. - S. 77.
↑ Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Philip S.; Bedient, Jack D. Elementær matematiks historiske rødder (engelsk) . - Courier Dover Publications , 1976. - S. 254-255. - ISBN 0-486-13968-9 . , Uddrag af side 254—255 Arkiveret 10. maj 2016 på Wayback Machine
↑ 1 2 Potapov M. K., Alexandrov V. V., Pasichenko P. I. Algebra og analyse af elementære funktioner. - M. : Nauka, 1981. - S. 9. - 560 s.
↑ International standard 80000-2:2009. Del 2 . NCSU COE mennesker . Hentet 12. august 2019. Arkiveret fra originalen 28. februar 2019. (ubestemt)
↑ GOST R 54521-2011 Statistiske metoder. Matematiske symboler og tegn til anvendelse i standarder (genudgivelse) af 24. november 2011 - docs.cntd.ru. docs.cntd.ru _ Hentet 14. januar 2022. Arkiveret fra originalen 9. juli 2021. (ubestemt)
↑ 1 2 Savin A.P. Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician / comp. A. P. Savin. - M . : "Pædagogik", 1989. - S. 219.
↑ Tsypkin A. G. Håndbog i matematik for gymnasier / Ed. S. A. Stepanova. - 3. udg. - M. : Nauka, 1983. - S. 415. - 480 s.
↑ Hvad er magten ved et tal Arkiveret 28. juli 2021 på Wayback Machine // School Mathematics, internetressource.
↑ Hvorfor er et tal i magten 0 lig med 1? Arkivkopi dateret 2. april 2015 på Wayback Machine // Naukolandiya, internetressource.
↑ Power-funktion Arkiveret 2. april 2015 på Wayback Machine // Great Soviet Encyclopedia. - M .: Soviet Encyclopedia 1969-1978.
↑ Brich Z. S., Voyush V. I., Degtyareva G. S., Kovalevich E. V. Programming in Assembler Language of the ES Computer. — M .: Statistik, 1976. — 296 s. - S. 13-14, 19.
↑ Kulakovskaya V.P., Romanovskaya L.M., Savchenko T.A., Feldman L.S. Kobol Computer Minsk-32. Godtgørelse til ansatte i edb-centre. - M . : Statistik, 1973. - 284 s.
↑ Bryabrin V. M. Software til personlige computere. 3. udg. — M .: Nauka , 1990. — 272 s. — ISBN 5-02-014824-5 . - S. 17, 113-114.
↑ Smirnov N. N. Software til personlige computere. - L . : Mashinostroenie, 1990. - 272 s. — ISBN 5-217-00029-5 . - S. 13, 80-81.
↑ Lamberto Garcia del Cid. Særlige numre af andre kulturer → 116 // Bemærkelsesværdige tal. Zero, 666 og andre udyr. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 116. - 159 s. — (Matematikkens Verden). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
↑ Lamb, Evelyn (31. august 2014), Se, mor, ingen nul! , Scientific American , Roots of Unity , < http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2014/08/31/look-ma-no-zero/ > Arkiveret 17. oktober 2014 på Wayback Machine
↑ Menninger K. Talenes historie. Tal, symboler, ord . - M. : ZAO Tsentrpoligraf, 2011. - S. 469 -470. — 543 s. — ISBN 9785952449787 .
↑ Laura Laurencich-Minelli. Den nysgerrige forestilling om det mesoamerikanske og andinske "objekt nul" og inkaernes talguders logik . Arkiveret fra originalen den 23. juli 2012. (ubestemt)
↑ Fuss omkring nul . Hentet 19. september 2017. Arkiveret fra originalen 20. september 2017. (ubestemt)
↑ Meget ståhej om ingenting : gammel indisk tekst indeholder det tidligste nul-symbol . The Guardian (14. september 2017). Hentet 19. september 2017. Arkiveret fra originalen 20. november 2017.
↑ Lamberto Garcia del Cid. Særlige numre af andre kulturer → 116 // Bemærkelsesværdige tal. Zero, 666 og andre udyr. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 115. - 159 s. — (Matematikkens Verden). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
↑ "Zentralblatt für Mathematik", april 1957, meddelelse fra den tjekkiske matematikhistoriker G. Vetter.
↑ Depman, 1965 , s. 89.
↑ Depman, 1965 , s. 90.
↑ Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (tredje udgave) (engelsk) . — Princeton University Press , 2011. — S. 86 . - ISBN 978-0-691-13526-7 .

Litteratur

Depman I. Ya. Aritmetikkens historie . - 2. udgave, revideret. - M . : Uddannelse, 1965. - 417 s.
Lamberto Garcia del Cid. De første naturlige tal og deres værdi → 0 er et tvetydigt tal // Bemærkelsesværdige tal. Zero, 666 og andre udyr. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 14-15. — 159 s. — (Matematikkens Verden). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
Nul // Encyklopædisk ordbog for en ung matematiker / Komp. A. P. Savin. - M . : Pædagogik , 1985. - S. 219 . — 352 s.
Sikkert, Charles. Nul. Biography of a Dangerous Idea = Zero: The Dangerous Idea Biography. - Neoklassisk, AST, 2014. - 288 s. - ISBN 978-5-17-083294-1 .
Kaplan, Robert. Det ingenting, der er. En naturhistorie af nul . - Oxford: Oxford University Press, 2000. - 226 s. — ISBN 0-19-512842-7 .
Wells, David. 0 // Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . - Penguin Books, 1986. - S. 23-26 . — 229 s. — ISBN 0-14-008029-5 .

Links

Zero historie
Hvorfor kan du ikke dividere med nul?
Symbolik af tal (nul) /S. Curius / "Time Z" nr. 2/2007
Om sammenligningen af begreberne "nul" og "intet" Smirnov OA - Scientific session MEPhI-2003.
Egenskaber for tallet nul
JJ O'Connor, E.F. Robertson. En historie om Zero . MacTutor History of Mathematics-arkiv . School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Skotland (november 2000). (ubestemt)

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk norsk Stor russer Britannica (online) Brockhaus
I bibliografiske kataloger	BNF : 12089393x GND : 4368215-7 J9U : 987007534242405171 LCCN : sh85149761 NKC : ph323412

Numeriske systemer
Tællelige sæt	Naturlige tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationel ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beregnbar Aritmetik
Reelle tal og deres forlængelser	Ægte ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Kompleks ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonioner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Skifter Dobbelt Hyperkompleks Superrealistisk Hypermateriale surrealistisk
Numeriske udvidelsesværktøjer	Cayley-Dixon procedure Frobenius sætning Hurwitz-sætning
Andre nummersystemer	kardinalnumre Ordinaltal (transfinite, ordinaler) p-adic Overnaturlige tal intervaltal
se også	dobbelte tal Irrationelle tal transcendentale tal nummerstråle Biquaternion

Heltal

Op til 100
0 en 2 3 fire 5 6 7 otte 9 ti elleve 12 13 fjorten femten 16 17 atten 19 tyve 21 22 23 24 25 26 27 28 29 tredive 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 45 46 47 48 halvtreds 51 52 53 54 55 56 57 60 61 62 63 64 66 68 69 70 71 72 73 74 76 77 78 79 80 81 82 83 85 87 88 89 90 91 92 95 97 98 99

100 og mere