Opløsning af en algebraisk ligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 22. maj 2022; checks kræver 4 redigeringer .

Opløsningsmidlet af en algebraisk gradligning er en algebraisk ligning med koefficienter rationelt afhængige af koefficienterne , således at viden om rødderne til denne ligning giver os mulighed for at løse den oprindelige ligning ved at løse simplere ligninger (det vil sige sådan, at deres grad ikke er større) end ). $f(x)=0$ $n$ $g(y)=0$ $f(x)$ $n$

Opløsningsmidlet kaldes også selve det rationelle udtryk , det vil sige afhængigheden af opløsningsmidlets rødder som en ligning på rødderne af den oprindelige ligning. $y=y(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ $g(y)=0$

Opløsninger af ligninger med lavere grader i én variabel

Uformelt er ideen om at opnå opløsningsmidlerne af algebraiske ligninger , ifølge Lagrange , som følger. Lad os sammensætte nogle, helst så enkle som muligt, algebraiske udtryk ud fra rødderne af den oprindelige ligning med følgende egenskaber:

antallet af forskellige værdier af udtrykket for alle mulige permutationer af rødderne ville være mindre end graden af den oprindelige ligning;

elementære symmetriske polynomier i værdierne af udtrykket ville være funktioner af elementære symmetriske polynomier i rødderne af den oprindelige ligning. Derefter udtrykkes ligningens koefficienter, hvis rødder er de fundne værdier af udtrykket, rationelt udtrykt , ifølge Vieta-relationerne , gennem koefficienterne for den oprindelige ligning;

det resulterende system af ligninger med ukendte - rødderne til den oprindelige ligning - ville blive reduceret til et lineært og ville være kompatibelt.

Således rækkefølgen af handlinger:

find det tilsvarende udtryk fra rødderne;
beregn koefficienterne for opløsningsligningen, hvis rødder er værdierne af det fundne udtryk, gennem koefficienterne for originalen;
find opløsningsmidlets rødder;
til sidst gendan rødderne af den oprindelige ligning fra de fundne rødder af opløsningsmidlet.

Ifølge teorien om cykliske udvidelser er en løsning i radikaler af en generel algebraisk ligning mulig op til dens grad ikke højere end fire. Nedenfor er eksempler på opløsningsmidler af algebraiske ligninger af anden, tredje og fjerde grad i én variabel, og det er vist (uden at involvere den generelle teori og kun ved elementære beregninger), hvordan man opnår selve opløsningsmidlerne og på deres grundlag den generelle løsning af de tilsvarende ligninger.

Opløsningsmiddel af en andengradsligning

Inferens ved udtryk for rødder

Givet en andengradsligning :

ax^{2}+bx+c=0

Lad os finde et lineært opløsningsmiddel. Lad os skrive den enkleste ikke-trivielle lighed, der ikke ændrer sig under permutation og steder $x_{1}$ $x_{2}$

{\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}=y_{1))

eller

(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=y_{1}

I betragtning af , $x_{1}+x_{2}=-b/a$ $x_{1}x_{2}=c/a$

{\displaystyle (b/a)^{2}-4c/a=y_{1))

og vil være roden til opløsningsmidlet - den lineære ligning ${\displaystyle y_{1))$

a^{2}yb^{2}+4ca=0\qquad \qquad \qquad \qquad (1.1)

Lad os løse systemet

{\begin{cases}(x_{1}-x_{2})^{2}=y_{1}\\x_{1}+x_{2}=-b/a\\\end{ sager}}

Vi vælger tegnet, når vi udtrækker kvadratroden , derefter dens løsning $+$

{\begin{aligned}x_{1}&=({\sqrt {y_{1}}}-b/a)/2\\x_{2}&=(-{\sqrt {y_{1 }}}-b/a)/2\\\end{aligned}}\qquad \qquad \qquad \qquad (1.2)

At vælge et andet tegn før roden vender løsningerne om. Vi bemærker her, at ændringen af fortegn før kvadratroden svarer til at beregne den komplekst værdifulde funktion kvadratrod , som altid har to (bortset fra argumentet lig nul) forskellige værdier, f.eks . $\ {\sqrt {i}}_{1,2}=\left(e^{\frac {\pi i}{4)),e^{\frac {5\pi i}{4} }\right)=\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i),-{\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right )$

Opløsningsmiddel af en kubisk ligning

I betragtning af den reducerede kubiske ligning skrives den normalt i formen

x^{3}+3px+2q=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.1)

Direkte output

Lad os skrive identiteten ned

(a+b)^{3}-3ab(a+b)-a^{3}-b^{3}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.2)

Derefter ved byggeri

x_{1}=a+b\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.3)

vil være roden til ligningen

x^{3}-3abx-a^{3}-b^{3}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.4)

Lad os finde de resterende rødder (2.4). Ved en følge af Bezouts sætning (2.2) er delelig med et binomial uden rest. Lad os dele: $x-(a+b)$

x^{3}-3abx-a^{3}-b^{3}=(x-(a+b))(x^{2}+(a+b)x+a^{2 }-ab+b^{2})

og find rødderne til den anden faktor

x^{2}+(a+b)x+a^{2}-ab+b^{2}=0

ved hjælp af opløsningsmidlet (1.1):

{\displaystyle y_{1}=(a+b)^{2}-4(a^{2}-ab+b^{2})=-3(ab)^{2))

og ifølge (1.2)

{\begin{aligned}x_{2}=\rho a+\rho ^{2}b\\x_{3}=\rho ^{2}a+\rho b\\\end{aligned))\ quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.5)

hvor er den primitive kubikrod af enhed , dens egenskaber er: $\rho ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$

\rho ^{2}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}

, , , . _

\rho ^{2}+\rho =-1

\rho ^{3}=1

(\rho ^{2})^{3}=1

\rho ^{4}=\rho \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.6)

Så vi ved, hvordan man løser (2.4), det er tilbage at reducere (2.1) til formen (2.4). For at rødderne af ligning (2.1) og (2.4) kan falde sammen, skal de have samme koefficienter ved potenserne og frie led. Hvis og findes som udtryk for og , så vil løsninger (2.1) også kendes. Ved at sidestille koefficienterne får vi systemet: $x$ $-en$ $b$ $s$ $q$

{\begin{cases}p=-ab\\2q=-a^{3}-b^{3}\\\end{cases}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad ( 2.7)

Efter at have kuberet den første ligning (2.7) får vi en andengradsligning for og $a^{3}$ $b^{3}$

y^{2}+2qy-p^{3}=0\quad \quad \quad \quad \quad \qquad (2.8)

som vil være opløsningsmidlet for ligning (2.1). Hendes rødder

{\displaystyle y_{1,2}=-q\pm {\sqrt {q^{2}+p^{3))))

Vender vi tilbage til den oprindelige variabel ( ; ), fra (2.3), (2.5) finder vi alle rødder (2.1): ${\displaystyle a={\sqrt[{3}]{y_{1))))$ ${\displaystyle b={\sqrt[{3}]{y_{2))))$

x_{1}={\sqrt[{3}]{-q+{\sqrt {q^{2}+p^{3))))}+{\sqrt[{3}]{-q -{\sqrt {q^{2}+p^{3))))}

{\displaystyle x_{2}=\rho {\sqrt[{3}]{-q+{\sqrt {q^{2}+p^{3))))}+\rho ^{2}{\sqrt [{3}]{-q-{\sqrt {q^{2}+p^{3)))))))

{\displaystyle x_{3}=\rho ^{2}{\sqrt[{3}]{-q+{\sqrt {q^{2}+p^{3))))}+\rho {\sqrt [{3}]{-q-{\sqrt {q^{2}+p^{3)))))))

Ved beregning af to terningrødder skal en af de tre værdier af den komplekst værdifulde funktion terningrødder vælges, så den første af relationer (2.7) er opfyldt. I alle tre løsninger skal denne værdi, der vælges for hver rod, være den samme.

Inferens ved udtryk for rødder

Antag, at vi ikke kender til eksistensen af opløsningsmidlet (2.8). Vi finder det ved udtrykket for rødderne. Lad os finde et udtryk, der tager to værdier, når rødderne af den oprindelige ligning (2.1) omarrangeres . Overveje: $3!=6$

\left(x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}\right)^{3}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.9)

Fra (2.6) følger egenskaberne for udtrykket (2.9) under graden:

x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}=\rho \left(x_{2}+\rho x_{3}+\rho ^{2}x_ {1}\right)=\rho ^{2}\left(x_{3}+\rho x_{1}+\rho ^{2}x_{2}\right)\quad (2.10)

og når kuberes, giver alle tre det samme, det vil sige, at værdien (2,9) ikke ændres i løbet af cyklussen . Transposition giver et andet udtryk, så ud af seks mulige permutationer er kun to unikke, lad os sige: $(123)$ $(1)(23)$

{\begin{aligned}y_{1}=\left({\frac {x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}}{3}}\right )^{3}\\y_{2}=\venstre({\frac {x_{1}+\rho x_{3}+\rho ^{2}x_{2}}{3}}\right)^ {3}\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.11)

hvor er en normaliserende faktor. Beregning af summer og produkter i form af koefficienterne for den oprindelige ligning giver os koefficienterne for opløsningsmidlet (2.8): ${\frac {1}{3}}$

{\begin{aligned}y_{1}+y_{2}&=-2q\quad \quad \quad \quad \quad (2.12)\\y_{1}y_{2}&=-p^ {3}\quad \quad \quad \quad \quad (2.13)\end{aligned}}

beregning

Betegn

{\begin{aligned}R&=x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{2}x_{3}^{2}\ \S&=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{3}^{2}+x_{2}^{2}x_{3}\end{aligned}}\quad \ quad \quad \quad \quad (2.14)

Vi beregner terninger (2.11) ved at bruge ligheder (2.10) for det første udtryk og lignende for det andet (i stedet for at beregne terningen multiplicerer vi tre udtryk (2.10)). Vi får:

27y_{1}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+3\rho ^{2}R+3\rho S+6x_ {1}x_{2}x_{3}

27y_{2}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+3\rho ^{2}S+3\rho R+6x_ {1}x_{2}x_{3}

Ifølge Newtons identiteter :

{\begin{aligned}x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+6x_{1}x_{2}x_{3}&= \ e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3}+6e_{3}&=\\9e_{3}&=-18q\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad (2.15)

hvor ; ; , derefter $e_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$ $e_{2}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=3p$ $e_{3}=x_{1}x_{2}x_{3}=-2q$

{\begin{aligned}9y_{1}&=\rho ^{2}R+\rho S-6q\\9y_{2}&=\rho ^{2}S+\rho R-6q\end{ justeret}}\quad \quad \quad \quad \quad (2.16)

Lad os bevise lighed (2.12). Vi tilføjer (2.16):

{\begin{aligned}9(y_{1}+y_{2})&=(\rho ^{2}+\rho )R+(\rho ^{2}+\rho )S-12q\ \&=-(R+S+12q)\end{aligned}}

hvor (2.6) bruges. Lad os beregne : $R+S$

{\begin{aligned}R+S&=x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{3}(x_{1}+x_{3 })+x_{2}x_{3}(x_{2}+x_{3})\\&=(x_{1}+x_{2}+x_{3})(x_{1}x_{2} }+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})-3x_{1}x_{2}x_{3}\\&=e_{1}e_{2}-3e_{3} =6q\end{aligned}}

eller

y_{1}+y_{2}={\frac {-(6q+12q)}{9}}=-2q

At udlede (2.13) er noget sværere. Vi multiplicerer (2,16):

{\begin{aligned}3^{4}y_{1}y_{2}&=(\rho ^{2}R+\rho S-6q)(\rho ^{2}S+\rho R- 6q)\\&=(\rho ^{2}R+\rho S)(\rho ^{2}S+\rho R)-6q(\rho ^{2}+\rho )(R+S)+36q ^{2}\\&=(\rho ^{2}+\rho )RS+R^{2}+S^{2}+6q(R+S)+36q^{2}\\&=- RS+(R+S)^{2}-2RS+6q(R+S)+36q^{2}\\&=36q^{2}+36q^{2}+36q^{2}-3RS\\ &=108q^{2}-3RS\end{aligned}}

Det mangler at blive fundet . Fra (2.14) efter multiplikation: $RS$

RS=x_{1}x_{2}x_{3}(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3})+3x_{1} ^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}+T\quad \quad \quad \quad \quad (2.17)

hvor vi allerede kender de første led, men vi beregner dem separat: $T=x_{1}^{3}x_{2}^{3}+x_{1}^{3}x_{3}^{3}+x_{2}^{3}x_{3 }^{3}$

T=x_{1}^{3}x_{2}^{3}x_{3}^{3}\left({\frac {1}{x_{1}^{3))}+ {\frac {1}{x_{2}^{3}}}+{\frac {1}{x_{3}^{3}}}\right)

Udtrykket i parentes er summen af terningerne af ligningsrødderne (2.1), hvor erstatningen er lavet for : $x$ ${\frac {1}{x'))$

2qx'^{3}+3px'^{2}+1=0

Elementære symmetriske polynomier for det: , , . Fra Newtons identiteter $e_{1}'=-{\frac {3p}{2q))$ $e_{2}'=0$ $e_{3}'=-{\frac {1}{2q))$

x_{1}'^{3}+x_{2}'^{3}+x_{2}'^{3}=e_{1}'^{3}+3e_{3}'

vi får

{\begin{aligned}T&=e_{3}^{3}(e_{1}'^{3}+3e_{3}')\\&=-8q^{3}\left(\ venstre(-{\frac {3p}{2q}}\right)^{3}-{\frac {3}{2q}}\right)\\&=27p^{3}+12q^{2}\ end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad (2.18)

Nu (2.17) er beregnet:

{\begin{aligned}RS&=e_{3}\cdot 3e_{3}+3e_{3}^{2}+T\\&=12q^{2}+12q^{2}+27p^ {3}+12q^{2}\\&=36q^{2}+27p^{3}\end{aligned}}

Langt om længe

3^{4}y_{1}y_{2}=108q^{2}-3(36q^{2}+27p^{3})=-3^{4}p^{3}

og (2.13) er bevist.

Så kan du løse det resulterende system:

{\begin{aligned}{\begin{cases}\left({\frac {x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}}{3}}\ højre)^{3}&=y_{1}\\\venstre({\frac {x_{1}+\rho x_{3}+\rho ^{2}x_{2}}{3}}\right )^{3}&=y_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}&=0\end{cases}}\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.19)

Ved at udtrække terningrødder fra de rigtige dele af (2.19), har vi et system af lineære ligninger :

{\begin{aligned}{\begin{cases}x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}&=3{\sqrt[{3}]{y_ {1}}}\\x_{1}+\rho ^{2}x_{2}+\rho x_{3}&=3{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\x_ {1}+x_{2}+x_{3}&=0\end{cases}}\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.20)

Tilføjer vi alle 3 ligninger, fra (2.6) får vi straks roden , og derefter gange den første ligning med og den anden med , og tilføje alle tre - vi får . Derefter, omvendt - den første på , og den anden på og tilføje alle tre - får vi . I alt er alle ligningsrødder (2.1): $x_{1}$ $\rho ^{2}$ $\rho$ $x_{2}$ $\rho$ $\rho ^{2}$ ${\displaystyle x_{3))$

{\begin{aligned}x_{1}&={\sqrt[{3}]{y_{1}}}+{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\x_{ 2}&=\rho {\sqrt[{3}]{y_{1}}}+\rho ^{2}{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\x_{3}& =\rho ^{2}{\sqrt[{3}]{y_{1}}}+\rho {\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\\end{aligned}}

Her er det også nødvendigt at vælge værdierne for terningrødder korrekt. Ved Vietas formler er det nemt at kontrollere det

3p=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=-3{\sqrt[{3}]{y_{1))}{ \sqrt[{3}]{y_{2}}}

Derfor er vi nødt til at vælge sådanne værdier

{\sqrt[{3}]{y_{1}}}{\sqrt[{3}]{y_{2}}}=-p

Nu opnår vi det samme (2.11), idet vi antager, at opløsningsmidlet (2.8) er kendt af os. Siden , , så løser vi systemet $a^{3}=y_{1}$ $b^{3}=y_{2}$

{\begin{aligned}{\begin{cases}x_{1}&=a+b\\x_{2}&=\rho a+\rho ^{2}b\\x_{3}&= \rho ^{2}a+\rho b\\\end{cases}}\end{aligned}}

med hensyn til og . Tilføj de tre ligninger igen, gange den anden med og den tredje med , og add dem derefter ved at gange den anden med og den tredje med . Vi modtager straks $-en$ $b$ $\rho$ $\rho ^{2}$ $\rho ^{2}$ $\rho$

{\begin{aligned}b={\frac {x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}}{3}}\\a={\frac { x_{1}+\rho ^{2}x_{2}+\rho x_{3}}{3}}\\\end{aligned}}

det vil sige faktisk de to første løsninger af (2.20); og det ønskede udtryk (2.9) skrives straks ud.

Opløsningsmiddel af en fjerdegradsligning

Lad der være en reduceret ligning af fjerde grad :

x^{4}+ax^{2}+bx+c=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.1)

Direkte output

Vi repræsenterer ligning (3.1) som et produkt af to kvadratiske trinomier:

(x^{2}+p_{1}x+q_{1})(x^{2}+p_{2}x+q_{2})=0

Vi multiplicerer trinomialerne og sætter lighedstegn mellem koefficienterne ved de samme potenser . Vi får et ligningssystem: $x$

{\begin{cases}p_{1}+p_{2}=0\\q_{1}+q_{2}+p_{1}p_{2}=a\\p_{1}q_{ 2}+p_{2}q_{1}=b\\q_{1}q_{2}=c\\\end{cases}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.2)

Fra den første ligning (3.2) betegner vi

p=p_{1}=-p_{2}

Ligningen vil blive skrevet således:

(x^{2}+px+q_{1})(x^{2}-px+q_{2})=0

Ved at bruge den sidste notation får vi fra anden og fjerde ligning (3.2) for andengradsligningen: $q_1, q_2$

Q^{2}-(a+p^{2})Q+c=0

Dens rødder:

q_{1,2}={\frac {1}{2}}\left(a+p^{2}\pm {\sqrt {(p^{2}+a)^{2}- 4c}}\right)\quad \quad (3.3)

Fra den tredje systemligning (3.2)

p(q_{2}-q_{1})=b\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.4)

Kvadring af sidstnævnte og substituering af forskellen fra (3.3) ind i den, får vi $(q_{2}-q_{1})^{2}=(p^{2}+a)^{2}-4c$

{\displaystyle p^{2}((p^{2}+a)^{2}-4c)=b^{2))

Betegner , får vi en kubisk ligning for , som vil være opløsningsmidlet: $y=-p^{2}$ $y$

y^{3}-2ay^{2}+(a^{2}-4c)y+b^{2}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ quad(3.5)

Bemærk, at den sidste ligning også er opløsningsmidlet for originalen (3.1), hvor den erstattes af . Derudover ville det være muligt at erstatte , men med et minus er det mere bekvemt for yderligere løsning. $b$ $-b$ $y=p^{2}$

Inferens ved udtryk for rødder

Vi får opløsningsmidlet (3.5) fra de givne relationer for dets rødder. Komponer et udtryk

(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})

Med alle mulige permutationer af variabler i får vi kun tre forskellige udtryk for : $x_{i}$ $x_{j},i,j=1,2,3,4$ $y$

y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})

y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.6)

y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})

De tre værdier svarer til en kubisk ligning, hvis rødder de er. For at finde det er det nødvendigt at beregne koefficienterne ved potenserne gennem koefficienterne i den oprindelige ligning (3.1). At beregne dem er overraskende nemmere end for opløsningsmidlet af en kubisk ligning: $y$

y_{1}+y_{2}+y_{3}=2a

y_{1}y_{2}+y_{2}y_{3}+y_{1}y_{3}=a^{2}-4c\quad \quad \quad \quad \quad \quad ( 3.7)

y_{1}y_{2}y_{3}=-b^{2}

beregning

Første ligestilling (3.7):

y_{1}+y_{2}+y_{3}=2(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2 }x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})=2a

For at beregne den anden, omskriver vi (3.6) i formen:

{\displaystyle y_{1}=a-x_{1}x_{2}-x_{3}x_{4))

{\displaystyle y_{2}=a-x_{1}x_{3}-x_{2}x_{4))

{\displaystyle y_{3}=a-x_{1}x_{4}-x_{2}x_{3))

Lad os finde : ${\displaystyle y_{1}y_{2))$

y_{1}y_{2}=(a-x_{1}x_{2}-x_{3}x_{4})(a-x_{1}x_{3}-x_{2}x_ {4})=a^{2}-a(a-x_{1}x_{4}-x_{2}x_{3})+x_{1}^{2}x_{2}x_{3} +x_{2}^{2}x_{1}x_{4}+x_{3}^{2}x_{1}x_{4}+x_{4}^{2}x_{2}x_{3 }

Tilsvarende

y_{1}y_{3}=a^{2}-a(a-x_{1}x_{3}-x_{2}x_{4})+x_{1}^{2}x_ {2}x_{4}+x_{2}^{2}x_{1}x_{3}+x_{3}^{2}x_{2}x_{4}+x_{4}^{2} x_{1}x_{3}

y_{2}y_{3}=a^{2}-a(a-x_{1}x_{2}-x_{3}x_{4})+x_{1}^{2}x_ {3}x_{4}+x_{2}^{2}x_{3}x_{4}+x_{3}^{2}x_{1}x_{2}+x_{4}^{2} x_{1}x_{2}

Tilføjer vi de sidste tre ligheder får vi:

y_{1}y_{2}+y_{2}y_{3}+y_{1}y_{3}=3a^{2}-a(y_{1}+y_{2}+y_{ 3})+

x_{1}(x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4})+x_{ 2}(x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{2}x_{3}+x_{2}x_{3}x_{4})+

x_{3}(x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{2}x_{3})+x_{ 4}(x_{2}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{2}x_{4})=

3a^{2}-2a^{2}-x_{1}(b+x_{2}x_{3}x_{4})-x_{2}(b+x_{1}x_{3 }x_{4})-x_{3}(b+x_{1}x_{2}x_{4})-x_{4}(b+x_{1}x_{2}x_{3})=

a^{2}-b(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})-4x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=a ^{2}-4c

Og den tredje lighed (3.7):

y_{1}y_{2}y_{3}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})(x_{1}+x_{3})( x_{2}+x_{4})(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})=

-(x_{1}+x_{2})^{2}(x_{2}+x_{4})^{2}(x_{2}+x_{3})^{2}=

-((x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{4})(x_{2}+x_{ 3}))^{2}=

-(x_{2}^{2}x_{1}+x_{2}^{3}+x_{2}^{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{ 4}+x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3} x_{4})^{2}=

{\displaystyle -(x_{2}^{2}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})-b)^{2}=-b^{2))

Identitet bruges i beregninger . $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0$

Yderligere beslutning

Så kan du gå videre på to måder:

Den første måde

De tre rødder af den kubiske ligning (3.5) svarer til tre sæt tal , som fås, hvis vi ved at omarrangere de 4 rødder af den oprindelige ligning (3.1) på tre måder repræsenterer den som et produkt af to kvadratiske trinomier. Når opløsningsmidlet (3.5) løses, er det derfor tilstrækkeligt at vælge en af rødderne , med et andet valg af roden, vil de tilsvarende 4 løsninger af ligning (3.1) være permutationer af de opnåede løsninger. ${\displaystyle p,q_{1},q_{2))$ $y$

Efter at have løst opløsningsmidlet (for eksempel ifølge Cardano-formlen ), vælger vi enhver rod, lad . ${\displaystyle y_{1))$

Nu skal vi tilbage til ved at vælge et hvilket som helst tegn foran kvadratroden, og så finde ved at vælge sådanne tegn foran rødderne af løsninger (3.3), så lighed (3.4) er opfyldt. Derefter er det ikke svært at finde 4 rødder af to trinomialer. Langt om længe: ${\displaystyle p=\pm {\sqrt {-y_{1))))$ ${\displaystyle q_{1},q_{2))$

x_{1},_{2}=(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q_{1}}})/2

x_{3},_{4}=(p\pm {\sqrt {p^{2}-4q_{2}}})/2

hvor svarer til (det første trinomium), og svarer til (det andet trinomium). $s$ ${\displaystyle q_{1))$ $-p$ ${\displaystyle q_{2))$

Den anden måde

Ved løsning kræves alle 3 rødder af opløsningsmidlet (3.5), lad dem findes.

Vi vælger korrespondancen af opløsningsmidlets rod til rødderne af det første trinomium og det andet. På samme måde som rødderne af det første trinomium og det andet; rødderne af det første trinomium og det andet. Så for tilbageholdelser: $y_1$ $x_{1},x_{2}$ ${\displaystyle x_{3},x_{4))$ $y_2$ ${\displaystyle x_{1},x_{3))$ ${\displaystyle x_{2},x_{4))$ ${\displaystyle y_{3))$ ${\displaystyle x_{1},x_{4))$ ${\displaystyle x_{2},x_{3))$ $y_1$

-p^{2}=y_{1}

Ifølge Vieta-formlerne for henholdsvis første og andet trinomium:

{\displaystyle -p=x_{1}+x_{2))

... _

{\displaystyle p=x_{3}+x_{4))

derefter

y_{1}=-p^{2}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})

Efter at have gjort det samme for rødderne (hver vil have sit eget ), får vi igen system (3.6). Ligning (Vieta-relation for koefficienten for den oprindelige ligning ved ) $y_{2},y_{3}$ $s$ ${\displaystyle x^{3))$

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.8)

lukker systemet (3.6). Substitution fra (3.8) til tre ligninger (3.6) fører umiddelbart til systemet

{\begin{cases}{\begin{aligned}&(x_{3}+x_{4})^{2}=-y_{1}\\&(x_{2}+x_{4} )^{2}=-y_{2}\\&(x_{2}+x_{3})^{2}=-y_{3}\\&x_{1}+x_{2}+x_{3 }+x_{4}=0\\\end{aligned}}\end{cases}}

Når man løser det, er der vanskeligheder med at vælge et tegn, når man udtrækker en kvadratrod. Man kunne tjekke lighedstegnet

p{\sqrt {(p^{2}+a)^{2}-4c}}=b

som blev opnået i den direkte afledning af opløsningsmidlet (ved kvadrering af den sidste lighed blev der tilføjet ekstra rødder med modsatte fortegn), konsekvent for , men lad os gøre det enklere. Vi vælger et hvilket som helst tegn, når vi udtrækker kvadratroden, for eksempel , og skriver systemet, der angiver , , : $p=\pm {\sqrt {-y_{1}}},p=\pm {\sqrt {-y_{2}}},p=\pm {\sqrt {-y_{3}}}$ ${\displaystyle-}$ ${\sqrt {-y_{1}}}=u$ ${\sqrt {-y_{2}}}=v$ ${\sqrt {-y_{3}}}=w$

{\begin{cases}{\begin{aligned}&x_{3}+x_{4}=-u\\&x_{2}+x_{4}=-v\\&x_{2}+x_{ 3}=-w\\&x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\\\end{aligned}}\end{cases}}

Dette er et system af lineære ligninger ; simpelthen løst ved substitution. Hendes løsning:

{\begin{aligned}x_{1}&=(-uvw)/2\\x_{2}&=(-u+v+w)/2\\x_{3}&=(u- v+w)/2\\x_{4}&=(u+vw)/2\\\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.9)

Bemærk, at en enkelt fortegnsændring af et hvilket som helst af begreberne enten transformerer løsningen til en løsning og omvendt (f.eks. ændring til oversættes til ). Derfor, hvis valget af tegn viser sig at være forkert, er det nok at ændre tegnet for et hvilket som helst udtryk i løsningen, og det vil blive sandt. Ifølge forholdene mellem rødderne og koefficienterne for opløsningsmidlet kan man ikke sige om det rigtige valg af fortegn, da det er opløsningsmidlet af to ligninger. Det betyder, at vi skal lede efter en sammenhæng mellem originalens rødder og koefficienter, og koefficienten skal deltage i det . Vi skriver Vieta-relationen til det: $u$ $v$ $w$ $\mathbf {x}$ $-\mathbf {x}$ $u$ $-u$ $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ $(-x_{2},-x_{1},-x_{4},-x_{3})$ $x_{i}$ $b$

x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3} x_{4}=-b

Ved at erstatte udtryk (3.9) her får vi

uvw=b\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.10)

, beregning

Fra (3.8) og (3.9)

{\begin{aligned}b&=-(x_{1}x_{2}(x_{3}+x_{4})+(x_{1}+x_{2})x_{3}x_{ 4})\\&=u(x_{3}x_{4}-x_{1}x_{2})\\&={\frac {u}{4}}\left(u^{2}- (vw)^{2}-(u^{2}-(v+w)^{2})\right)\\&={\frac {u}{4}}\left(u^{2} -v^{2}+2vw-w^{2}-u^{2}+v^{2}+w^{2}+2vw\right)\\&=4uvw/4=uvw\end{aligned }}

hvad betyder verifikation

{\sqrt {-y_{1}}}{\sqrt {-y_{2}}}{\sqrt {-y_{3}}}=b

og hvis skiltet viser sig at være forkert, erstatter vi fx med . For at få den endelige løsning udregner vi (3.9) med de valgte fortegn. ${\displaystyle {\sqrt {-y_{1))))$ ${\displaystyle -{\sqrt {-y_{1))))$

Litteratur

MM. Postnikov. Galois teori. - M.: Publishing House Facttorial Press, 2003. ISBN 5-88688-063-1
Kaluzhnin L.A., Sushchansky V.I. Transformationer og permutationer: oversat fra ukrainsk. - M.: Nauka, 1979
Prasolov V.V., Solovyov Yu.P. Elliptiske funktioner og algebraiske ligninger. - M.: Factorial Publishing House, 1997. ISBN 5-88688-018-6