Grundlæggende sætning for Galois teori

Hovedsætningen i Galois-teorien er sætningen om udvidelser af felter af en bestemt form, et nøgleresultat af Galois-teorien .

Udsagn: for en endelig Galois-udvidelse er der en en-til-en-korrespondance mellem mængden af mellemfelter i formen og mængden af undergrupper i Galois-gruppen i denne udvidelse (desuden definerer sætningen eksplicit denne korrespondance). $E\forstyrret F$ $K$ $E\upset K\upset F$

Beskrivelse af overensstemmelse

For en given finit forlængelse er korrespondancen arrangeret som følger: $E\forstyrret F$

For enhver undergruppe af Galois-gruppen er det tilsvarende mellemfelt, normalt betegnet med , sættet af de elementer i feltet , der er faste punkter for hver automorfi fra , med operationer induceret fra . $H$ $E^{H}$ $E$ $H$ $E$
For ethvert mellemfelt består den dertil svarende undergruppe af de automorfier, der virker identisk på dette mellemfelt.

For eksempel svarer feltet til en triviel undergruppe , og til hele gruppen (da alle automorfier fra Galois-gruppen bevarer et mindre felt, og for ethvert andet element er der en automorfi, der virker på det ikke-trivielt). $E$ $F$

Match egenskaber

Denne korrespondance har flere nyttige egenskaber. Især vender den rækkefølgen ved inklusion: for undergrupper af Galois-gruppen svarer betingelsen til . Desuden er et felt en normal udvidelse (eller tilsvarende en Galois-udvidelse , da hver underudvidelse af en separerbar udvidelse er adskillelig), hvis og kun hvis er en normal undergruppe af Galois-gruppen. Kvotientgruppen er isomorf med hensyn til Galois - gruppen i forlængelsen . $H_{1}\subseteq H_{2}$ $E^{H_{2}}\subseteq E^{H_{1}}$ $E^{H}$ $F$ $EH$ $E^{H}\upset F$

Eksempel

Lad os overveje et felt . Hvert element kan skrives som $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)),{\sqrt {3)))$

a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}),

hvor , , , er rationelle tal. Overvej automorfismer af forlængelsen . Da denne udvidelse er genereret af og , er enhver automorfi entydigt bestemt af deres billeder. Automorfier af enhver udvidelse kan kun bytte rødderne af et polynomium over et mindre felt, derfor er alle mulige ikke-trivielle automorfier i dette tilfælde en permutation og (vi betegner denne automorfi ), en permutation og (automorfi ) og deres sammensætning . Mere præcist er disse transformationer specificeret som følger: $-en$ $b$ $c$ $d$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)),{\sqrt {3)))\supset \mathbb {Q}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {2}}$ $-{\sqrt 2}$ $f$ ${\sqrt {3}}$ $-{\sqrt 3}$ $g$ $fg$

f(a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}})=ab{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3 }}-d{\sqrt {6}},

g(a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}})=a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}.

Det er indlysende, at disse kortlægninger virker bijektivt og omdanner summen til en sum, derfor er det nok at kontrollere lighed for at kontrollere ligheden på par af grundlæggende elementer, hvilket også er trivielt. Således er Galois-gruppen i denne udvidelse Klein-fire-gruppen : $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$

G=\{1,f,g,fg\}.

Den har tre ikke-trivielle undergrupper:

automorfier fra en undergruppe bevarer elementer fra det mellemliggende felt ; ${\displaystyle \{1,f\))$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {3)))$
automorfier fra bevare ; ${\displaystyle \{1,g\))$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)))$
automorfier fra bevare . $\{1,fg\}$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})$

Ansøgninger

Hovedsætningen reducerer spørgsmålet om eksistensen af mellemfelter til spørgsmålet om eksistensen af undergrupper af en eller anden endelig gruppe (da rækkefølgen af Galois-gruppen er lig med dimensionen af udvidelsen), løses mange problemer i Galois-teorien ved at en simpel anvendelse af hovedsætningen.

For eksempel er spørgsmålet om løseligheden af en ligning i radikaler normalt formuleret som følger: er det muligt at udtrykke rødderne af et givet polynomium i form af dets koefficienter ved kun at bruge aritmetiske operationer og operationen med at tage roden af th grad . I feltteoriens sprog kan dette spørgsmål formuleres som følger: overvej feltet, der genereres af polynomiets koefficienter, og feltet opnået ved at tilføje dets rødder. Spørgsmålet er, om der er sådan en kæde af mellemfelter $n$ $F$ $E$

E=K_{n}\supset K_{n-1}\supset \ldots \supset K_{1}\supset K_{0}=F,

at , hvor er ligningens rod , og feltet indeholder alle ligningens rødder . I dette tilfælde kan man bevise, at den tilsvarende række af undergrupper i Galois-gruppen har den egenskab, at kvotientgruppen eksisterer og er cyklisk . Grupper, for hvilke der eksisterer mindst én serie med denne egenskab, siges at være løsbar , således er en ligning løsbar i radikaler, hvis og kun hvis dens Galois-gruppe er løsbar. $K_{i+1}=K_{i}(\alpha )$ $\alfa$ ${\displaystyle x^{n}-a,\ a\in K_{i))$ $K_{i}$ $x^{n}-1$ $G_{i}/G_{i+1}$

Teorier som Kummers teori og klassefeltteori er baseret på Galois-teoriens grundlæggende teorem.

Litteratur

Bourbaki N. Algebra. Del 2. Polynomier og felter. Ordnede grupper - M .: Nauka, 1965
P. Aluffi. Algebra: Kapitel 0 (Graduate Studies in Mathematics) - American Mathematical Society, 2009 - ISBN 0-8218-4781-3 .
Marcus, Daniel. Nummerfelter (udefineret) . - New York: Springer-Verlag , 1977. - ISBN 0-387-90279-1 .