Cayley bord

Cayley-  tabellen er en tabel, der beskriver strukturen af ​​endelige algebraiske systemer ved at arrangere resultaterne af en operation i en tabel, der ligner en multiplikationstabel. Opkaldt efter den engelske matematiker Arthur Cayley . Tableauet er vigtigt i diskret matematik , især i gruppeteori . Tabellen giver dig mulighed for at finde ud af nogle egenskaber for gruppen, for eksempel om gruppen er abelsk , finde midten af ​​gruppen og de omvendte elementer af gruppens elementer.

I højere algebra kan Cayley-tabeller også bruges til at definere binære operationer på felter , ringe og andre algebraiske strukturer.

Et simpelt eksempel på en Cayley-tabel for gruppen {1, −1} med normal multiplikation :

Historie

Cayley-tabeller dukkede først op i Cayleys papir "On The Theory of Groups, som afhængig af den symbolske ligning θ n = 1" i 1854. I denne artikel var disse kun tabeller brugt til illustrative formål. De blev senere kaldt Cayley-borde til ære for deres skaber.  

Struktur

Fordi mange Cayley-tabeller beskriver grupper, der ikke er abelske , er produktet ab ikke nødvendigvis lig med produktet ba for alle a og b i gruppen. For at undgå forvirring antages det, at multiplikatoren svarende til rækkerne kommer først, og multiplikatoren svarende til kolonnerne kommer i anden række.  For eksempel er skæringspunktet mellem række a og kolonne b ab , ikke ba , som vist i følgende eksempel:

Cayley placerede i sit arbejde et neutralt element i den første række og første kolonne, hvilket tillod ham ikke at udskille separate rækker og kolonner, der angiver elementerne, som det kan ses i eksemplet ovenfor. For eksempel blev den samme tabel præsenteret som:

I dette eksempel på en cyklisk gruppe Z 3 er elementet a det neutrale element, og det vises i øverste venstre hjørne af tabellen. Det er for eksempel let at se, at b 2 = c og at cb = a . I modsætning til dette inkluderer de fleste moderne tekster, inklusive denne artikel, en overskriftsrække og -kolonne for større klarhed.

Egenskaber og anvendelser

Kommutativitet

Cayley-tabellen fortæller os, om en gruppe er abelsk . Da gruppeoperationen på en Abelsk gruppe er kommutativ , er en gruppe Abelsk, hvis og kun hvis dens Cayley-tableau er symmetrisk (med hensyn til diagonalen). Den cykliske gruppe af orden 3 ovenfor, såvel som {1, −1} ved almindelig multiplikation, er begge eksempler på Abelske grupper, og symmetrien i deres Cayley-tabeller beviser dette. Men den mindste ikke-abelske dihedrale gruppe af sjette orden har ingen symmetri i Cayley-tabellen.

Associativitet

Da associativitet er til stede i grupper per definition, antages det ofte også i Cayley-tabeller. Cayley-tabeller kan dog bruges til at beskrive operationer i kvasigrupper , hvor associativitet ikke er påkrævet (desuden kan Cayley-tabeller bruges til at beskrive en operation i enhver finit magma ). Desværre er det generelt umuligt at afgøre, om en operation er associativ eller ej ved blot at se på en tabel, i modsætning til kommutativitet. Dette skyldes, at associativitet afhænger af de tre elementer i lighed, mens Cayley-tabellen viser produktet af to elementer. Lights associativitetstest kan dog bestemme associativitet med mindre indsats end brute force.

Permutationer

Da forkortelsen gælder for grupper (faktisk selv for kvasigrupper), kan ingen række eller kolonne i Cayley-tabellen indeholde det samme element to gange. Således er hver række og kolonne i tabellen en permutation af elementerne i gruppen.

For at se, hvorfor rækker og kolonner ikke kan indeholde de samme elementer, lad a , x og y  være elementer i en gruppe, og x og y er forskellige. Nu vil rækken svarende til element a og kolonnen svarende til element x indeholde produktaksen . På samme måde vil kolonnen svarende til y indeholde ay . Lad to produkter være lige store, det vil sige, at strengen a indeholder elementet to gange. Ved reduktionsreglen kan vi ud fra ax = ay slutte , at x = y , hvilket modsiger valget af x og y . Præcis det samme ræsonnement gælder for kolonner. I lyset af gruppens endelighed ifølge Dirichlet-princippet vil hvert element i gruppen blive præsenteret nøjagtigt én gang i hver række og i hver kolonne.

Det vil sige, at Cayleys tableau for gruppen er et eksempel på en latinsk firkant .

Konstruktion af Cayley-borde til grupper

Ved hjælp af gruppestrukturen er det ofte muligt at "udfylde" Cayley-tabeller, der har tomme felter uden overhovedet at vide noget om gruppedriften. For eksempel, da hver række og hver kolonne skal indeholde alle elementerne i en gruppe, kan et manglende element i en række (eller kolonne) udfyldes uden at vide noget om gruppen overhovedet. Dette viser, at denne egenskab og nogle andre egenskaber ved grupper gør det muligt at konstruere Cayley-tabeller, selvom vi ved lidt om gruppen.

"Skeletet af neutrale elementer" i en endelig gruppe

Da ethvert element i en hvilken som helst gruppe, ikke engang i en abelsk, pendler med sin inverse, er fordelingen af ​​neutrale elementer i Cayley-tableauet symmetrisk i forhold til diagonalen. Neutrale elementer, der ligger på diagonalen, svarer til elementer, der falder sammen med deres invers.

Da rækkefølgen af ​​rækkerne og kolonnerne i Cayley-tabellen er vilkårlig, er det praktisk at arrangere dem i følgende rækkefølge: vi starter med det neutrale element i gruppen, som altid falder sammen med dens omvendte, og lister derefter alle de elementer, der falder sammen. med deres invers, og skriv derefter par af elementer (element og invers til ham).

For en endelig gruppe af en eller anden rækkefølge er det let at definere et "skelet af neutrale elementer", så navngivet, fordi de neutrale elementer enten ligger på eller nær hoveddiagonalen.

Det er relativt nemt at bevise, at grupper med forskellige skeletter ikke kan være isomorfe , men det omvendte er ikke sandt (for eksempel er den cykliske gruppe C 8 og quaterniongruppen Q ikke isomorfe, selvom de har de samme skeletter).

Lad der være seks gruppeelementer e , a , b , c , d og f . Lad e  være et neutralt element. Da det neutrale element er det samme som dets inverse, og det inverse element er unikt, skal der være mindst ét ​​andet element, der er det samme som dets inverse. Således får vi følgende mulige skeletter:

• alle elementer falder sammen med deres invers,
• alle elementer undtagen d og f er de samme som deres gensidige, og disse to er gensidige af hinanden,
• a er dens inverse, b og c er inverse, d og f er inverse.

I vores tilfælde er der ingen gruppe af den første type af orden 6. Det faktum, at et skelet er muligt, betyder desuden slet ikke, at der eksisterer en gruppe, hvis skelet falder sammen med det.

Bemærkelsesværdigt er den kendsgerning (og det er let at bevise), at enhver gruppe, hvor ethvert element falder sammen med dets omvendte, er abelsk.

Fuldførelse af tabellen i henhold til skelettet af neutrale elementer

Hvis skelettet af neutrale elementer er angivet, kan du begynde at udfylde Cayley-tabellen. Lad os for eksempel vælge det andet skelet i gruppen af ​​orden 6 blandt dem, der er beskrevet ovenfor:

Række e og kolonne e kan naturligvis udfyldes med det samme. Når dette er gjort, kan det være nødvendigt (og det er nødvendigt i vores tilfælde) at lave en antagelse, som efterfølgende kan føre til en modsigelse, som vil betyde, at antagelsen er forkert. Vi vil antage, at ab = c . Derefter:

Multiplicerer vi ab = c fra venstre med a , får vi b = ac . Højre multiplikation med c giver bc = a . Gang ab = c fra højre med b giver a = cb . At gange bc = a fra venstre med b giver c = ba , og multiplicering fra højre med a giver ca = b . Efter at have udfyldt disse produkter i tabellen, konstaterer vi, at ad og af forbliver tomme i række a . Da hvert element skal vises præcis én gang i træk, får vi, at annoncen skal være enten d eller f . Dette element kan dog ikke være lig med d , for ellers ville a være lig med e , mens vi ved, at de to elementer er forskellige. Således ad = f og af = d .

Nu, da det inverse af d er f , giver multiplicering af ad = f fra højre med f a = f 2 . Venstre multiplikation med d giver da = f . Multiplicerer vi til højre med a , får vi d = fa .

Efter at have indtastet alle disse værker, vil Cayley-bordet have formen:

Da hvert element i gruppen skal optræde nøjagtigt én gang i hver række, er det let at se, at de to tomme tabelceller i række b skal være optaget af enten d eller f . Dog er d og f allerede til stede i de tilsvarende kolonner . Altså, uanset hvad vi sætter i disse felter, vil vi få gentagelser i kolonnerne, hvilket viser, at vores indledende gæt ab = c var forkert. Imidlertid ved vi nu, at ab ≠ c .

Der er to muligheder tilbage - enten ab = d eller ab = f . Da d og f er indbyrdes inverse, og valget af bogstaver er vilkårligt, bør vi forvente, at resultatet er det samme op til isomorfi. Uden tab af generalitet kan vi antage, at ab = d . Hvis vi nu får en modsigelse, må vi indrømme, at der ikke findes en tilsvarende gruppe for dette skelet.

Vi får et nyt Cayley bord:

Hvis vi gange ab = d til venstre med a , får vi b = ad . Højre multiplikation med f giver bf = a , og venstre multiplikation med b giver f = ba . Multiplicerer vi til højre med a , får vi fa = b , og multiplicerer vi til venstre med d , får vi a = db . Indtastning af resultaterne i Cayley-tabellen får vi (nye elementer er fremhævet med rødt):

Strengen a mangler c og f , men da af ikke kan være lig med f (ellers ville a være lig med e ), kan vi konkludere, at af = c . At gange til venstre med a giver f = ac , og dette kan vi gange til højre med c , hvilket giver fc = a . At gange sidstnævnte med d til venstre giver c = da , som vi kan gange til højre med a for at få ca = d . På samme måde får vi a = cd ved at gange af = c fra højre med d . Opdater tabellen (de seneste ændringer er fremhævet med blåt):

Da strengen b ikke indeholder c og d , og bc ikke kan være lig med c , udleder vi, at bc = d , så produktet af bd må være lig med c . At gange til højre med f giver os b = cf , som kan konverteres til cb = f ved at gange med c til venstre. Ved at argumentere på samme måde kan vi udlede, at c = fb og dc = b . Vi foretager ændringer i tabellen (de indførte elementer er fremhævet med grønt):

Der mangler kun f i række d , så d 2 = f . På samme måde får vi, at f 2 = d . Vi har udfyldt hele tabellen og er ikke kommet til en modsigelse. Således har vi fundet en gruppe af orden 6 svarende til skelettet. Et kig på tabellen viser, at den ikke er abelsk. Faktisk er dette den mindste ikke-abelske gruppe, den dihedrale gruppe D 3 :

Permutationsmatrixgenerering

I standardformen for Cayley-tabellen er rækkefølgen af ​​rækker og kolonner den samme. En anden måde at bestille er at arrangere kolonner på en sådan måde, at den n -te kolonne svarer til de omvendte elementer i den n - te række. I vores eksempel for D 3 behøver vi kun at bytte om på de sidste to kolonner, da kun f og d ikke er omvendt til sig selv, men er omvendt til hinanden.

I vores eksempel kan der oprettes seks permutationsmatricer (alle elementer er 1 eller 0, en 1 i hver række og hver kolonne). 6x6-matricen indeholder et, hvis kolonneetiketten matcher rækkeetiketten, og nuller i alle andre felter, Kronecker-symbolet for etiketten. (Bemærk, at for rækken e får vi identitetsmatricen.) For eksempel får vi permutationsmatricen for a .

Dette viser, at enhver gruppe af orden n er en undergruppe af permutationsgruppen Sn af orden n !.

Generaliseringer

De ovenfor beskrevne egenskaber afhænger af nogle aksiomer for grupper. Det er naturligt at udvide Cayley-tableauerne til nogle andre algebraiske strukturer såsom semigrupper , kvasigrupper og magmaer , men nogle af ovenstående egenskaber holder ikke for dem.

Se også

• Multiplikationstabel
• latinsk firkant

Links

• Cayley, Arthur . "Om teorien om grupper, som afhængig af den symbolske ligning θ n = 1", Philosophical Magazine , Vol. 7 (1854), s. 40-47. Tilgængelig online hos Google Books som en del af hans samlede værker. 
• Cayley, Arthur . "On the Theory of Groups", American Journal of Mathematics , Vol. 11, nr. 2 (januar 1889), s. 139-157. Tilgængelig hos JSTOR.