Endeligt genereret abelsk gruppe

En endeligt genereret abelsk gruppe er en abelsk gruppe givet af et endeligt system af generatorer , det vil sige en sådan kommutativ gruppe , for hvilken der er en endelig mængde , således at der er en repræsentation: $(G,+)$ $x_{1},\dots ,x_{s}\in G$ $\forall x\in G$

{\displaystyle x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\dots +n_{s}x_{s))

hvor er heltal. ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s))$

Endeligt genererede Abelske grupper har en relativt enkel struktur og kan klassificeres fuldstændigt; evnen til at reducere hensynet til visse objekter til dem anses for værdifuld. Eksempler er heltal og tal modulo , enhver direkte sum af et endeligt antal endeligt genererede abelske grupper er også en endeligt genereret abelsk gruppe. Ifølge klassifikationssætningen er der ingen andre (op til isomorfi) endeligt genererede Abelia-grupper. For eksempel er gruppen af rationelle tal ikke endeligt genereret: hvis der var et genererende system , så ville det være nok at tage et naturligt tal coprime med alle nævnere af tal fra systemet for at få , ikke genereret af systemet . $(\mathbb {Z} ,+)$ $(\mathbb {Z} _{n},+)$ $(\mathbb {Q} ,+)$ $x_{1},\dots ,x_{s}\in \mathbb {Q}$ $w$ $1/w$ $\{x_{1},\dots ,x_{s}\}$

Klassifikation

Klassifikationssætningen for endeligt genererede Abelske grupper (som er et specialtilfælde af klassificeringen af endeligt genererede moduler over hovedidealernes domæne ) siger, at enhver endeligt genereret Abelsk gruppeer isomorf til den direkte sum af simple cykliske grupper og uendelige cykliske grupper , hvor en simpel cyklisk gruppe er en sådan cyklisk gruppe, hvis rækkefølge er et potensprimtal. Hvad betyder det, at hver sådan gruppe er isomorf for en gruppe af formen: $G$

\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{m_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{m_{t}}

hvor , og tal er (ikke nødvendigvis forskellige) potenser af primtal. Værdierne er entydigt bestemt (op til bestilling) af gruppen ; især er det endeligt, hvis og kun hvis . $n \geqslant 0$ ${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{t))$ ${\displaystyle n,m_{1},\dots,m_{t))$ $G$ $G$ $n=0$

Baseret på det faktum, at det er isomorf for et produkt, og hvis og kun hvis og er coprime og , kan vi også repræsentere enhver endeligt genereret gruppe i form af en direkte sum $G_{m}$ ${\displaystyle G_{j))$ ${\displaystyle G_{k))$ $j$ $k$ $m=jk$ $G$

\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}

hvor deler , som deler og så videre indtil . Og igen, tallene og er unikt givet af gruppen . $k_{1}$ $k_{2}$ $k_{3}$ $k_{u}$ $n$ ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{u))$ $G$

Litteratur

Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Kapitel II. Grupper // Generel Algebra / Under det generelle. udg. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 s. — (Matematisk referencebibliotek). — 30.000 eksemplarer. — ISBN 5-02-014426-6 .