Ordforrådsmetrik på gruppen

En ordbogsmetrik er en måde at indstille afstande på en endeligt genereret gruppe .

Konstruktion

Hvis et endeligt system af generatorer i en endeligt genereret gruppe vælges og fastgøres , så er afstanden mellem elementerne og det mindste antal generatorer og deres inverse, ind i produktet, hvoraf kvotienten dekomponeres . $F$ $\Gamma$ $g$ $h$ $g^{-1}h$

Egenskaber

Ordforrådsmetrikken er venstre-invariant; det vil sige, at det bevares ved multiplikation til venstre med et fast element i gruppen.
- For ikke-abelske grupper er det generelt set ikke højre-invariant.
Ordforrådsmetrikken er den samme som afstanden i Cayley-grafen for det samme system af generatorer.
Ordforrådsmetrikken bevares ikke, når systemet af generatorer ændres, men det ændrer sig kvasi-isometrisk (i dette tilfælde er det det samme som på bi- Lipschitz - måden). Det vil sige for nogle konstanter : $C_{1},C_{2}$ $\forall g,h\in G\quad {\frac {1}{C_{1}}}d_{2}(g,h)\leq d_{1}(g,h)\leq C_{ 2}d_{2}(g,h).$ .

Dette giver os især mulighed for at anvende geometriske begreber på gruppen ved hjælp af ordforrådsmetrikken, som er bevaret under kvasi-isometri. For eksempel at tale om graden af gruppevækst (polynomium, eksponentiel, mellemliggende) og dens hyperbolicitet .

Variationer og generaliseringer

På lignende måde kan en ordforrådsmetrik bygges på en vilkårlig gruppe (ikke nødvendigvis endeligt genereret), i hvilket tilfælde det bliver nødvendigt at tage et uendeligt system af generatorer, og mange af de beskrevne egenskaber holder op med at holde.

Ordforrådsmetrik på gruppen

Konstruktion

Egenskaber

Variationer og generaliseringer

Links