Gruppehomomorfi

I matematik , givet to grupper ( G , ∗) og ( H , •), er en gruppehomomorfi fra ( G , ∗) til ( H , •) en funktion h : G → H sådan, at for alle u og v fra G _

h(u*v)=h(u)\cdot h(v),

hvor gruppeoperationen til venstre for tegnet "=" refererer til gruppen G , og operationen til højre refererer til gruppen H .

Ud fra dette kan vi udlede, at h kortlægger det neutrale element e G i gruppen G til det neutrale element e H i gruppen H , og også afbilder invers til invers i den forstand, at

h(u^{-1})=h(u)^{-1}.

Således kan h siges at "bevare gruppestrukturen".

I tidligere arbejde kunne h ( x ) betegnes som x h , selvom dette kan føre til forveksling med indekser. På det seneste har der været en tendens til at udelade parenteser, når man skriver en homomorfi, så h ( x ) bliver blot til xh . Denne tendens er især mærkbar i områder af gruppeteori, hvor automatisering anvendes , da dette er i bedre overensstemmelse med venstre-til-højre-læsning af ord, der er konventionelle i automater.

På områder af matematikken, hvor grupper er udstyret med yderligere strukturer, forstås en homomorfi nogle gange som en kortlægning, der bevarer ikke kun gruppens struktur (som ovenfor), men også den yderligere struktur. For eksempel antages en homomorfi af topologiske grupper ofte at være kontinuerlig.

Koncept

Målet med at definere en gruppehomomorfi er at skabe funktioner, der bevarer den algebraiske struktur. En ækvivalent definition af en gruppehomomorfi: En funktion h : G → H er en gruppehomomorfi, hvis a ∗ b = c betyder h ( a ) ⋅ h ( b ) = h ( c ). Med andre ord ligner gruppen H i en vis forstand den algebraiske struktur af G , og homomorfien h bevarer den.

Billede og kerne

Vi definerer kernen h som sættet af elementer fra G , der afbildes til et neutralt element i H

\mathop {\mathrm {Ker} } (h):=\{u\in G:h(u)=e_{H}\}{\mbox{.))

og billede h as

\mathop {\mathrm {Im} } (h):=h(G):=\left\{h(u)\colon u\in G\right\}{\mbox{.))

Kernen h er en normal undergruppe af G , og billedet af h er en undergruppe af H :

h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)=h(g)^ {-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H}.

En homomorfi h er injektiv (og kaldes en gruppemonomorfi ) hvis og kun hvis ker( h ) = { e G }.

Kernen og billedet af en homomorfi kan forstås som en måling af, hvor tæt en homomorfi er på en isomorfi. Den første isomorfismesætning siger, at billedet af en homomorfi af gruppen h ( G ) er isomorf til kvotientgruppen G /ker h .

Eksempler

Tag den cykliske gruppe Z /3 Z = {0, 1, 2} og gruppen af heltal Z ved addition. Kortlægningen h : Z → Z /3 Z med h ( u ) = u mod 3 er en homomorfi. Det er surjektivt , og dets kerne består af heltal, der er deleligt med 3.

Lad os tage en gruppe

G:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\bigg |}a>0,b\in \mathbf {R} \right\}

For ethvert komplekst tal u er funktionen f u : G → C defineret som:

{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\mapsto a^{u}

er en homomorfi.

Lad os tage en gruppe af positive reelle tal med multiplikationsoperationen ( R + , ⋅) . For ethvert komplekst tal u er funktionen f u : R + → C defineret som

f_{u}(a)=a^{u}

er en homomorfi.

Den eksponentielle afbildning er en homomorfi fra gruppen af reelle tal R ved addition til gruppen af ikke-nul reelle tal R * ved multiplikation. Kernen er sættet {0}, og billedet består af reelle positive tal.

Den eksponentielle afbildning danner også en homomorfi fra gruppen af komplekse tal C ved at lægge til gruppen af ikke-nul komplekse tal C * ved multiplikation. Denne afbildning er surjektiv, dens kerne er mængden {2π ki : k ∈ Z }, som det kan ses af Eulers formel . Felter som R og C , der har en homomorfi fra en gruppe ved addition til en gruppe ved multiplikation, kaldes eksponentielle felter .

Kategorier af grupper

Hvis h : G → H og k : H → K er gruppehomomorfismer, så er k o h : G → K også en homomorfi. Dette viser, at klassen af alle grupper, sammen med gruppehomomorfismer som morfismer, danner kategorien .

Typer af homomorfe kortlægninger

Hvis homomorfien h er en bijektion , så kan det påvises, at den omvendte kortlægning også er en gruppehomomorfi, og så kaldes h en isomorfi . I dette tilfælde kaldes grupperne G og H isomorfe - de adskiller sig kun i betegnelsen af elementer og operationer og er identiske til praktisk brug.

Hvis h : G → G er en gruppehomomorfi, kalder vi det en endomorfi af G . Hvis det også er bijektivt, og derfor er en isomorfi, kaldes det en automorfi . Sættet af alle automorfismer i gruppen G med sammensætningen af funktioner som en operation selv danner en gruppe, automorfigruppen af G . Denne gruppe betegnes som Aut( G ). Som et eksempel indeholder gruppen automorfi ( Z , +) kun to elementer (identitetstransformation og multiplikation med -1), og den er isomorf til Z / 2 Z.

En epimorfi er en surjektiv homomorfi, det vil sige en homomorfi på . En monomorfi er en injektiv homomorfi, det vil sige en en-til-en homomorfi .

Homomorfismer af abelske grupper

Hvis G og H er abelske (det vil sige kommutative) grupper, så er mængden Hom( G , H ) af alle homomorfier fra G til H i sig selv en abelsk gruppe - summen h + k af to homomorfismer er defineret som

( h + k )( u ) = h ( u ) + k ( u ) for alle u fra G .

Kommutativiteten af H er nødvendig for at bevise, at h + k igen er en gruppehomomorfi.

Homomorfismer er også kompatible med sammensætningen af homomorfier i følgende betydning: hvis f hører til Hom( K , G ), er h , k elementer af Hom( G , H ), og g hører til Hom( H , L ), så

( h + k ) o f = ( h o f ) + ( k o f ) og g o ( h + k ) = ( g o h ) + ( g o k ).

Dette viser, at mængden End( G ) af alle endomorfismer i en abelsk gruppe danner en ring , endomorfiringen af gruppen G . For eksempel er endomorfiringen af en abelsk gruppe, der består af den direkte sum m kopier af Z / n Z , isomorf med ringen af m × m matricer med elementer fra Z / n Z . Ovennævnte kompatibilitet viser også, at kategorien af alle Abelske grupper med homomorfismer danner en præadditiv kategori . Eksistensen af direkte summer og kerner med velkonditioneret adfærd gør denne kategori til et eksempel på en abelsk kategori .

Se også

Fundamental homomorfismesætning