Rumtid

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. september 2022; checks kræver 3 redigeringer .

Rum-tid ( rum-tid kontinuum ) er en fysisk model , der supplerer rummet med en lige stor [1] tidsdimension og dermed skaber en teoretisk-fysisk konstruktion kaldet rum-tids kontinuum. Rumtiden er kontinuerlig , og matematisk set er den en mangfoldighed med en Lorentziansk metrisk .

I ikke-relativistisk klassisk mekanik er brugen af det euklidiske rum , som ikke afhænger af en-dimensionel tid, i stedet for rum-tid passende, da tiden betragtes som universel og uforanderlig, idet den er uafhængig af observatørens bevægelsestilstand . I tilfælde af relativistiske modeller kan tid ikke adskilles fra rummets tre dimensioner, fordi den observerede hastighed, hvormed tiden flyder for et objekt, afhænger af dets hastighed i forhold til observatøren, såvel som af tyngdefeltets styrke, som kan bremse tidens gang.

I kosmologi og relativistisk fysik generelt kombinerer begrebet rumtid rum og tid i ét abstrakt univers . Matematisk er det en mangfoldighed bestående af "begivenheder" beskrevet af et koordinatsystem . Det tager normalt tre rumlige dimensioner (længde, bredde, højde) og en tidsmæssig dimension ( tid ). Målinger er uafhængige komponenter i et koordinatgitter, nødvendige for at lokalisere et punkt i et begrænset "rum". For eksempel på Jorden er breddegrad og længdegrad to uafhængige koordinater, der sammen unikt definerer en position. I rumtid lokaliserer et gitter, der strækker sig ind i 3+1 dimensioner , begivenheder (i stedet for blot et punkt i rummet), hvilket betyder, at tiden tilføjes som en anden dimension til gitteret. Således bestemmer koordinaterne, hvor og hvornår begivenheder indtræffer. Rumtidens forenede natur og dens uafhængighed af valget af koordinater antyder imidlertid, at for at kunne udtrykke en tidskoordinat i et koordinatsystem, er der behov for både tids- og rumkoordinater i et andet koordinatsystem. I modsætning til almindelige rumlige koordinater opstår begrebet en lyskegle i rumtid , hvilket pålægger begrænsninger for tilladte koordinater, hvis en af dem skal være tidsmæssig overalt. Disse begrænsninger er strengt relateret til en speciel matematisk model, som adskiller sig fra det euklidiske rum med dets åbenlyse symmetri .

I overensstemmelse med relativitetsteorien har universet tre rumlige dimensioner og en tidsdimension, og alle fire dimensioner er organisk forbundet til en enkelt helhed, der er næsten lige i rettigheder og inden for visse grænser (se bemærkninger nedenfor), der er i stand til at passere ind i hver andet, når observatøren ændrer referencerammen.

Inden for rammerne af den generelle relativitetsteori har rum-tid også en enkelt dynamisk natur, og dens interaktion med alle andre fysiske objekter (kroppe, felter) er tyngdekraften . Tyngdekraftsteorien inden for rammerne af den almene relativitetsteori og andre metriske gravitationsteorier er således teorien om rumtid, som antages ikke at være flad, men i stand til dynamisk at ændre sin krumning .

Indtil begyndelsen af det tyvende århundrede antog man, at tiden var uafhængig af bevægelsestilstanden, og den flyder med konstant hastighed i alle referencerammer ; senere eksperimenter viste imidlertid, at tiden sænkes ved høje hastigheder af en referenceramme i forhold til en anden. Denne afmatning, kaldet relativistisk tidsudvidelse , er forklaret i speciel relativitetsteori . Tidsudvidelse er blevet bekræftet af mange eksperimenter, såsom den relativistiske opbremsning af myon -henfald i en kosmisk strålestrøm og opbremsningen af atomure ombord på rumfærgen , raketter og fly i forhold til ure installeret på Jorden. Tidens varighed kan derfor variere afhængig af begivenhederne og referencerammen.

Begrebet rum-tid er blevet udbredt langt ud over fortolkningen af rum-tid med normale 3+1 dimensioner. Det er virkelig en kombination af rum og tid. Andre foreslåede rum-tid-teorier inkluderer ekstra dimensioner, normalt rumlige, men der er nogle spekulative teorier, der inkluderer ekstra tidsmæssige dimensioner , og endda dem, der inkluderer dimensioner, der hverken er tidsmæssige eller rumlige (såsom superrum ) [2] . Spørgsmålet om, hvor mange dimensioner der skal til for at beskrive universet, er stadig åbent. Spekulative teorier som strengteori forudsiger 10 eller 26 dimensioner (hvor M-teori forudsiger 11 dimensioner: 10 rum og 1 tid), men eksistensen af mere end fire dimensioner ville kun have betydning på det subatomare niveau .

Introduktion

Ikke-relativistisk klassisk mekanik betragter tid som en universel målemængde, som er homogen i alt rum, og som er adskilt fra rummet. Klassisk mekanik antager, at tiden har en konstant strømningshastighed, der er uafhængig af observatørens bevægelsestilstand . eller noget eksternt. [3]

I forbindelse med speciel relativitet kan tid ikke adskilles fra rummets tre dimensioner, da den observerede hastighed af et objekts tidsflow afhænger af objektets hastighed i forhold til observatøren. Generel relativitetsteori giver også en forklaring på, hvordan gravitationsfelter kan sænke tidens gang for et objekt observeret uden for dette felt.

I almindeligt rum er en position defineret af tre tal, kendt som dimensionen . I det kartesiske koordinatsystem kaldes de x, y og z. En position i rum-tid kaldes en begivenhed og kræver, at fire tal angives: en tredimensionel placering i rummet, samt en position i tid (fig. 1). Således er rum-tid firedimensionel . En begivenhed er noget, der sker på et bestemt tidspunkt på et tidspunkt i rum-tid, repræsenteret ved et sæt koordinater: x , y , z og t .

Ordet "begivenhed" brugt i relativitetsteorien må ikke forveksles med brugen af ordet "begivenhed" i almindelig samtale, hvor det kan betyde noget som en koncert, sportsbegivenhed eller kamp. De er ikke matematiske "begivenheder" i den betydning, som ordet bruges i relativitetsteorien, fordi de har en endelig og ikke-nul varighed. I modsætning til begivenheder som fyrværkeri eller lyn, har matematiske begivenheder nul varighed og repræsenterer et enkelt punkt i rumtiden.

En partikels vej gennem rum-tid kan ses som en sekvens af begivenheder. En række begivenheder kan kædes sammen for at danne en linje, der repræsenterer den partikels bevægelse gennem rumtiden. Denne linje kaldes partiklens verdenslinje . [4] : 105

Matematisk er rumtid en mangfoldighed , dvs. lokalt "flad" nær hvert punkt på samme måde, som en globus i tilstrækkeligt små skalaer ser flad ud. [5] En meget stor skalafaktor (almindeligvis kaldet lysets hastighed ) relaterer afstande målt i rummet til afstande målt i tid. Størrelsen af denne skalafaktor (næsten 300.000 km i rummet, hvilket svarer til 1 sekund i tid), og det faktum, at rumtiden er en mangfoldighed, betyder, at få ved almindelige, ikke-relativistiske hastigheder og ved almindelige afstande på menneskeligt niveau mennesker kan bemærke forskelle fra det euklidiske rum. Først med fremkomsten af videnskabelige målinger med høj præcision i midten af det 19. århundrede, såsom Fizeau-eksperimentet og Michelson-eksperimentet , opstod der gådefulde uoverensstemmelser mellem observationer og forudsigelser baseret på den implicitte antagelse om det euklidiske rum. [6] $c$

I den særlige relativitetsteori betyder udtrykket "observatør" i de fleste tilfælde den referenceramme, hvori målinger af objekter eller begivenheder foretages. Denne brug adskiller sig væsentligt fra den sædvanlige betydning af udtrykket. Referencerammer er ikke-lokale konstruktioner, og ifølge denne brug af begrebet giver det ikke mening at sige, at observatøren har nogen position. På fig. 1-1 forestille sig, at den pågældende referenceramme er udstyret med et tæt urgitter, synkroniseret i denne referenceramme, som strækker sig uendeligt over tre dimensioner af rummet. Enhver bestemt placering på nettet er irrelevant. Timegitteret for et ur bruges til at bestemme tidspunktet og positionen for begivenheder, der forekommer i hele referencerammen. Udtrykket observatør refererer til hele sættet af ure, der er forbundet med en inertiereferenceramme. [7] : 17-22 I dette idealiserede tilfælde har hvert punkt i rummet et ur forbundet med sig, og derfor registrerer uret hver hændelse øjeblikkeligt, uden forsinkelse mellem hændelsen og dens optagelse. En rigtig observatør vil dog se en forsinkelse mellem udsendelsen af et signal og dets detektering på grund af lyshastighedens endelighed. Ved synkronisering af uret tages signalets udbredelsestid i betragtning, og uret korrigeres med mængden af dets udbredelsestid.

I mange bøger om speciel relativitet, især ældre, bruges ordet "observatør" i en mere konventionel betydning. Normalt er betydningen af begrebet klart af sammenhængen.

Fysikere skelner mellem begreberne måling og observation (efter at have etableret signaludbredelsesforsinkelsen) fra det, der er visuelt synligt uden sådanne justeringer. Fejl i forståelsen af forskellen mellem hvad der måles/observeres og hvad der ses er kilden til mange fejl blandt begyndere i studiet af relativitet. [otte]

Rum-tid i speciel relativitet

Interval

I tre dimensioner kan afstanden mellem to punkter bestemmes ved hjælp af Pythagoras sætning : $\Delta {d}$

{\left(\Delta {d}\right)}^{2}={\left(\Delta {x}\right)}^{2}+{\left(\Delta {y}\right )}^{2}+{\left(\Delta {z}\right)}^{2}

Selvom to observatører kan måle x-, y- og z-positionerne af to punkter ved hjælp af forskellige koordinatsystemer, vil afstanden mellem punkterne være den samme for begge (forudsat at de måler med de samme enheder). Afstand er således en "invariant".

Men i speciel relativitet er afstanden mellem to punkter ikke længere bevaret, når den måles af to forskellige observatører på grund af Lorentz-sammentrækning , hvis en af observatørerne bevæger sig. Situationen bliver endnu mere kompliceret, hvis de to punkter er adskilt af både afstand og tid. For eksempel, hvis en observatør ser to begivenheder, der finder sted på samme sted, men på forskellige tidspunkter, vil en observatør, der bevæger sig i forhold til den første, se to begivenheder, der forekommer på forskellige steder. For at måle den effektive "afstand" mellem to hændelser bliver du altså nødt til at bruge en anden måde at måle på.

I firedimensional rumtid er analogen til afstand "interval". Selvom tid er inkluderet i den fjerde dimension, behandles den anderledes end de rumlige dimensioner, og derfor adskiller Minkowski-rummet sig væsentligt fra det firedimensionelle euklidiske rum . Hovedårsagen til at fusionere rum og tid til rumtid er, at rum og tid ikke er invariante, dvs. under passende forhold vil forskellige observatører være uenige om tidsrummet (på grund af tidsudvidelsen ) eller afstanden (på grund af Lorentz kontraktionslængde) mellem to begivenheder . Men speciel relativitet giver en ny invariant kaldet rumtidsintervallet , som forener afstande i rum og tid. Alle observatører, der måler tid og afstand, vil modtage det samme rum-tidsinterval mellem to hændelser. Antag, at en observatør måler to begivenheder adskilt i tid af og i rummet med . Derefter rum-tidsintervallet mellem to begivenheder adskilt af afstand i rummet og i -koordinat: $\Delta t$ $\Delta x$ ${\displaystyle {\left(\Delta {s}\right)}^{2))$ $\Delta {x}$ $\Delta {ct}=c\Delta t$ $ct$

{\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2))

, eller for tre rumlige dimensioner, [9]

(\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{ 2}

Konstanten , lysets hastighed, konverterer tidsenheder (i sekunder) til afstandsenheder (i meter). ${\textrm {c))$

Bemærkning om notation: Selvom intervaludtryk udtrykt uden deltaer ofte stødes på for kortheds skyld, inklusive de fleste af de følgende diskussioner, skal det forstås, hvad osv. genereltbetyder $x$ $\Delta {x}$

Ovenstående ligning ligner Pythagoras sætning, bortset fra minustegnet mellem udtrykkene og . Bemærk også, at rum-tidsintervallet er en mængde og ikke . Årsagen er, at i modsætning til afstande i euklidisk geometri kan intervaller i Minkowski rumtid være negative. I stedet for at beskæftige sig med kvadratrødderne af negative tal, behandler fysikere det normalt som et enkelt symbol i sig selv, snarere end kvadratet af størrelsen. $(\Deltact)^{2}$ ${\displaystyle (\Delta x)^{2))$ $s^{2}$ $s$ $s^{2}$

På grund af minustegnet kan rum-tidsintervallet mellem to separate begivenheder være nul. Hvis er positiv, er rumtidsintervallet tidslignende , hvilket betyder, at to begivenheder er adskilt af mere tid end rum. Hvis det er negativt, er rumtidsintervallet rumlignende , hvilket betyder, at de to begivenheder er adskilt af mere rum end tid. Rum-tidsintervaller er lig med nul, når . Med andre ord er intervallet for noget, der bevæger sig med lysets hastighed mellem to begivenheder på verdenslinjen, nul. Et sådant interval kaldes lightlike eller nul . En foton, der rammer vores øje fra en fjern stjerne, har ingen alder, på trods af at den (fra vores synspunkt) har tilbragt årevis på vejen. $s^{2}$ $s^{2}$ $x=\pm {\textrm {c}}\,t$

Et rum-tidsdiagram tegnes normalt med kun et mellemrum og en tidsakse. På fig. Figur 2-1 er et rum-tidsdiagram, der illustrerer verdenslinjerne (det vil sige stier i rum-tid) for to fotoner A og B, der kommer fra den samme begivenhed og bevæger sig i modsatte retninger. Derudover illustrerer C verdenslinien for et objekt ved underlyshastighed. Den lodrette tidskoordinat har en skala , så den har de samme enheder (meter) som den rumlige akse. Fordi fotoner rejser med lysets hastighed, har deres verdenslinjer en hældning på ± 1. Med andre ord tager hver meter, som en foton bevæger sig til venstre eller højre, cirka 3,3 nanosekunders tid. ${\textrm {c))$

Note om notation: Der er to former for notation i relativitetslitteraturen:

s^{2}=({\textrm {c}}t)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}

s^{2}=-({\textrm {c}}t)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}

Disse notationsformer er forbundet med den metriske signatur (+ − − −) og (− + + +). Forskellen ligger i placeringen af tidskoordinaten. Begge former er meget udbredt inden for det videnskabelige område.

Referencesystem

Når man sammenligner målinger foretaget af observatører, der bevæger sig i forhold til hinanden i forskellige inertiereferencerammer , er det nyttigt at arbejde med referencerammer i en standardkonfiguration. Figur 2-2 viser to galliske referencerammer, der bevæger sig i forhold til hinanden (det vil sige almindelige tredimensionelle rumlige referencerammer). Systemet S tilhører den første observatør O, og systemet S' tilhører den anden observatør O'.

Akserne x , y , z i systemet S er orienteret parallelt med de tilsvarende akser i systemet S'.

Rammen S' bevæger sig i retning af x - aksen af rammen S med en konstant hastighed v målt i rammen S.

Referencepunkterne for systemerne S og S' falder sammen, når tiden t = 0 for systemet S og t' = 0 for systemet S'. [4] :107

Ris. 2-3a er en drejet i den anden retning fig. 2-2. Ris. 2-3b illustrerer rum-tidsdiagrammet fra observatør O's synspunkt. Da S og S' er i standardkonfigurationen, falder deres oprindelser sammen ved t = 0 i ramme S og t ′ = 0 i ramme S'. ct - aksen 'går gennem begivenheder i ramme S', der har x ′ = 0. Men punkterne med x ′ = 0 bevæger sig i x -retningen af system S med hastigheden v , så de er ikke justeret med ct -aksen på et hvilket som helst tidspunkt, der ikke er nul. Derfor vippes ct' -aksen i forhold til ct- aksen med en vinkel θ givet af formlen

\tan \ \theta =v/c.

X'- aksen vippes også om x -aksen . For at bestemme vinklen på denne hældning skal du huske, at hældningen af verdenslinien for en lysimpuls altid er ±1. Ris. 2-3c er et rum-tidsdiagram set fra observatøren O's synspunkt. Hændelsen P er emissionen af en lysimpuls ved x ′ = 0, ct ′ = − a . Impulsen reflekteres fra et spejl placeret i en afstand a fra lyskilden (hændelse Q) og vender tilbage til lyskilden ved x ′ = 0, ct ′ = a (hændelse R).

De samme begivenheder P, Q, R er vist i fig. 2‑3b i observatørrammen O. Lysbanerne har hældninger = 1 og −1, så △PQR danner en retvinklet trekant. Da OP = OQ = OR, skal vinklen mellem x' og x også være θ .

Mens en referenceramme i hvile har rum- og tidsakser, der skærer hinanden i rette vinkler, har en bevægelig referenceramme en spids vinkel mellem akserne. Men faktisk er referencesystemerne ækvivalente. Asymmetrien i figuren skyldes de uundgåelige forvrængninger i, hvordan rum-tid-koordinaterne er kortlagt til et rektangulært koordinatsystem , og dette bør ikke betragtes som mere mærkeligt, end hvordan, på Jordens Mercator-projektion , de relative størrelser af overfladearealet nær polerne (Grønland og Antarktis) er meget større i forhold til overfladearealet nær ækvator.

Lyskegle

I figur 2-4 er hændelsen O i begyndelsen af rumtidsdiagrammet, de to diagonale linjer repræsenterer alle hændelser, der har et rumtidsinterval på nul i forhold til hændelsen ved origo. Disse to linjer danner det, der kaldes lyskeglen for begivenheden O, da tilføjelsen af en anden rumlig dimension (fig. 2-5) resulterer i to kegler , der rører hinanden ved toppunkter ved O. Den ene kegle forplanter sig ind i fremtiden ( t>0), og den anden til fortiden (t<0).

Let (dobbelt) kegle med hensyn til dens top opdeler rum-tid i separate områder. Det indre af den fremtidige lyskegle (øverste del, fremtidig lyskegle) består af alle hændelser, der er adskilt fra toppen med mere "tids"-afstand, end det er nødvendigt for at krydse deres "rumafstand" med lysets hastighed; disse begivenheder udgør begivenhedens tidslignende fremtid O. Tilsvarende inkluderer den tidslignende fortid de indre begivenheder fra fortidens lyskegle (nederste del, tidligere lyskegle). De tidslignende intervaller Δct er således større end Δx , hvilket gør de tidslignende intervaller positive. Området uden for lyskeglen består af begivenheder, der er adskilt fra begivenheden O med mere plads, end der kan krydses med lysets hastighed i en given tid . Disse hændelser inkluderer det såkaldte rumlignende område af O-hændelsen, vist i fig. 2-4 som "andetsteds" (andre steder). Begivenheder på selve lyskeglen siges at være lyslignende (eller null-adskillelige ) fra O. På grund af rumtidsintervallets invarians vil alle observatører have den samme lyskegle for enhver given begivenhed, og dermed acceptere en sådan generel opdeling af rumtid. [10] :220

Lyskeglen spiller en vigtig rolle i begrebet kausalitet . Det er muligt, at underlyssignalet bevæger sig fra position og tid O til position og tid D (fig. 2-4). Derfor kan hændelsen O være årsagspåvirkningen af hændelsen D. Den fremtidige lyskegle indeholder alle de hændelser, der kan være årsagspåvirket af O. På samme måde er det muligt, at underlyssignalet går fra position og tidspunkt A til positionen og tid O. Fortidens lyskegle indeholder alle hændelser, der kan have en kausal effekt på O. Også, hvis man antager, at signaler ikke kan rejse hurtigere end lysets hastighed, kan enhver hændelse, såsom B eller C, for eksempel, i et rumlignende område ("et andet sted"), kan ikke påvirke hændelsen O, og de kan ikke påvirkes af påvirkningen af hændelsen O. Under denne antagelse er enhver årsagssammenhæng mellem hændelsen O og eventuelle hændelser i det rumlignende område af lyskeglen udelukket. . [elleve]

Relativitet af simultanitet

Alle observatører er enige om, at enhver begivenhed i fremtidens lyskegle (i forhold til en given begivenhed) for en given begivenhed indtræffer efter en given begivenhed. Ligeledes, for enhver given begivenhed, sker begivenheden i fortidens lyskegle (i forhold til den givne begivenhed) før den givne begivenhed. Før-efter-forholdet observeret for begivenheder med tidslignende adskillelse forbliver det samme uanset observatørens referenceramme, det vil sige uanset observatørens bevægelse. Situationen er helt anderledes for rumlignende adskilte begivenheder. Figur 2-4 er tegnet for referencerammen for en observatør, der bevæger sig med v = 0 . I denne referenceramme forekommer hændelse C efter hændelse O, og hændelse B forekommer før hændelse O. I en anden referenceramme kan rækkefølgen af disse uårsagsrelaterede hændelser være omvendt. Især, hvis to begivenheder er samtidige i en bestemt referenceramme, er de nødvendigvis adskilt af et rumlignende interval og er derfor ikke kausalt relateret til hinanden. Det faktum, at samtidighed ikke er absolut, men afhænger af observatørens referenceramme, kaldes samtidighedens relativitet . [12]

På fig. 2-6 viser brugen af rum-tid diagrammer i analysen af relativiteten af samtidighed. Begivenheder i rum-tid er invariante, men koordinatsystemerne transformeres, som diskuteret ovenfor for fig. 2-3. Tre begivenheder (A, B, C) er samtidige fra referencerammen for en observatør, der bevæger sig med hastighed v = 0. Fra referencerammen for en observatør, der bevæger sig med hastighed v = 0,3 c , forekommer begivenheder i rækkefølgen C, B , A. Ud fra billedtællingen for en observatør, der bevæger sig med hastighed v = -0,5 s , opstår begivenheder i rækkefølgen A, B, C . Den hvide linje repræsenterer samtidighedsplanet , som bevæger sig fra observatørens fortid til observatørens fremtid, hvilket fremhæver de begivenheder, der er på den. Det grå område er observatørens lyskegle, som forbliver uændret.

Det rumlignende interval af rum-tid giver den samme afstand, som observatøren kunne måle, hvis de målte hændelser var samtidige med ham. Således giver et rumlignende interval af rumtid et mål for sin egen afstand , dvs. sand afstand = På samme måde giver et tidslignende interval af rumtid det samme mål for tid, som ville være repræsenteret ved den kumulative tikkende af ure, der bevæger sig langs en given verdenslinje . Således giver et tidslignende rum-tidsinterval et mål for korrekt tid = . [10] :220-221 ${\textstyle {\sqrt {-s^{2}}}.}$ ${\textstyle {\sqrt {s^{2))))$

Invariant hyperbel

I det euklidiske rum (der kun har rumlige dimensioner) danner et sæt punkter, der er lige langt (ved hjælp af den euklidiske metrik) fra et eller andet punkt en cirkel (i to dimensioner) eller en kugle (i tre dimensioner). I (1+1)-dimensional Minkowski-rumtid (med én tids- og én rumdimension) danner punkter med et konstant rumtidsinterval fra oprindelsen (ved hjælp af Minkowski-metrikken) kurver givet af to ligninger:

(ct)^{2}-x^{2}=\pm s^{2}\;

hvor er en positiv reel konstant.

s^{2}\;

Disse ligninger beskriver to familier af hyperbler på rum-tidsdiagrammet x ; ct , som kaldes invariante hyperbler .

På fig. 2-7a forbinder hver lilla hyperbel alle hændelser, der har en eller anden fast rumlignende adskillelse fra oprindelsen, mens de grønne hyperbler forbinder hændelser med samme tidslignende adskillelse.

På fig. 2-7b viser situationen i den (1+2)-dimensionelle Minkowski rum-tid (en tids- og to rumdimensioner) med de tilsvarende hyperboloider. Hvert tidslignende interval danner en hyperboloid med ét ark , og hvert rumlignende interval danner en hyperboloid med to ark.

Den (1+2)-dimensionelle grænse mellem rum- og tidslignende hyperboloider er dannet af hændelser, der har et rum-tidsinterval på nul før koordinaternes oprindelse, som dannes, når hyperboloider degenererer til en lyskegle. I det (1+1)-dimensionelle Minkowski-rum degenererer hyperbelerne til to grå linjer med 45° vinkler vist i fig. 2-7a.

Note om notation: Lilla hyperbler, der skærer x -aksen , kaldes tidslignende (i modsætning til rumlignende ) hyperbler, fordi alle "afstande" til oprindelsen langs hyperbelerne er tidslignende intervaller. På grund af dette er disse hyperbler stier, som (konstant accelererende) partikler i rumtid kan have: en kausalitetsrelation er mulig mellem to vilkårlige hændelser på den samme hyperbel, da backslope - der repræsenterer den nødvendige hastighed - for alle sekanter er mindre end . På den anden side kaldes grønne hyperbler, der skærer ct- aksen , rumlignende , da alle intervaller langs disse hyperbler er rumlignende intervaller: der er ingen kausalitet mellem to punkter på en af disse hyperbler, fordi alle sekanter repræsenterer hastigheder, der overstiger $c$ $c$

Tidsudvidelse og længdekontraktion

På fig. 2-8 viser en invariant hyperbel for alle hændelser, der kan nås fra origo i en korrekt tid på 5 meter (ca. 1,67⋅10 −8 sek ). Forskellige verdenslinjer repræsenterer ure, der bevæger sig med forskellige hastigheder. Ure, der er stationære i forhold til observatøren, har en lodret verdenslinje, og tiden målt af observatøren er den samme som korrekt tid. For et ur, der bevæger sig ved 0,3 c , er tiden målt af observatøren 5,24 meter ( 1,75⋅10 −8 sek ), og for et ur, der bevæger sig ved 0,7 c , er tiden målt af observatøren 7. 00 meter ( 2,34⋅10 -8 sek .). Dette illustrerer fænomenet kendt som tidsudvidelse . Ure, der bevæger sig hurtigere, tager længere tid (i observatørens referenceramme) om at læse den samme mængde korrekt tid og bevæger sig længere langs x-aksen, end de kunne uden tidsudvidelse. [10] :220–221 Tidsdecelerationer fra to observatører i forskellige inertiereferencerammer er gensidige. Hvis observatøren O observerer observatørens O's ur som værende langsommere i sin referenceramme, vil observatøren O' til gengæld også observere observatørens O's ur som værende langsomt.

længdekontraktion , ligesom tidsudvidelse, er en manifestation af relativiteten af samtidighed. Målingen af længden kræver måling af rum-tidsintervallet mellem to hændelser, der samtidig er i samme referenceramme. Men begivenheder, der er samtidige i én referenceramme, er generelt ikke samtidige i andre referencerammer.

Figur 2-9 viser bevægelserne af en meterstang, der bevæger sig med en hastighed på 0,5 c langs x - aksen . Kanterne på den blå bjælke repræsenterer verdenslinjerne for bjælkens to yderpunkter. Den invariante hyperbel illustrerer hændelser adskilt fra oprindelsen med et rumlignende interval på 1 m. Endepunkterne O og B, målt ved t' = 0, er samtidige hændelser i referencerammen S'. Men for en observatør i ramme S er begivenhederne O og B ikke samtidige. For at måle længden måler en observatør i referenceramme S endepunkterne på stangen projiceret på x -aksen langs deres verdenslinjer. Projektionen af stangens "verdensark" på x -aksen giver en forkortet længde OC. [4] :125

(ikke vist). Tegning af en lodret linje gennem A, så den skærer x'- aksen , viser, at selv når OB er forkortet fra observatør O's synspunkt, forkortes OA også fra observatør O's synspunkt. Ligesom hver observatør observerer den andens ur som værende langsommere, observerer hver observatør den andens linealer som forkortede.

Gensidig tidsudvidelse og tvillingeparadokset

Gensidig tidsudvidelse

Gensidig tidsudvidelse og længdekontraktion har en tendens til at forvirre begyndere med deres modstridende koncept, som det var. Misforståelsen er, at hvis observatør A observerer observatør B's ur som langsomt, simpelthen fordi B bevæger sig med en hastighed v i forhold til A, så kræver relativitetsprincippet, at observatør B også observerer A's ur som langsomt. Dette er et vigtigt spørgsmål, der "underligger forståelsen af speciel relativitet." [10] :198

Generelt udfører A og B to forskellige målinger.

For at måle den tikkende hastighed på et af B's ure, skal A bruge to af sine egne ure, det første til at registrere tidspunktet, hvor B's ur først er markeret på B's første placering , og det andet til at registrere tiden på B's anden placering . Observatør A har brug for to ure, fordi B bevæger sig, så kun tre ure er involveret i målingerne. A's to ure skal synkroniseres i A's referenceramme. I modsætning hertil kræver B to synkroniserede ure i sin referenceramme for at registrere A's uraflæsninger to forskellige steder. Derfor udfører A og B deres målinger med forskellige sæt af tre aflæsninger hver. Da de ikke måler med ét sæt ure, er der ikke behov for, at målingerne er gensidigt "konsistente" med en observatør, der ser den andens ur langsomt, og en anden observatør observerer den førstes accelererede ur. [10] :198-199

Med hensyn til sammentrækningen af den indbyrdes længde, fig. 2-9 illustrerer, at korrekte og ukorrekte referencerammer er gensidigt roteret af en hyperbolsk vinkel(ligner almindelige vinkler i euklidisk geometri). [note 1] På grund af denne rotation forkortes projektionen af det eget metermærke på den ikke-egen x-akse, og projektionen af det ikke-native metermærke på den egen x'-akse er også forkortet.

Figur 2-10 forstærker tidligere diskussioner om gensidig tidsudvidelse. I denne figur er begivenheder A og C adskilt fra begivenhed O med lige tidslignende intervaller. Fra den ukorrekte referenceramme måles hændelser A og B som samtidige, men der er gået længere tid for den ukorrekte observatør end for den egen observatør. I den iboende referenceramme måles hændelser C og D som samtidige, men der er gået længere tid for den iboende observatør end for den ikke-intrinsiske. Hver observatør måler den anden observatørs ur som langsomt. [4] :124

Læg mærke til vigtigheden af ordet "måle". Observatørens bevægelsestilstand kan ikke påvirke det observerede objekt, men det kan påvirke genstandens mål .

I figur 2-10 repræsenterer hver linje, der løber parallelt med x -aksen , en linje af samtidighed for en ukorrekt observatør. Alle hændelser på denne linje har samme tidsværdi ct . Ligeledes repræsenterer hver linje trukket parallelt med x'- aksen en samtidighedslinje for sin egen observatør. Alle hændelser på denne linje har samme tidsværdi ct' .

Tvillingparadokset

Elementære introduktioner til speciel relativitet illustrerer ofte forskellene mellem galilæisk relativitet og speciel relativitet, hvilket skaber en række formodede "paradokser". Alle paradokser er egentlig bare misforståede eller misforståede problemer forårsaget af vores uvanthed med hastigheder, der kan sammenlignes med lysets hastighed. Vejen ud er at løse mange problemer i den særlige relativitetsteori og sætte sig ind i dens såkaldte kontraintuitive forudsigelser. Den geometriske tilgang til studiet af rum-tid betragtes som en af de bedste metoder til at udvikle moderne intuition. [13]

Tvillingeparadokset er et tankeeksperiment, der involverer enæggede tvillinger, hvoraf den ene rejser ud i rummet på en højhastighedsraket og vender hjem for at opdage, at tvillingen, der blev på Jorden, er blevet mere gammel end ham selv. Dette resultat virker mærkeligt, fordi hver tvilling observerer den anden tvilling i bevægelse, og så ved første øjekast ser det ud til, at hver tvilling burde opdage den anden i en yngre alder. Tvillingparadokset unddrager sig den gensidige udvidelse af tidsbegrundelsen præsenteret ovenfor ved at undgå det tredje urkrav. [10] :207 Men "tvillingparadokset" er ikke et sandt paradoks, fordi det er let at forstå i sammenhæng med speciel relativitet.

Det ser ud til, at paradokset eksisterer på grund af en misforståelse af, hvad den særlige relativitetsteori siger. Den specielle relativitetsteori erklærer ikke alle referencerammer for at være ækvivalente, men kun inerti. Referencerammen for den bevægende tvilling er ikke inerti i de øjeblikke, hvor den accelererer. Forskellen mellem tvillinger i den observerbare verden er, at den rejsende tvilling tænder for raketmotorerne for at vende hjem, mens den hjemmegående tvilling ikke gør noget. [fjorten]

Flere analyser er nødvendige, før vi kan forstå, hvorfor disse forskelle skulle føre til en forskel i tvillingealdre. Overvej rum-tidsdiagrammet i fig. 2-11. Det er et simpelt tilfælde, hvor tvillingen bevæger sig lige på x-aksen og straks vender tilbage. Fra den hjemmegående tvillings synspunkt er der ikke noget kompliceret ved tvillingeparadokset. Den korrekte tid målt langs verdenslinien for den rejsende tvilling fra O til C, plus den korrekte tid målt fra C til B, er mindre end den korrekte tid for tvillingens ophold målt fra O gennem A til B. Mere komplekse baner kræver integration af den korrekte tid mellem de respektive hændelser langs kurven (dvs. Curvilinear Integral ) for at beregne den samlede tid, som den rejsedobbelte tager. [fjorten]

Komplikationer opstår, hvis det dobbelte paradoks analyseres ud fra en bevægende doubles synspunkt.

I resten af denne diskussion vedtager vi Weiss' nomenklatur for den hjemmeværende tvilling, som Terence, og den rejsende tvilling, som Stella. [fjorten]

Tidligere bemærkede vi, at Stella ikke er i en inerti-referenceramme. I betragtning af denne kendsgerning hævdes det nogle gange, at den fulde opløsning af det dobbelte paradoks kræver generel relativitetsteori. Det er ikke sandt. [fjorten]

En analyse med kun SRT ville være som følger: I Stellas referenceramme er hun selv ubevægelig under hele rejsen. Da hun aktiverer rakettens thrustere for at vende rundt, oplever hun en pseudokraft, der ligner tyngdekraften. [14] Fig. 2-6 og 2-11 illustrerer konceptet med linjer (planer) af samtidighed: linjer parallelle med observatørens x-akse (xy-plan) repræsenterer samlinger af begivenheder, der er samtidige i den observatørs referenceramme. På fig. 2-11 blå linjer forbinder begivenheder på Terences verdenslinje, som fra Stellas synspunkt er samtidige med begivenheder på hendes verdenslinje. (Terence vil til gengæld observere et sæt horisontale linjer af samtidighed.) Gennem både den vigende og nærgående del af Stellas rejse måler hun Terences ur som at køre langsommere end hendes eget. Men under vendingen (det vil sige mellem de tykke blå linjer i figuren) sker der en ændring i vinklen på hendes samtidighedslinjer, hvilket svarer til den hurtige overspringning af begivenheder på Terences verdenslinje, som Stella anser for at være samtidige. med hende. Derfor tror Stella i slutningen af turen, at Terence er ældre, end hun er. [fjorten]

Selvom generel relativitetsteori ikke er påkrævet til analysen af tvillingeparadokset, giver anvendelsen af ækvivalensprincippet om generel relativitetsteori en vis yderligere indsigt i emnet. Tidligere har vi bemærket, at Stella ikke er stationær i den inertiske referenceramme. I sin hvilende referenceramme står Stella ubevægelig under hele turen. Så længe den bevæger sig ensartet, bliver dens referenceramme inerti, og Terences ur vil bremse. Men da hun aktiverer rakettens thrustere til at dreje, accelereres hendes referenceramme, og hun oplever en kraft, der presser hende, som om hun var i et tyngdefelt. Terence vil være på toppen af det felt, og på grund af gravitationstidsudvidelsen vil hans ur løbe hurtigere, så Terence til sidst vil være ældre end Stella, når de mødes igen. [14] Som det vil blive diskuteret nedenfor, er de teoretiske argumenter, der forudsiger gravitationstidsudvidelse, ikke udelukkende til generel relativitetsteori. Enhver teori om tyngdekraft vil forudsige gravitationstidsudvidelse, hvis den respekterer ækvivalensprincippet, inklusive Newtons teori. [10] :16

Tyngdekraften

Dette indledende afsnit har fokuseret på rumtiden af speciel relativitet, fordi det er enklere. Minkowskis rum-tid er flad, tyngdekraft-trodsende, ensartet hele vejen igennem og tjener som lidt mere end en statisk baggrund for begivenheder, der finder sted i den. Tilstedeværelsen af tyngdekraft komplicerer i høj grad beskrivelsen af rum-tid. I generel relativitetsteori er rumtid ikke længere en statisk baggrund, men interagerer aktivt med de fysiske systemer, den indeholder. Rumtidens krumning i nærvær af stof kan udbrede bølger, bøje lysets vej og manifestere sig i mange andre fænomener [10] :221 Nogle af disse fænomener er beskrevet i senere afsnit af denne artikel.

Grundlæggende om matematikken i rum-tid

Galilæiske transformationer

Hovedmålet er at kunne sammenligne målinger taget af observatører, der er i bevægelse i forhold til hinanden. Lad os sige, at vi har en observatør O i ramme S, som har målt de tidsmæssige og rumlige koordinater for en hændelse ved at tildele den hændelse tre kartesiske koordinater og tiden målt på dens synkroniserede urgitter ( x , y , z , t ) (se figuren ) 1- en). En anden observatør O' i en anden referenceramme S' måler den samme hændelse i sit koordinatsystem og sit synkroniserede urgitter ( x' , y' , z' , t' ) . Da vi har at gøre med inertielle referencerammer, er ikke én observatør under indflydelse af acceleration. Et simpelt ligningssæt relaterer koordinaterne ( x , y , z , t ) til ( x' , y' , z' , t' ) . Givet at de to koordinatsystemer er i standardkonfigurationen, hvilket betyder at de er justeret parallelt med koordinaterne ( x , y , z ) og at t = 0 når t' = 0 , er koordinattransformationen som følger: [15] [16]

x'=x-vt

y'=y

z'=z

t'=t.

Figur 3-1 viser, at i Newtons teori er tiden universel. [17] :36-37 Overvej følgende tankeeksperiment: den røde pil repræsenterer et tog, der bevæger sig 0,4 s i forhold til perronen. I toget affyrer en passager en kugle med en hastighed på 0,4c i togets referenceramme. Den blå pil illustrerer, at en person, der står på jernbaneskinnerne, måler en kugles hastighed til 0,8 s. Det er i overensstemmelse med vores naive forventninger.

Antag mere generelt, at ramme S' bevæger sig med hastighed v i forhold til ramme S. Inden for ramme S' måler observatør O' et objekt, der bevæger sig med hastighed u' . Hvad er dens hastighed u i forhold til rammen S? Da x = ut , x' = x - vt og t = t' , kan vi skrive x' = ut - vt = ( u - v ) t = ( u - v ) t' . Dette fører til u' = x' / t' og til sidst

u'=uv

eller

u=u'+v,

som er den sædvanlige galilæiske lov for addition af hastigheder .

Relativistisk lov om addition af hastigheder

Tilføjelsen af hastigheder i relativistisk rumtid er meget forskellig fra den klassiske. For lidt at reducere kompleksiteten af ligningerne introducerer vi en forkortelse for forholdet mellem et objekts hastighed i forhold til lysets hastighed,

\beta =v/c

Figur 3-2a viser et rødt tog, der kører fremad med en hastighed givet ved v / c = β = s / a . I togets referenceramme affyrer en passager en kugle med en hastighed på u' / c = β' = n / m , hvor afstanden måles langs en linje parallelt med den røde x'- akse , ikke den sorte x -akse . Hvad er kuglens sammensatte hastighed u , repræsenteret af den blå pil, i forhold til platformen? Idet der henvises til fig. 3-2b:

Fra platformen er den sammensatte kuglehastighed defineret som u = c ( s + r )/( a + b ) .
De to gule trekanter ligner hinanden , fordi de er retvinklede trekanter, der har en fælles vinkel α . I den store gule trekant er forholdet s / a = v / c = β .
Forholdet mellem de tilsvarende sider i de to gule trekanter er konstante, så r / a = b / s = n / m = β' . Så b = u' s / c og r = u' a / c .
Erstat udtrykkene for b og r med udtrykket for u i trin 1 for at få Einstein-formlen til at tilføje hastighederne: [17] :42–48

u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.

Den relativistiske formel for at tilføje hastigheder præsenteret ovenfor demonstrerer flere vigtige egenskaber:

Hvis u' og v er meget små sammenlignet med lysets hastighed, så bliver produktet vu' / c 2 forsvindende lille, og det samlede resultat bliver umuligt at skelne fra Galileos formel (Newtons formel) for at tilføje hastigheder: u = u' + v . Galileos formel er et specialtilfælde af den relativistiske formel, der gælder for lave hastigheder.
Hvis u' er sat lig med c , så giver formlen u = c uanset startværdien af v . Lysets hastighed er den samme for alle observatører, uanset deres bevægelse i forhold til strålingskilden. [17] :49

Endnu en gang om tidsudvidelse og længdereduktion

Tidligere har vi kvalitativt diskuteret tidsudvidelse og længdekontraktion. Det er let at få kvantitative udtryk for disse effekter. Figur 3-3 er et sammensat billede, der indeholder individuelle referencerammer taget fra de to foregående animationer, forenklet og ommærket til formålet med dette afsnit.

For lidt at reducere kompleksiteten af ligningerne er der mange forskellige stenografier for ct i litteraturen :

Fælles og .

\mathrm {T} =ct

w=ct

Det er også meget almindeligt at bruge konventionen

c = 1.

I fig. 3-3a er OA- og OK - segmenterne ens tidsintervaller. Tidsudvidelse er repræsenteret ved forholdet OB / OK . Den invariante hyperbel har ligningen hvor k = OK , og den røde linje , der repræsenterer verdenslinien for den partikel i bevægelse , har ligningen w = x / β = xc / v . Lidt algebraiske transformationer giver ${\displaystyle w={\sqrt {x^{2}+k^{2))))$ ${\textstyle OB=OK/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$

Et udtryk, der indeholder kvadratrodssymbolet er meget almindeligt i relativitetsteorien, og enheden divideret med udtrykket kaldes Lorentz-koefficienten, angivet med det græske bogstav gamma : [18] $\gamma$

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2 }}}}}

Bemærk, at hvis v er større end eller lig med c , bliver udtrykket for fysisk meningsløst, hvilket antyder, at c er den maksimalt mulige hastighed i naturen. Bemærk yderligere, at for enhver v større end nul, vil Lorentz-koefficienten være større end én, selvom formen af kurven er sådan, at Lorentz-koefficienten for lave hastigheder er meget tæt på enhed. $\gamma$

I fig. 3-3b repræsenterer segmenterne OA og OK ens rum-tid-intervaller. Afkortningen af længden er repræsenteret ved forholdet OB / OK . Den invariante hyperbel kender ligningen , hvor k = OK , og kanterne på den blå stribe, der repræsenterer verdenslinjerne for stangens endepunkter i bevægelse, har en hældning på 1/ β = c / v . Hændelse A har koordinater ( x , w ) = ( γk , γβk ). Da tangentlinjen gennem A og B har ligningen w = ( x − OB )/ β , får vi γβk = ( γk − OB )/ β og ${\displaystyle w={\sqrt {x^{2}+k^{2))))$

OB/OK=\gamma (1-\beta ^{2})={\frac {1}{\gamma }}

Lorentz transformationer

Galileiske transformationer og deres sekventielle lov om summering af hastigheder fungerer godt i vores sædvanlige lavhastighedsverden af flyvemaskiner, biler og balloner. Fra midten af 1800-tallet begyndte følsomme videnskabelige instrumenter dog at opdage uregelmæssigheder, der ikke svarede til normale hastighedsstigninger.

I den særlige relativitetsteori bruger vi Lorentz-transformationer til at transformere koordinaterne for en begivenhed fra en referenceramme til en anden.

Direkte Lorentz-transformationer:

{\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x- vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}

Inverse Lorentz-transformationer:

{\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2))}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt '\right)\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}

Når v ≪ c og x er lille nok, tenderer v 2 /c 2 og vx / c 2 til nul, og Lorentz-transformationen nærmer sig den galilæiske transformation.

Som nævnt tidligere, når vi skriver osv., betyder vi oftest virkelig osv. Selvom vi skriver Lorentz-transformationsligningerne uden deltaer for kortheds skyld, skal det forstås, at x betyder Δ x osv. Vi er som regel altid interesseret i intervallerne mellem rum og tid mellem begivenheder. $t'=\gamma (t-vx/c^{2}),$ $x'=\gamma (x-vt)$ $\Delta t'=\gamma (\Delta tv\Delta x/c^{2}),$ $\Delta x'=\gamma (\Delta xv\Delta t)$

En note om notation: At navngive et sæt transformationer som direkte Lorentz-transformationer og det andet som inverse transformationer kan være vildledende, da der ikke er nogen signifikant forskel mellem referencerammer. Forskellige forfattere omtaler det ene eller det andet sæt af transformationer som inverse . Fremad- og bagudtransformationerne er trivielt relateret til hinanden, da referencerammen S kun kan bevæge sig frem eller tilbage i forhold til S' . Derfor inverterer ligningerne simpelthen at skifte egenværdier og ukorrekte variable og erstatte v med -v . [19] :71-79

Eksempel: Terence og Stella er i rumkapløbet Jorden-Mars. Terence er official på startlinjen og Stella er konkurrent. I øjeblikket t = t' = 0 accelererer Stellas rumskib øjeblikkeligt med en hastighed på 0,5 s . Afstanden fra Jorden til Mars er 300 lyssekunder (ca. 90,0⋅10 6 km ). Terence ser Stella krydse målstregen ved t = 600.00 s. Men Stella bemærker, at når hun passerer målstregen, er tiden på hendes skibs kronometer t' = (t − vx/c 2 ) = 519,62 s, og hun får afstanden mellem start- og slutlinjen i sin referenceramme på 259,81 lyssekunder (ca. 77,9⋅10 6 km ). $\gamma$

Afledning af Lorentz-transformationerne

Der har været mange snesevis af afledninger af Lorentz-transformationen siden Einsteins originale værk i 1905, hver med fokus på noget andet. Selvom Einsteins konklusion var baseret på lysets hastigheds invarians, er der andre fysiske principper, der kan tjene som udgangspunkt for at udlede transformationer. I sidste ende kan disse alternative udgangspunkter betragtes som forskellige udtryk for det underliggende lokalitetsprincip , som siger, at den indflydelse, en partikel har på en anden, ikke kan overføres øjeblikkeligt. [tyve]

Konklusionen givet her og illustreret i fig. 3-5 er baseret på en af afledningerne præsenteret af Bayes [17] :64-66 og bruger tidligere resultater fra relativistisk addition af hastigheder, tidsudvidelse og længdekontraktion. Hændelsen P har koordinater ( w , x ) i den sorte "hvileramme" og koordinater ( w' og x' ) i den røde referenceramme, som bevæger sig med hastighedsparameteren β = v / c . Hvordan definerer vi w' og x' i form af w og x ? (Eller omvendt)

Til at begynde med er det lettere at opnå den omvendte Lorentz-transformation.

Lad os starte med det faktum, at der ikke kan være sådan noget som en stigning / reduktion i længden i de tværgående retninger. y' skal være lig med y , og z' skal være lig med z , ellers ville evnen af en hurtigt bevægende 1 m bold til at passere gennem et 1 m rundt hul afhænge af observatøren. Det første relativitetspostulat siger, at alle inertielle referencerammer er ækvivalente, og tværgående stigning/reduktion ville overtræde denne lov. [19] :27-28
Fra figuren er w = a + b og x = r + s
Fra tidligere resultater, ved at bruge lignende trekanter, ved vi, at s / a = b / r = v / c = β .
Vi ved, at på grund af tidsudvidelse, a = γ w'
Ved at erstatte ligning (4) i s / a = β får vi s = γw'β .
Længdekontraktion og lignende trekanter giver os r = γx' og b = βr = βγ x'
Indsætter vi udtrykkene for s , a , r og b i ligningerne i trin 2 får vi straks $w=\gamma w'+\beta \gamma x'$ $x=\gamma x'+\beta \gamma w'$

Ovenstående ligninger er alternative udtryk for t- og x-ligningerne for den inverse Lorentz-transformation, som det ses ved at substituere ct med w , ct' for W' og v / c for β . Fra den inverse transformation kan de fremadrettede transformationsligninger fås ved at opløse for t' og x' .

Linearitet af Lorentz-transformationer

Lorentz-transformationer har en matematisk egenskab kaldet linearitet, da x' og t' opnås som lineære kombinationer af x og t uden involvering af højere magter. Lineariteten af transformationen afspejler en grundlæggende egenskab ved rum-tid, som vi stiltiende antog, da vi lavede udledningen, nemlig at egenskaberne af inertielle referencerammer er uafhængige af sted og tid. I fravær af tyngdekraft ser rum-tid ens ud overalt. [17] :67 Alle inertiobservatører vil blive enige om, hvad der udgør accelereret og ikke-accelereret bevægelse. [19] :72-73 Enhver iagttager kan bruge deres egne dimensioner af rum og tid, men der er intet absolut ved dem. [10] :190

Resultatet af linearitet er, at hvis to Lorentz-transformationer anvendes efter hinanden, så vil resultatet også være en Lorentz-transformation.

Eksempel: Terence observerer Stella flyve væk fra ham med en hastighed på 0,500 s, og han kan bruge Lorentz-transformationer med β = 0,500 til at relatere sine målinger til Stellas målinger. Stella ser i sin referenceramme Ursula flyve væk fra hende ved 0,250 s, og hun kan bruge Lorentz-transformationer med β = 0,250 til at relatere Ursulas målinger til hendes egne. På grund af transformationernes linearitet og den relativistiske addition af hastighederne kan Terence bruge Lorentz-transformationerne med β = 0,666 til at relatere Ursulas målinger til hans egne.

Doppler-effekt

Doppler-effekten er en ændring i frekvens eller bølgelængde for en kilde og modtager, der bevæger sig i forhold til hinanden. For nemheds skyld betragter vi her to hovedtilfælde: (1) Kildens og/eller modtagerens bevægelser er nøjagtigt langs den linje, der forbinder dem (langsgående Doppler-effekt), og (2) bevægelserne er vinkelret på den specificerede linje ( tværgående Doppler-effekt). Vi ignorerer de tilfælde, hvor de flytter til mellemhjørner.

Longitudinal Doppler-effekt

Klassisk Doppler-analyse beskæftiger sig med bølger, der forplanter sig gennem et medium, såsom lydbølger eller vandbølger, der transmitteres mellem kilder og modtagere, når de bevæger sig mod eller væk fra hinanden. Analysen af sådanne bølger afhænger af, om kilden, modtageren eller begge bevæger sig i forhold til mediet. I det tilfælde, hvor modtageren er stationær i forhold til mediet, og kilden bevæger sig direkte fra modtageren med en hastighed v s for hastighedsparameteren β s , øges bølgelængden, og den observerede frekvens f er givet ved formlen

f={\frac {1}{1+\beta _{s}}}f_{0}

På den anden side, i det tilfælde, hvor kilden er stationær, og modtageren bevæger sig direkte fra kilden med hastigheden v r for hastighedsparameteren β r , ændres bølgelængden ikke , men bølgetransmissionshastigheden i forhold til modtageren falder, og den observerede frekvens f er givet ved

{\displaystyle f=(1-\beta _{r})f_{0))

Lys, i modsætning til lyd eller vandbølger, forplanter sig ikke gennem et medium, og der er ingen forskel på, om en kilde bevæger sig væk fra en modtager eller en modtager, der bevæger sig væk fra en kilde. Figur 3-6 illustrerer et relativistisk rum-tidsdiagram, der viser en kilde, der bevæger sig væk fra en modtager med en hastighedsparameter β , således at adskillelsen mellem kilde og modtager på tidspunktet w er βw . På grund af tidsudvidelse w = γw' . Da hældningen af den grønne lysstråle er −1, er T = w+βw = γẃ (1 +β ). Derfor er den relativistiske Doppler-effekt givet ved udtrykket [17] :58–59

f={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{0}.

Tværgående Doppler-effekt

Antag, at kilden, der bevæger sig i en lige linje, er på det nærmeste punkt på modtageren. Det ser ud til, at klassisk analyse forudsiger, at modtageren ikke registrerer noget Doppler-skift. På grund af finesser i analysen er denne antagelse ikke nødvendigvis sand. Men når det er korrekt defineret, er det tværgående Doppler-skift en relativistisk effekt, der ikke har nogen klassisk modstykke. Disse finesser er som følger: [19] :94–96

Figur 3-7a. Hvis en kilde, der bevæger sig i en lige linje, krydser modtagerens synsfelt, hvad er så resultatet af frekvensmålingen, når kilden er tættest på modtageren?
Figur 3-7b. Hvis kilden bevæger sig i en lige linje, hvad er så resultatet af frekvensmålingen, når modtageren ser kilden tættest på den?
Figur 3-7c. Hvis modtageren bevæger sig i en cirkel omkring kilden, hvilken frekvens måler modtageren så?
Figur 3-7d. Hvis kilden bevæger sig i en cirkel rundt om modtageren, hvilken frekvens måler modtageren så?

I scenarie (a), når kilden er tættest på modtageren, kommer lyset, der rammer modtageren, faktisk fra den retning, kilden var for nogen tid siden, og har en betydelig langsgående komponent, hvilket gør det vanskeligt at analysere fra modtagerens referenceramme. Det er nemmere at lave analysen fra S', kildens referenceramme. Punktet med nærmeste tilnærmelse er rammeuafhængig og repræsenterer det punkt, hvor der ikke er nogen ændring i afstand med tiden (dvs. dr/dt = 0, hvor r er afstanden mellem modtageren og kilden) og derfor ingen langsgående Doppler flytte. Kilden observerer modtageren som oplyst af lys med frekvens f' og med et langsomt ur. Derfor er modtageren i referencerammen S belyst med blåt forskudt lys

{\displaystyle f=f'/\gamma =f'{\sqrt {1-\beta ^{2))))

Scenarie (b) analyseres bedst ud fra S, modtagerens referenceramme. Figuren viser, at modtageren er oplyst, når kilden var tættest på modtageren, selvom kilden allerede var flyttet. Fordi kildeuret er langsomt, og dr/dt er nul på dette tidspunkt, bliver lyset fra kilden, der udsendes fra dette nærmeste punkt, rødforskudt

{\displaystyle f=f'/\gamma =f'{\sqrt {1-\beta ^{2))))

Scenarier (c) og (d) kan analyseres ved hjælp af simple tidsudvidelsesargumenter. I (c) ser modtageren lyset fra kilden som værende blåforskudt med en faktor , og i (d) som værende rødforskudt. Den eneste tilsyneladende vanskelighed er, at objekter har orbital bevægelse og følgelig har accelerationer. Men fra en inertiobservatørs synspunkt er det kun den øjeblikkelige hastighed af uret, der er vigtig, når man beregner tidsudvidelsen. (Men det modsatte er ikke sandt.) [19] :94–96 De fleste rapporter om tværgående Doppler-skift henviser til rødforskydningseffekten og analyserer effekten i form af scenarier (b) eller (d). [note 2] $\gamma$

Energi og momentum

Udvider momentum til fire dimensioner

I klassisk mekanik er en partikels bevægelsestilstand karakteriseret ved dens masse og dens hastighed. Momentum , som produktet af partiklens masse og hastighed, er en vektorstørrelse , der har samme retning som hastigheden: p = m v . Dette er en konservativ værdi, hvilket betyder, at hvis et lukket system ikke påvirkes af eksterne kræfter, kan dets totale lineære momentum ikke ændre sig.

I relativistisk mekanik udvides momentvektoren til fire dimensioner. En tidskomponent tilføjes til momentumvektoren, som tillader rumtidsmomentumvektoren at transformere ligesom (x, t) positionsvektoren i rumtid. Når vi studerer egenskaberne for momentum i rumtid (se figur 3-8a), starter vi med at se på en partikel i hvile. I hvilereferencerammen er momentumets rumlige komponent lig nul, det vil sige p = 0 , men tidskomponenten er lig mc .

Vi kan få de transformerede komponenter af denne vektor i den bevægelige ramme ved hjælp af Lorentz-transformationer, eller vi kan læse den direkte fra figuren, fordi vi kender (mc)́ = γmc og ṕ = −βγmc , da de røde akser er skaleret med gamma faktor. På fig. 3-8b viser situationen i en bevægelig referenceramme. Det er klart, at de rumlige og tidsmæssige komponenter af fire-momentum går til uendeligt, når hastigheden af den bevægelige referenceramme nærmer sig c . [17] :84-87

Vi vil bruge denne information senere til at udlede et udtryk for fire-momentum .

Lyspuls

Lyspartikler eller fotoner bevæger sig med en konstant hastighed c , som er kendt som lysets hastighed . Derfor udbreder fotoner sig langs en lyslignende verdenslinje og har i passende enheder lige store rumlige og tidsmæssige komponenter for hver observatør.

En konsekvens af Maxwells ligninger er, at lys bærer energi og momentum, og at deres forhold altid er konstant: E/p = c . Eller ved at transformere E/c = p . Da de rumlige og tidsmæssige komponenter er ens for fotoner, betyder det, at E/c skal identificeres med den tidsmæssige komponent af impulsvektoren i rum-tid.

Fotoner bevæger sig med lysets hastighed, men har begrænset momentum og energi. Til dette skal masseleddet i γmc være nul, hvilket betyder, at fotoner er masseløse partikler . Uendeligt med nul er ikke en gyldig værdi, men E/c er veldefineret.

I denne analyse, hvis energien af en foton er lig med E i hvilerammen, er den i det bevægelige koordinatsystem lig med É = (1 − β)γE . Dette resultat kan opnås ved at undersøge fig. 3-9 eller ved at anvende Lorentz-transformationer og er i overensstemmelse med analysen af Doppler-effekten givet tidligere. [17] :88

Forholdet mellem masse og energi

I betragtning af forholdet mellem de forskellige komponenter i den relativistiske momentumvektor førte Einstein til flere velkendte konklusioner.

Inden for lave hastigheder, når β = v/c nærmer sig nul, nærmer sig 1, så den rumlige komponent af det relativistiske momentum βγmc = γmv nærmer sig mv , det vil sige det klassiske momentum. Herefter kan γm tolkes som en relativistisk generalisering af m . Einstein foreslog, at den relativistiske masse af et objekt stiger med hastigheden ifølge formlen m rel = γm . $\gamma$
På samme måde kom Einstein frem til forholdet E = m rel c 2 ved at sammenligne tidskomponenten af det relativistiske momentum med fotonens momentum, γmc = m rel c = E/c . Forenklet for tilfældet med nulhastighed er dette Einsteins berømte ligning, der relaterer energi og masse.

En anden måde at se på forholdet mellem masse og energi er at overveje en række udvidelser af γmc 2 ved lave hastigheder:

E=\gamma mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}

\approx mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}...

Det andet led er blot et udtryk for partiklens kinetiske energi. Masse er i sandhed en anden form for energi [17] :90–92 [19] :129–130,180

Begrebet relativistisk masse, introduceret af Einstein i 1905, m rel , selvom det testes hver dag i partikelacceleratorer rundt om i verden (eller endda i ethvert apparat, hvis brug afhænger af partikler med høje hastigheder, såsom elektronmikroskoper, [21] gamle farvefjernsyn osv.), men det er ikke blevet bevist at være et frugtbart begreb i fysik i den forstand, at det ikke er et begreb, der vil tjene som grundlag for en anden teoretisk udvikling. Relativistisk masse spiller for eksempel ingen rolle i generel relativitetsteori.

Af denne grund, som med pædagogiske spørgsmål, foretrækker de fleste fysikere nu en anden terminologi, når det kommer til forholdet mellem masse og energi. [22] "Relativistisk masse" er et forældet udtryk. Selve udtrykket "masse" refererer til hvilemassen eller den invariante masse og er lig med den invariante længde af den relativistiske momentumvektor. Udtrykt som en formel,

{\displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4))

Denne formel gælder for alle partikler, både masseløse og massive. For masseløse fotoner giver det samme forhold, som vi etablerede tidligere, E = ±pc . [17] :90-92

Se også: Okun' LB "Begrebet masse (masse, energi, relativitet)" UFN 158 511-530 (1989)

Fourthimpulse

På grund af det tætte forhold mellem masse og energi omtales 4-momentum (også kaldet 4-momentum) ofte som 4-momentum-energivektoren. Ved at bruge et stort P til at angive et 4-momentum og et lille p til at angive en rumlig puls, kan 4-impulsen skrives som

P\equiv (E/c,{\vec {p)))=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})

eller,

P\equiv (E,{\vec {p)))=(E,p_{x},p_{y},p_{z})

ved hjælp af konventionen [19] :129–130,180

c=1.

Fredningslove

I fysik siger bevarelseslove, at visse målbare egenskaber ved et isoleret fysisk system ikke ændres, efterhånden som systemet udvikler sig over tid. I 1915 opdagede Emmy Noether , at grundlaget for enhver fredningslov er en grundlæggende symmetri af naturen. [23] Det faktum, at fysiske processer er ligeglade med, hvor de forekommer i rummet ( Translational symmetri ) giver anledning til loven om bevarelse af momentum, det faktum, at sådanne processer er ligeglade med, hvornår de forekommer ( Translationel symmetri af tid) giver loven om bevarelse af energi , og så videre. I dette afsnit vil vi overveje Newtonske synspunkter om bevarelse af masse, momentum og energi fra et relativistisk synspunkt.

Fuld fart

For at forstå, hvordan det newtonske syn på bevarelse af momentum skal ændres i en relativistisk kontekst, vil vi overveje problemet med to kolliderende legemer begrænset til én dimension.

I newtonsk mekanik er der to ekstreme tilfælde af dette problem, der giver matematikken minimal kompleksitet: (1) To kroppe hopper af hinanden i en fuldt elastisk kollision. (2) To legemer klæber sammen og fortsætter med at bevæge sig som én partikel. Dette andet tilfælde er tilfældet med en fuldstændig uelastisk kollision. For begge tilfælde (1) og (2) er momentum, masse og total energi bevaret. Kinetisk energi bevares dog ikke i tilfælde af uelastisk kollision. En vis del af den begyndende kinetiske energi omdannes til varme.

I tilfælde (2) støder to masser med momenta p 1 = m 1 v 1 og p 2 = m 2 v 2 sammen for at skabe en enkelt partikel af den bevarede masse m = m 1 + m 2 , der bevæger sig med hastigheden af midten af massen af det oprindelige system, v cm = (m 1 v 1 + m 2 v 2 )/(m 1 + m 2 ) . I dette tilfælde bevares det samlede momentum p = p 1 + p 2 .

Ris. 3-10 illustrerer en uelastisk kollision af to partikler set fra et relativistisk synspunkt. Tidskomponenterne af E 1 /c og E 2 /c summeres til den fulde resulterende vektor E/c , hvilket betyder, at energi bevares. Tilsvarende lægges de rumlige komponenter p 1 og p 2 sammen for at danne p den resulterende vektor. De fire momentum er som forventet en bevaret mængde. Imidlertid er den invariante masse af den limede partikel, givet ved det punkt, hvor den invariante hyperbel af totalt momentum skærer energiaksen, ikke lig med summen af de invariante masser af de individuelle partikler, der kolliderede. Det er faktisk større end summen af de enkelte masser: m > m 1 + m 2 . [17] :94-97

Ser vi på begivenhederne i dette scenarie i omvendt rækkefølge, ser vi, at ikke-bevarelse af masse er en almindelig begivenhed: Når en ustabil elementarpartikel spontant henfalder til to lettere partikler, bevares den samlede energi, men massen er det ikke. En del af massen omdannes til kinetisk energi. [19] :134-138

Valg af referencerammer

Friheden til at vælge ethvert referencesystem til analyse giver dig mulighed for at vælge det, der vil være praktisk. Til analyse af momentum- og energiproblemer er den mest bekvemme referenceramme sædvanligvis " massecenterrammen " (også kaldet nulmomentum- eller CCM-rammen). Dette er et system, hvor den rumlige komponent af systemets samlede momentum er nul. Fig. 3-11 illustrerer henfaldet af en højhastighedspartikel til to datterpartikler. I et laboratoriesystem udsendes børnepartikler fortrinsvis i en retning, der er orienteret langs moderpartiklens bane. Men i CCM-systemet udsendes to datterpartikler i modsatte retninger, selvom deres masser og deres hastigheder ikke er de samme.

Bevarelse af energi og momentum

I Newtonsk analyse af interagerende partikler er transformationen mellem systemer enkel, fordi alt, hvad der er nødvendigt, er at anvende den galileiske transformation på alle hastigheder. Da v́ = v − u , så er momentum ṕ = p − mu . Hvis det samlede momentum af et interagerende system af partikler er bevaret i et system, så vil konservering også blive observeret i ethvert andet system. [19] :241-245

Momentumbevarelsen i CCM-systemet danner kravet om, at p = 0 både før og efter kollisionen. I Newtonsk analyse kræver bevarelse af masse, at m = m 1 + m 2 . I de forenklede endimensionelle scenarier, som vi har overvejet, er der kun behov for én yderligere begrænsning, før partiklernes udgående momentum kan bestemmes - energitilstanden. I det endimensionelle tilfælde af en fuldt elastisk kollision uden tab af kinetisk energi, vil partikelhastighederne efter kollisionen i CCM-systemet være nøjagtigt lige store og modsatte i retning. Ved en fuldstændig uelastisk kollision med totalt tab af kinetisk energi vil partikelhastighederne efter kollisionen være nul. [19] :241-245

Newtonsk momenta beregnet som p = mv kan ikke opføre sig korrekt under Lorentz-transformationen. Den lineære hastighedstransformation v́ = v − u erstattes af en meget ikke-lineær en v́ = (v − u)/(1 − vu/c 2 ) , således at en beregning, der viser bevarelse af momentum i én referenceramme, bliver ugyldig i andre referencerammer. Einstein stod over for valget mellem enten at opgive bevarelsen af momentum eller ændre definitionen af momentum. Som vi så i det foregående afsnit, valgte han den anden mulighed og introducerede fire-impulsen . [17] :104

Den relativistiske lov om bevarelse af energi og momentum erstatter de tre klassiske love om bevarelse af energi, momentum og masse. Massen er ikke længere bevaret, fordi den indgår i den samlede relativistiske energi. Dette gør den relativistiske bevarelse af energi til et enklere koncept end i ikke-relativistisk mekanik, da den samlede energi bevares uden nogen forfining. Kinetisk energi omdannet til varme eller intern potentiel energi manifesterer sig som en stigning i massen. [19] :127

Eksempel: På grund af ækvivalensen mellem masse og energi er masserne af elementarpartikler normalt angivet i energienheder, hvor 1 MeV = 1 × 10 6 elektronvolt. En ladet pion er en partikel med en masse på 139,57 MeV (ca. 273 gange massen af en elektron). Den er ustabil og henfalder til en myon med en masse på 105,66 MeV (ca. 207 gange massen af en elektron) og en antineutrino, som har en ubetydelig masse. Forskellen mellem pionmassen og myonmassen er 33,91 MeV.

π−
→ μ−
+ vμ

På fig. 3-12a viser energi-momentum diagrammet for denne henfaldsreaktion i pion hvilerammen. På grund af deres ubetydelige masse rejser neutrinoen næsten med lysets hastighed. Det relativistiske udtryk for dens energi, som for en foton, er E ν = pc , , som også er værdien af den rumlige komponent af dens momentum. For at bevare momentum har myonen samme værdi af neutrinoens rumlige momentumkomponent, men i den modsatte retning.

Algebraiske beregninger af denne reaktions henfaldsenergi er tilgængelige på internettet, [24] , så Fig. 3-12b. Neutrinoenergien er 29,79 MeV, og myonenergien er 33,91 - 29,79 = 4,12 MeV. Det meste af energien bliver båret væk af neutrinoer med næsten nul masse.

Ud over det grundlæggende

Emnerne i dette afsnit er matematisk mere komplekse end dem i de foregående afsnit og er ikke afgørende for at forstå Introduktion til buet rumtid.

Hastighed

Lorentz-transformationer relaterer koordinaterne for begivenheder i én referenceramme til koordinater i en anden referenceramme. For at tilføje to hastigheder bruges den relativistiske lov om addition af hastigheder, hvis formler er ikke-lineære, hvilket gør den mere kompleks end den tilsvarende galileiske lov.

Denne ikke-linearitet er en artefakt af vores valg af parametre. [7] : 47-59 Tidligere bemærkede vi, at i rum-tidsdiagrammet x–ct danner punkter med konstant interval fra oprindelsen en invariant hyperbel. Vi bemærkede også, at koordinatsystemerne for to rum-tidsreferencesystemer i standardkonfigurationen er hyperbolsk roteret i forhold til hinanden.

De naturlige funktioner til at udtrykke disse forhold er de hyperbolske analoger af de trigonometriske funktioner . På fig. 4-1a viser en enhedscirkel med sin ( a ) og cos ( a ), den eneste forskel mellem dette diagram og den velkendte enhedscirkel for elementær trigonometri er, at a ikke tolkes som vinklen mellem strålen og x -aksen , men som to gange arealet af sektoren, fejet af strålen fra x . (Numerisk er vinklen og 2 × areal af enhedscirklen ens.) 4-1b viser en enhedshyperbelmed sinh( a ) og cosh( a ), hvor a også tolkes som et dobbeltfarvet område. [25] I fig. 4-2 er plot af sinh-, cosh- og tanh-funktionerne.

For en enhedscirkel er bjælkens hældning givet ved

{\text{hældning}}=\tan a={\frac {\sin a}{\cos a)).

I et rektangulært koordinatsystem er rotationen af et punkt ( x, y ) til et punkt ( x́, ý ) i en vinkel θ givet ved

{\begin{pmatrix}x'\\y'\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \ theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}.

I rum-tid-diagrammet er hastighedsparameteren analog med hældning (hældning). Hastigheden φ er defineret som [19] :96–99 $\beta$

\beta \equiv \tanh \phi \equiv {\frac {v}{c)),

hvor

\tanh \phi ={\frac {\sinh \phi }{\cosh \phi }}={\frac {e^{\phi}-e^{-\phi }}{e^{\phi }+e^{-\phi }}}.

Den ovenfor definerede hastighed er meget nyttig i speciel relativitetsteori, fordi mange af udtrykkene antager en mere forenklet form udtrykt i dens termer. For eksempel er hastighed simpelthen additiv i den kollineære hastighedsadditionsformel [7] :47–59

\beta ={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}=

{\frac {\tanh \phi _{1}+\tanh \phi _{2}}{1+\tanh \phi _{1}\tanh \phi _{2}}}=

\tanh(\phi _{1}+\phi _{2}),

eller med andre ord, $\phi =\phi _{1}+\phi _{2}.$

Lorentz-transformationer antager en simpel form, når de udtrykkes i form af hurtighed. Faktoren γ kan skrives som

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2))))={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\phi )) }

=\cosh \phi ,

\gamma \beta ={\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2))))={\frac {\tanh \phi }{\sqrt {1-\tanh ^{ 2}\phi }}}

=\sinh \phi .

Transformationer, der beskriver relativ bevægelse med ensartet hastighed og ingen rotation af de rumlige koordinatakser, kaldes boosts .

Ved at erstatte γ og γβ i de transformationer, der blev introduceret tidligere og omskrevet i matrixform, kan Lorentz-boostet i x - retningen skrives som

{\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi \\-\sinh \phi &\cosh \phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}},

og det omvendte Lorentz-boost i x- retningen kan skrives som

{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &\sinh \phi \\\sinh \phi &\cosh \phi \end{pmatrix }}{\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}.

Med andre ord repræsenterer Lorentz boost en hyperbolsk rotation i Minkowski rumtid. [19] :96-99

Fordelene ved at bruge hyperbolske funktioner er sådan, at nogle lærebøger, såsom den klassiske Taylor og Wheeler, introducerer deres brug på et meget tidligt tidspunkt [7] [26] [note 3]

4-vektorer

4-vektorerne blev nævnt ovenfor i sammenhæng med 4-vektors energimomentum. I det hele taget kræver ingen af den særlige relativitetsteoris elementære konklusioner dem. Men når det først er forstået, forenkler begrebet en 4-vektor og det mere generelle begreb om en tensor i høj grad matematikken og den begrebsmæssige forståelse af speciel relativitet. At beskæftige sig udelukkende med sådanne objekter fører til formler, der er klart relativistisk invariante, hvilket er en væsentlig fordel i ikke-trivielle sammenhænge. For eksempel er det ikke trivielt at demonstrere den relativistiske invarians af Maxwells ligninger i deres sædvanlige form, og brug af den elektromagnetiske felttensor forvandler dem til blot en rutinemæssig beregning. På den anden side bygger den generelle relativitetsteori fra begyndelsen hovedsageligt på 4-vektorer og tensorer, der repræsenterer fysisk relevante entiteter. At forbinde disse ligninger med ligninger, der ikke afhænger af specifikke koordinater, kræver tensorer, der er i stand til at forbinde sådanne 4-vektorer selv i buet rumtid, og ikke kun i en flad , som i speciel relativitet. Studiet af tensorer ligger uden for denne artikels omfang, som kun giver en grundlæggende diskussion af rumtid.

Definition af en 4-vektor

Et sæt af fire tal A = (A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) kaldes en "4-vektor", hvis disse A i -komponenter transformeres mellem referencesystemer i henhold til Lorentz-transformationer. Ved brug af (ct, x, y, z) koordinater er A en 4-vektor, hvis A transformerer (i x -retningen ) iflg.

{\begin{aligned}A_{0}'&=\gamma \left(A_{0}-(v/c)A_{1}\right)\\A_{1}'&=\gamma \ venstre(A_{1}-(v/c)A_{0}\right)\\A_{2}'&=A_{2}\\A_{3}'&=A_{3}\end{aligned} }

som er dannet ved blot at erstatte ct med A 0 og x med A 1 i den tidligere version af Lorentz-transformationerne.

Som sædvanligt, når vi skriver x , t , osv., mener vi normalt Δx , Δt , osv.

De sidste tre komponenter i en 4-vektor skal være en standardvektor i 3D-rum. Derfor skal 4-vektoren transformere som (c Δt, Δx, Δy, Δz) under Lorentz-transformationer og under rotation. [13] :36–59

Egenskaber for 4-vektorer

Lukket lineær kombination: Hvis A og B er 4-vektorer , så er C = aA + aB også en 4-vektor .
Punktproduktinvarians: Hvis A og B er 4-vektorer , så er deres prikprodukt invariant, det vil sige, at det ikke afhænger af referencerammen, hvori det beregnes. Bemærk, hvordan beregningen af prikproduktet adskiller sig fra beregningen af prikproduktet af en 3-vektor . Lad os antage, at og er 3-vektorer : $\vec{A}$ ${\vec {B}}$

A\cdot B\equiv

A_{0}B_{0}-A_{1}B_{1}-A_{2}B_{2}-A_{3}B_{3}\equiv

A_{0}B_{0}-{\vec {A}}\cdot {\vec {B}}

Ud over invariansen af Lorentz-transformationen er prikproduktet ovenfor også invariant under rotation i 3-rum . To vektorer siges at være ortogonale , hvis ortogonale 4-vektorer i modsætning til tilfældet med 3-vektorer ikke nødvendigvis er vinkelrette på hinanden. To 4-vektorer er ortogonale, hvis de er forskudt med lige store og modsatte vinkler fra 45°-linjen, som er lysstrålens verdenslinje. Det betyder, at den lyslignende 4-vektor er ortogonal i forhold til sig selv .

A\cdot B=0.

Vektorstørrelsesinvarians: Størrelsen af en vektor er skalarproduktet af en 4-vektor med sig selv og er en rammeuafhængig egenskab. Som med intervaller kan størrelsen være positiv, negativ eller nul, så vektorerne kaldes tidslignende, rumlignende eller lyslignende. Bemærk, at den lyslignende vektor ikke falder sammen med nulvektoren. Den lyslignende vektor er den, for hvilken , og nulvektoren er den, hvis komponenter er lig med nul. Særlige tilfælde, der illustrerer normens invarians, omfatter det invariante interval og den invariante længde af den relativistiske momentumvektor [19] :178–181 [13] :36–59 $A\cdot A=0,$ ${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2))$ $E^{2}-p^{2}c^{2}.$

Eksempler på 4-vektorer

4-vektor forskydning: Også kaldet rum-tid division , er det ( Δt, Δx, Δy, Δz ), eller for infinitesimals, ( dt, dx, dy, dz ) .

dS\equiv (dt,dx,dy,dz)

Hastighed 4-vektor: Denne vektor opnås ved at dividere forskydningen 4-vektor med , hvor er den korrekte tid mellem to hændelser, der er adskilt af dt, dx, dy og dz . $d\tau$ $d\tau$

V\equiv {\frac {dS}{d\tau }}={\frac {(dt,dx,dy,dz)}{dt/\gamma }}=

\gamma \left(1,{\frac {dx}{dt)),{\frac {dy}{dt)),{\frac {dz}{dt))\right)=

(\gamma ,\gamma {\vec {v)))

4-hastighedsvektoren rører partiklens verdenslinje og har en længde svarende til en tidsenhed i partiklens referenceramme. En accelereret partikel har ikke en inerti-referenceramme, hvor den altid er i hvile. Men som påpeget tidligere i den tidligere diskussion af den tværgående Doppler-effekt , er det altid muligt at finde en inerti-referenceramme, der øjeblikkeligt ledsager partiklen. En sådan øjeblikkeligt co-moving inertial referenceramme (ICFR) gør det muligt at anvende den særlige relativitetsteori til analysen af accelererede partikler. Da fotoner bevæger sig langs lyslignende linjer, kan 4-hastigheden heller ikke bestemmes for dem . Der er ingen referenceramme, hvor fotonen er i hvile, og langs fotonens vej er det umuligt at finde ISFR.

d\tau=0

4-energi-momentvektor: Som diskuteret i afsnittet Energi og momentum ,

P\equiv (E/c,{\vec {p)))=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})

Som nævnt tidligere er der forskellige måder at repræsentere 4-vektor energimomentum på. Det kan udtrykkes som enten Den første komponent er den samlede energi (inklusive masse) af en partikel (eller et system af partikler) i en given referenceramme, og de resterende komponenter er dens rumlige momentum. 4-energi-momentum vektoren er en bevaret mængde.

(E,{\vec {p)))

(E,{\vec {p}}c).

4-vektor acceleration: Dette er resultatet af at tage den afledede af 4-vektor hastigheden mht. $\tau .$

A\equiv {\frac {dV}{d\tau }}=

{\frac {d}{d\tau ))(\gamma ,\gamma {\vec {v)))=

\gamma \left({\frac {d\gamma }{dt)),{\frac {d(\gamma {\vec {v)))}{dt))\right)

'4-kraftvektor:' Dette er den afledte af 4-vektoren af momentum mht. $\tau .$

F\equiv {\frac {dP}{d\tau }}=

\gamma \left({\frac {dE}{dt)),{\frac {d{\vec {p))}{dt))\right)=

\gamma \left({\frac {dE}{dt)),{\vec {f))\right)

Som forventet er de sidste komponenter i ovenstående 4-vektorer standard 3-vektorerne svarende til det rumlige 3-momentum , 3-kraft osv. [19] :178–181 [13] :36–59

4-vektorer og fysiske love

Det første postulat i den særlige relativitetsteori erklærer ækvivalensen af alle inerti-referencerammer. En fysisk lov, der fungerer i én referenceramme, skal fortsætte med at virke i alle referencerammer, for ellers kunne vi skelne mellem disse referencerammer. Som bemærket i den tidligere diskussion om bevarelse af energi og momentum , kan Newtonsk momentum ikke opføre sig korrekt under Lorentz-transformationen, og Einstein valgte at ændre definitionen af momentum til en relateret til 4-vektorer i stedet for at opgive momentum-bevaring.

Fysiske love skal være baseret på strukturer, der er uafhængige af referencerammer. Det betyder, at fysiske love kan tage form af ligninger, der relaterer til skalarer, som altid er uafhængige af referencerammer. Men ligninger, der indeholder 4-vektorer , kræver brug af tensorer af passende rang, som i sig selv kan betragtes som bygget af 4-vektorer . [19] :186

Acceleration

almindelige[ hvem? ] misforståelsen er, at speciel relativitet kun er anvendelig for inerti-referencerammer, og at den ikke er i stand til at arbejde med accelererende objekter eller accelererede referencerammer. Accelererende objekter kan normalt analyseres uden overhovedet at skulle beskæftige sig med accelererede frames. Generel relativitetsteori er kun påkrævet for stærke gravitationsfelter. [27]

Korrekt arbejde med accelererede referencerammer kræver dog en vis forsigtighed. Forskellen mellem speciel og generel relativitetsteori er, at (1) I speciel relativitetsteori er alle hastigheder relative, men acceleration er absolut. (2) I den generelle relativitetsteori er alle typer bevægelser relative og inerti, og accelererede og rotation. For at tage højde for denne forskel bruger generel relativitetsteori buet rumtid. [27]

I dette afsnit vil vi analysere flere scenarier relateret til accelererede referencerammer.

Bells paradoks

Bell Spaceship Paradox er et godt eksempel på et problem, hvor intuitiv ræsonnement, der ikke er forbundet med en geometrisk forståelse af rum-tidstilgangen, kan føre til problemer.

I fig. 4-4 hænger to identiske rumskibe i rummet og er i ro i forhold til hinanden. De er forbundet med et reb, som har en grænse for at strække sig, før de knækker. I øjeblikket, i vores referenceramme, observatørens ramme, accelererer begge rumskibe i samme retning langs linjen mellem dem med den samme konstante acceleration af deres egen [note 4] Spørgsmålet er, om rebet knækker?

Hovedartiklen fortæller, at da paradokset var nyt og dårligt forstået, havde selv professionelle fysikere svært ved at finde en løsning. De to ræsonnementer fører til modsatte konklusioner. Der er to argumenter, som præsenteres nedenfor, det ene af dem er forkert, selvom det giver det rigtige svar. [19] :106,120-122

For en iagttager i en hvilende ramme begynder rumskibe at bevæge sig med en afstand L mellem dem og forbliver i samme afstand fra hinanden under acceleration. Under acceleration er L den forkortede længde fra længden Ĺ = γL i accelererende rumfartøjssystemer. Efter tilstrækkelig lang tid vil γ stige så meget, at rebet skulle knække.
Lad A og B være de bagerste og forreste rumskibe. I rumskibsreferencerammer ser hvert rumfartøj det andet rumfartøj gøre det samme, som det gør. A siger, at B har samme acceleration som ham, og B ser, at A kopierer hver hans bevægelse. Således forbliver rumskibene i samme afstand fra hinanden, og rebet forbliver intakt. [19] :106,120-122

Problemet med den første forklaring er, at der ikke er nogen rumskibsreferenceramme . Dette kan ikke være, fordi de to rumfartøjer måler den voksende afstand mellem dem. Da der ikke er et enkelt referencesystem for rumskibe, er længden af rebet ikke defineret. Konklusionen er dog korrekt, og forklaringen er for det meste korrekt. Men den anden forklaring ignorerer fuldstændig relativiteten af samtidighed. [19] :106,120-122

Løsningen på dette paradoks bliver indlysende, hvis vi bruger rum-tid-diagrammet (fig. 4-5). To observatører i Minkowski rumtid accelererer med en konstant mængde acceleration i korrekt tid (acceleration og forløbet tid måles af observatørerne selv, ikke af en ekstern inertiobservatør). De er comoving og inerti før og efter accelerationsfasen. Som Bell bemærkede, viser sig længden af det rumlignende segment A ′ B ″ i Minkowskis geometri at være større end længden af det rumlignende segment AB . $k$ $\sigma$

Forøgelsen i længden kan beregnes ved hjælp af Lorentz-transformationen. Hvis, som vist i fig. 4-5, accelerationen er overstået, vil skibene forblive med en konstant forskydning i en eller anden referenceramme Hvis og er skibenes positioner i den position i referencerammen : [28] $S'.$ $x_{A}$ $x_{B}=x_{A}+L$ $S,$ $S'$

{\begin{aligned}x'_{A}&=\gamma \left(x_{A}-vt\right)\\x'_{B}&=\gamma \left(x_{A} +L-vt\right)\\L'&=x'_{B}-x'_{A}=\gamma L\end{aligned}}

"Paradokset" kommer på en måde fra, hvordan Bell byggede sit eksempel. I den sædvanlige diskussion af Lorentz-kontraktioner er linealen i hvile fast, mens den bevægelige lineal reduceres til mål i referencerammen . Som vist i figur 4-4 introducerer Bells eksempel bevægelige længder og målt i referencerammen som faste, hvorved hvilelængden i referencerammen øges . $S$ $AB$ $A'B'$ $S$ $A'B''$ $S'$

Accelereret observatør med horisonten

Nogle særlige problemer i relativitetsteorien kan føre til en forståelse af ting, der normalt forbindes med generel relativitetsteori. Dette er for eksempel begivenhedshorisonten . I teksten, der ledsager fig. 2-7 i den invariante hyperbelsektion , bemærkede vi, at magentahyperblerne repræsenterer de virkelige stier, der rejses af en konstant accelererende rumtidsrejsende. I perioder med positiv acceleration nærmer bevægelseshastigheden sig lysets hastighed, mens den rejsendes acceleration i vores referenceramme konstant aftager.

Figur 4-6 beskriver i detaljer de forskellige træk ved den rejsendes bevægelser. På ethvert tidspunkt er dens rumlige akse dannet af en linje, der går gennem oprindelsen og dens aktuelle position på hyperbelen, og dens tidsakse er tangent til hyperbelen på dens placering. Hastighedsparameteren nærmer sig inden for grænsen for enhed som . Ligeledes nærmer sig uendeligheden. $\beta$ $ct$ $\gamma$

Formen af den invariante hyperbel svarer til vejen for konstant korrekt acceleration. Dette kan vises sådan her:

Vi ved det $\beta =ct/x.$
Da vi konkluderer det $c^{2}t^{2}-x^{2}=s^{2},$ $\beta (ct)=ct/{\sqrt {c^{2}t^{2}-s^{2))}.$
$\gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2))}=$ ${\sqrt {c^{2}t^{2}-s^{2))}/s$
Fra den relativistiske kraftlovs synspunkt, $F=dp/dt=$ $dpc/d(ct)=d(\beta \gamma mc^{2})/d(ct).$
Ved at erstatte fra trin 2 og udtrykket for fra trin 3 får vi , som er et konstant udtryk. [17] :110-113 $\beta (ct)$ $\gamma$ $F=mc^{2}/s,$

Figur 4-6 illustrerer et specifikt designscenarie. Terence (A) og Stella (B) står i starten sammen 100 lystimer fra oprindelsen. Stella letter på tidspunkt 0, hendes rumskib accelererer med en hastighed på 0,01 s i timen. Hver tyvende time rapporterer Terence til Stella i radioen om situationen derhjemme (faste grønne linjer). Stella modtager disse regelmæssige transmissioner, men den stigende afstand (delvis opvejet af tidsudvidelse) får hende til at modtage Terences beskeder senere og senere i henhold til hendes ur, og hun modtager aldrig nogen beskeder fra Terence efter 100 timer på hans ur (stiplede grønne linjer) . [17] :110-113

Efter 100 timer går Stella ifølge Terences ur ind i det mørke område. Hun rejste uden for Terences tidslignende fremtid. På den anden side kan Terence fortsætte med at modtage Stellas beskeder på ubestemt tid. Han skal bare vente længe nok. Rum-tid er blevet opdelt i separate områder af en tilsyneladende begivenhedshorisont. Så længe Stella fortsætter med at accelerere, kan hun ikke finde ud af, hvad der sker ud over denne horisont [17] :110–113

Introduktion til buet rumtid

Grundlæggende

Newtons teorier antog, at bevægelsen foregår på baggrund af en stiv euklidisk referenceramme, som forplanter sig i hele rummet og til enhver tid. Tyngdekraften formidles af en mystisk kraft, der virker øjeblikkeligt på afstand, hvis handlinger ikke afhænger af mellemrummet. [note 5] Einstein benægtede, at der er nogen baggrunds euklidisk referenceramme, der forplanter sig i rummet. Ligesom der ikke er noget der hedder tyngdekraft, kun strukturen af rumtiden selv. [7] :175-190

I rum-tid er banen for en satellit, der kredser om Jorden, ikke dikteret af de fjerne påvirkninger fra Jorden, Månen og Solen. I stedet bevæger satellitten sig kun i rummet under indflydelse af lokale forhold. Da rum-tid overalt er lokalt flad, når den ses i en tilstrækkelig lille skala, følger satellitten altid en lige linje i sin lokale inertiereferenceramme. Vi siger, at satellitten altid følger den geodætiske vej. Tyngdekraften kan ikke findes ved siden af kun én partikels bevægelser. [7] :175-190

I enhver analyse af rum-tid kræver bevis for tyngdekraft at observere de relative accelerationer af to legemer eller to separate partikler. På fig. I figur 5-1 udviser to adskilte partikler, der frit falder i Jordens gravitationsfelt, tidevandsaccelerationer på grund af lokale inhomogeniteter i gravitationsfeltet, således at hver partikel tager en forskellig vej gennem rumtiden. Tidevandsaccelerationerne, som disse partikler udviser i forhold til hinanden, kræver ikke kræfter for at forklare dem. Snarere beskrev Einstein dem i form af rumtidens geometri, det vil sige rumtidens krumning. Disse tidevandsaccelerationer er strengt lokale. Dette er den kumulative samlede effekt af mange lokale krumningsmanifestationer, der resulterer i en gravitationskraft, der virker i stor afstand fra Jorden. [7] :175-190

Den generelle relativitetsteori er baseret på to hovedbestemmelser.

Det første vigtige koncept er koordinatuafhængighed: Fysikkens love kan ikke afhænge af, hvilket koordinatsystem der skal bruges. Dette er en vigtig udvidelse af relativitetsprincippet fra den version, der bruges i speciel relativitet, som siger, at fysikkens love skal være de samme for enhver iagttager, der bevæger sig i uaccelererede (inerti) referencerammer. I almen relativitetsteori, for at bruge Einsteins egne (oversatte) ord, "må fysikkens love være af en sådan karakter, at de gælder for referencerammer i enhver form for bevægelse." [29] :113 Dette fører til et problem: I accelererede referencerammer er der en kraft, der vil tillade os at detektere tilstedeværelsen af acceleration i absolut forstand. Einstein løste dette problem med ækvivalensprincippet. [30] :137-149
Ækvivalensprincippet siger, at i ethvert tilstrækkeligt lille område af rummet adskiller virkningerne af tyngdekraften sig ikke fra acceleration.

I figur 5-2 er person A i et rumskib, væk fra eventuelle massive genstande, som udsættes for ensartet acceleration g . Person B er i en kasse, der hviler på Jorden. Hvis man antager, at rumfartøjet er lille nok til, at tidevandseffekter ikke kan måles (i betragtning af tyngdekraftinstrumentets følsomhed, ville A og B formodentlig være dværg ), er der ingen eksperimenter, der kunne udføre A og B, der ville give dem mulighed for at bestemme, hvor de er. [30] :141-149 En alternativ formulering af ækvivalensprincippet er, at i Newtons universelle tyngdelov F = GMm g /r 2 = m g g og i Newtons anden lov F = m i a , er der ingen a priori grund til, hvorfor gravitationsmassen m g skal være lig med inertialmassen m i . Ækvivalensprincippet siger, at de to masser er identiske. [30] :141-149

At gå fra den elementære beskrivelse af den buede rumtid ovenfor til en komplet beskrivelse af tyngdekraften kræver tensorregning og differentialgeometri, som kræver seriøs undersøgelse. Uden disse matematiske værktøjer kan man skrive om generel relativitetsteori, men det er umuligt at påvise nogen ikke-trivielle konklusioner.

I stedet for at forsøge at tilbyde (endnu et) relativt ikke-matematisk syn på generel relativitet, opfordres læseren til at gå til de allerede udgivne artikler Introduktion til generel relativitet.og generel relativitet .

I dette afsnit vil fokus være på studiet af nogle få elementære tilfælde, der fungerer som en overfladisk introduktion til generel relativitetsteori.

Tidens krumning

I diskussionen om speciel relativitet har kræfter spillet en sekundær rolle. Den specielle relativitetsteori antager muligheden for at sætte inertielle referencerammer, der fylder hele rumtiden, og alle ure kører i samme tempo som uret ved origo. Er det virkelig muligt? I et inhomogent gravitationsfelt siger forsøget nej. Gravitationsfelter tillader ikke opbygning af en global inerti-referenceramme. I tilstrækkeligt små områder af rum-tid er lokale inertielle referencerammer stadig mulige . Generel relativitetsteori involverer den systematiske sammenføjning af disse lokale referencerammer til et større billede af rumtid. [13] :118-126

Kort efter offentliggørelsen af generel relativitetsteori i 1916 påpegede en række videnskabsmænd, at generel relativitetsteori forudsagde eksistensen af en gravitationel rødforskydning. Einstein foreslog selv følgende tankeeksperiment : (i) Antag, at der er bygget et tårn i højden h (Figur 5-3). (ii) Kast en partikel med hvilemasse m fra toppen af tårnet. Den falder frit med en acceleration g , når jorden med en hastighed v = (2 gh ) 1/2 , dens samlede energi E , målt af en observatør på jorden, er lig m + ½ mv 2 / c 2 = m + mgh/c2 . (iii) Masse-energi-konverteren omdanner partiklens samlede energi til en enkelt højenergi-foton, som den affyrer opad. (iv) I toppen af tårnet omdanner en energi-masse-konverter fotonenergien É tilbage til en partikel af hvilemasse ḿ . [13] :118-126

Resultatet skal være m = ḿ , ellers kan der bygges en evighedsmaskine . Derfor forudsiger vi, at É = m , således at

{\frac {E'}{E}}={\frac {h\nu \,'}{h\nu }}=

{\frac {m}{m+mgh/c^{2))}=

{\displaystyle 1-{\frac {gh}{c^{2))))

Når en foton stiger i jordens tyngdefelt, mister den energi og modtager en rødforskydning. Tidlige forsøg på at måle denne rødforskydning ved hjælp af astronomiske observationer var noget inkonklusive, men de sidste laboratorieobservationer blev foretaget i eksperimentet af Pound og Rebka (1959) og senere af Pound og Schneider (1964). [31]

Lys har en tilsvarende frekvens, og denne frekvens kan bruges til at styre uret. Gravitationel rødforskydning fører til en vigtig konklusion om tid: tyngdekraften sænker tiden. Antag, at vi bygger to identiske ure, hvis hastigheder styres af en stabil atomovergang. Lad os placere det ene ur øverst i tårnet, mens vi efterlader det andet ur på jorden. Eksperimentatoren i toppen af tårnet registrerer signalerne fra jorduret som at have en lavere frekvens end signalerne fra uret ved siden af sig på tårnet. Lyset, der stiger op i tårnet, er bare en bølge, og det er umuligt for bølgetoppene at forsvinde på vej op. Antallet af oscillationer af lys, der kommer ind i toppen af tårnet, er lig med det antal, der udsendes i bunden. Eksperimentatoren konkluderer, at jorduret er langsommere, og dette kan bekræftes ved at sænke uret fra tårnet for at sammenligne ved siden af jorduret. [10] :16-18 For et 1 km tårn ville forskellen være omkring 9,4 nanosekunder om dagen, let målelig med moderne instrumentering.

Ure i et gravitationsfelt kører ikke med samme hastighed. Eksperimenter som Pound-Rebka-eksperimentet har med sikkerhed fastslået krumningen af den tidsmæssige komponent af rumtid. Pound-Rebka-eksperimentet siger intet om krumningen af rumtidens rumlige komponent. Men bemærk, at de teoretiske argumenter, der forudsiger gravitationstidsudvidelse, slet ikke afhænger af argumenterne for generel relativitet. Enhver teori om tyngdekraft vil forudsige gravitationstidsudvidelse, hvis den respekterer ækvivalensprincippet. [10] :16 Inklusiv Newtonsk tyngdekraft. I generel relativitet er det let at vise, at i den Newtonske grænse (dvs. når partiklerne bevæger sig langsomt, er gravitationsfeltet svagt og statisk), er krumningen af en tid tilstrækkelig til at opnå Newtons tyngdelov. [32] :101-106

Newtonsk tyngdekraft er en teori om buet tid. Generel relativitetsteori er teorien om buet tid og buet rum. Antages G som gravitationskonstant, M som massen af en Newtonsk stjerne og kredsende legemer med ubetydelig masse i en afstand r fra stjernen, er det kun tidsfaktoren, der er variabel i rum-tidsintervallet for Newtons tyngdekraft: [10] : 229-232

\Delta s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)(c\Delta t)^{2}

{\displaystyle}

{\displaystyle -\,(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2))

Krumning af rummet

Koefficienten før beskriver tidens krumning i newtonsk tyngdekraft, og denne krumning står fuldt ud for alle newtonske gravitationseffekter. Som forventet er denne korrektionsfaktor direkte proportional med og , og på grund af nævneren stiger korrektionsfaktoren, når du nærmer dig det graviterende legeme, hvilket betyder tidslomme. $(1-2GM/(c^{2}r))$ $(c\Delta t)^{2}$ $G$ $M$ $r$

Men generel relativitetsteori er en teori om buet rum og buet tid, så hvis der er udtryk, der ændrer de rumlige komponenter i rum-tidsintervallet præsenteret ovenfor, bør virkningerne på planet- og satellitbaner ikke betragtes som resultatet af krumningen koefficienter for de rumlige termer?

Svaret er, at de er synlige , men virkningerne er små. Årsagen er, at planeternes hastigheder er ekstremt små sammenlignet med lysets hastighed, så for solsystemets planeter og satellitter overlapper udtrykket rumvilkårene. [10] :234-238 $(c\Delta t)^{2}$

På trods af de små rumbegreber blev de første tegn på, at noget var galt med den newtonske tyngdekraft opdaget for halvandet århundrede siden. I 1859 rapporterede Urbain Le Verrier i en analyse af de tilgængelige tidsmæssige observationer af Merkurs forskydninger over Solens skive fra 1697 til 1848, at kendt fysik ikke kunne forklare Merkurs kredsløb, bortset fra at indrømme eksistensen af en anden planet eller et asteroidebælte i Merkurs kredsløb. Periheliumet af Merkurs bane viste tilstedeværelsen af en overdreven præcessionshastighed sammenlignet med, hvad der kan forklares ved indflydelsen fra andre planeter. [33] Evnen til at detektere og nøjagtigt måle minutværdien af denne unormale præcession (kun 43 buesekunder pr. tropisk år ) er bevis på den store nøjagtighed af det 19. århundredes astrometri .

Ligesom den berømte astronom, der engang opdagede eksistensen af Neptun "på spidsen af en kuglepen" ved at analysere svingningerne i Uranus' kredsløb, udløste Le Verriers meddelelse en to-årig periode med "Volcanomania", da professionelle og amatørastronomer jagtede en hypotetisk ny planet. Denne eftersøgning omfattede flere falske observationer af Vulcan. I sidste ende blev det fastslået, at der ikke eksisterer nogen planet eller asteroidebælte. [34]

I 1916 viste Einstein endelig, at denne unormale præcession af Merkur blev forklaret med rumlige termer i rumtidens krumning. Krumningen i tidsudtrykket, der blot er et udtryk for Newtons tyngdekraft, har intet at gøre med at forklare denne unormale præcession. Succesen med hans beregning var en stærk indikation for Einsteins jævnaldrende, at den generelle relativitetsteori kunne være korrekt.

Den mest imponerende af Einsteins forudsigelser var beregningen af, at krumningsvilkårene i rum-tidsintervallets rumlige komponenter kunne måles ved at bøje lys rundt om et massivt legeme. Lys har en hældning på ±1 på rum-tid diagrammet. Dens bevægelse i rummet er lig med dens bevægelse i tid. For at udtrykke det svage felt af det invariante interval, beregnede Einstein nøjagtigt ens, men modsat i fortegnskrumning i de rumlige komponenter. [10] :234-238

\Delta s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)(c\Delta t)^{2}

-\,\left(1+{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2 }+(\Delta z)^{2}\right]

I Newtonsk tyngdekraft forudsiger koefficienten før lysets bøjning omkring en stjerne. I generel relativitetsteori forudsiger koefficienten før et bøjning dobbelt så stort. [10] :234-238 $(1-2GM/(c^{2}r))$ $(c\Delta t)^{2}$ $(1+2GM/(c^{2}r))$ $\left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\right]$

Historien om Eddingtons observation fra 1919 og Einsteins formørkelse kan studeres i en yderligere kilde. [35]

Kilder til rum-tid krumning

I Newtons lov om universel gravitation er den eneste kilde til tyngdekraften masse .

Generel relativitetsteori peger på flere kilder til rumtidskrumning ud over masse. I Einsteins feltligninger er tyngdekraftskilder repræsenteret på højre side i energi -momentum-tensoren . $T_{\mu \nu },$

På fig. 5-5 er forskellige tyngdekraftskilder klassificeret i spændingsenergitensoren:

$T^{00}$ (rød): total massetæthed, inklusive eventuelle bidrag til potentiel energi fra kræfter mellem partikler, samt kinetisk energi fra tilfældige termiske bevægelser.
${\displaystyle T^{0i))$ og (orange): Disse er pulsdensitetsfaktorerne. Selvom der ikke er nogen bevægelse af masser, kan energi overføres ved termisk ledning, og ledningsenergien vil have momentum. ${\displaystyle T^{i0))$
${\displaystyle T^{ij))$ — strømningshastigheden af i - komponenten af impulsen pr. arealenhed i J - retningen . Selvom der ikke er nogen massebevægelse, vil de tilfældige termiske bevægelser af partiklerne resultere i impulsiv strømning, så i = j (grønne) komponenter repræsenterer isotropisk tryk og i ≠ j (blå) komponenter repræsenterer forskydningsspændinger. [36]

En vigtig konklusion kan drages af ligningerne, som i daglig tale kan kaldes, hvordan tyngdekraften selv skaber tyngdekraften . [note 6] Energi har masse. Selv i Newtonsk gravitation er gravitationsfeltet forbundet med en energi, E = mgh , kaldet gravitationel potentiel energi . I generel relativitetsteori går tyngdefeltets energi tilbage til at skabe tyngdefeltet. Dette gør ligningerne ikke-lineære og vanskelige at løse i alle tilfælde undtagen i tilfælde af et svagt felt. [10] :240 Numerisk relativitet er en gren af generel relativitetsteori og bruger supercomputerstøttede numeriske metoder til at studere sorte huller , gravitationsbølger , neutronstjerner og andre fænomener med stærke felter.

Energi-momentum

I den særlige relativitetsteori er masseenergi tæt forbundet med momentum . Som vi diskuterede tidligere i afsnittet Energi og momentum , ligesom rum og tid er forskellige aspekter af en mere omfattende enhed kaldet rumtid, er masseenergi og momentum blot forskellige aspekter af en enkelt, firedimensionel størrelse kaldet fire- momentum . Derfor, hvis masseenergi er kilden til tyngdekraften, må momentum også være en sådan kilde. Inddragelsen af momentum som kilden til tyngdekraften fører til forudsigelsen om, at bevægelige eller roterende masser kan generere felter, der ligner magnetiske felter, der genereres af bevægelige ladninger, et fænomen kendt som gravitomagnetisme . [37]

Det er velkendt, at magnetismens styrke kan udledes ved at anvende reglerne for speciel relativitet på bevægelige ladninger. (En veltalende demonstration af dette blev præsenteret af Feynman i bind II, kapitel 13-6 af hans Lectures on Physics , tilgængelig online. [38] ) Lignende logik kan bruges til at bevise gravitomagnetismens oprindelse. I fig. 5-7a har to parallelle uendeligt lange strømme af massive partikler lige store og modsatte hastigheder -v og +v i forhold til en ubevægelig testpartikel centreret mellem dem. På grund af opsætningens symmetri er den samlede kraft på den centrale partikel nul. Lad os antage, at v << c , så hastighederne tæller bare sammen. Figur 5-7b viser nøjagtig den samme opsætning, men i opstrøms referenceramme. Testpartiklen har en hastighed på +v , og bundstrømmen har en hastighed på +2 v . Da situationen ikke har ændret sig fysisk, men kun referencerammen, som vi observerer eksperimentet i, har ændret sig, bør testpartiklen ikke tiltrækkes af nogen af strømmene. Men det er ikke indlysende, at kræfterne, der virker på testpartiklen, er lige store. (1) Fordi bundstrømmen bevæger sig hurtigere end topstrømmen, har hver partikel i bundstrømmen mere masseenergi end partiklen i topstrømmen. (2) På grund af Lorentz kontraktion er der flere partikler pr. længdeenhed i nedstrøms end i opstrøms. (3) Et andet bidrag til den aktive gravitationsmasse af nedstrøms kommer fra et ekstra trykbegreb, som vi ikke har tilstrækkelig træning til i øjeblikket. Alle disse virkninger tilsammen synes at kræve, at testpartiklen bliver tiltrukket nedstrøms.

Testpartiklen tiltrækkes ikke nedstrøms på grund af den hastighedsafhængige kraft, der frastøder partiklen, der bevæger sig i samme retning som nedstrøms . Denne hastighedsafhængige gravitationseffekt er gravitomagnetisme. [10] :245-253

Således er stof, der bevæger sig gennem et gravitamagnetisk felt, underlagt de såkaldte trækeffekter af inertielle referencerammer , svarende til elektromagnetisk induktion . Det er blevet foreslået, at sådanne gravitamagnetiske kræfter ligger til grund for genereringen af relativistiske stråler (se fig. 5-8), der udstødes af nogle roterende supermassive sorte huller . [39] [40]

Tryk og stress

Mængder, der er direkte relateret til energi og momentum, skal også være kilder til tyngdekraften. Disse er indre tryk og mekanisk belastning . Tilsammen tjener masseenergi , momentum, tryk og stress som kilder til tyngdekraften: tilsammen er det alt, der krummer rum-tid.

Generel relativitetsteori forudsiger, at tryk virker som en kilde til tyngdekraft med samme kraft som masse-energitæthed. At inkludere tryk som en kilde til tyngdekraft fører til markante forskelle mellem forudsigelserne om generel relativitet og Newtons tyngdekraft. For eksempel sætter trykudtrykket en maksimal grænse for massen af en neutronstjerne . Jo mere massiv en neutronstjerne er, jo mere tryk skal der til for at holde dens vægt i tyngdekraften. Det øgede tryk øger dog tyngdekraften, der virker på stjernens masse. Ved en vis masse, bestemt af Tolman-Oppenheimer-Volkov-grænsen , bliver processen irreversibel, og neutronstjernen krymper til et sort hul . [10] :243.280

Trykvilkårene bliver ret betydelige, når man udfører beregninger såsom hydrodynamiske simuleringer af supernova-kollaps. [41]

Eksperimentel verifikation

Disse forudsigelser om rollen af tryk, momentum og mekanisk spænding som kilder til rumtidskrumning spiller en vigtig rolle i generel relativitetsteori. Hvis tryk tages i betragtning, var det tidlige univers domineret af stråling, [42] og det er usandsynligt, at nogen af de relevante kosmologiske data (f.eks. nukleosyntese ) kunne reproduceres, hvis trykket ikke deltog i tyngdekraften, eller hvis det ikke havde samme styrke i som en kilde til tyngdekraft, som masse-energi . På samme måde ville den matematiske konsistens af Einsteins feltligninger blive brudt, hvis mekanisk spænding ikke bidrog til tyngdekraften.

Alt dette er godt, men er der nogen direkte , kvantitative eksperimentelle eller observerede målinger, der bekræfter, at disse udtryk påvirker tyngdekraften?

Aktive, passive og inertimasser

Før vi diskuterer de eksperimentelle data om de forskellige kilder til tyngdekraft, skal vi først diskutere Bondys forskelle mellem de mulige massetyper: (1) aktiv masse ( ) $m_{a}$ massen, der fungerer som kilden til tyngdefeltet; (2) passiv masse ( ) $m_{p}$ - den masse, der reagerer på gravitationsfeltet; (3) inertimasse ( ) $m_i$ er den masse, der reagerer på acceleration. [43]

$m_{p}$ falder sammen med det, vi tidligere kaldte gravitationsmassen ( ) ${\displaystyle m_{g))$ i vores diskussion af ækvivalensprincippet i Fundamentals -afsnittet .

I Newtons teori,

Den tredje lov om handling og reaktion dikterer det og skal være den samme. ${\displaystyle m_{a))$ $m_{p}$
På den anden side, om og er lige, er et empirisk resultat. $m_{p}$ $m_{i}$

Generelt relativitetsteori,

Ligestilling er dikteret af ækvivalensprincippet. $m_{p}$ $m_{i}$
Der er intet princip om "handling og reaktion" med diktering af noget forhold mellem og . [43] $m_{a}$ $m_{p}$

Tryk som en kilde til tyngdekraft

Det klassiske eksperiment til at måle styrken af en tyngdekraftskilde (dvs. dens aktive masse) blev først udført i 1797, Cavendish Experiment (Figur 5-9a). To små, men tætte bolde er ophængt på en tynd wire, der danner en torsionsbalance. At bringe to store masser tæt på kuglerne resulterer i et mærkbart drejningsmoment. Under hensyntagen til anordningens dimensioner og suspensionens målte elasticitetskoefficient er det muligt at bestemme gravitationskonstanten G .

At studere virkningerne af tryk ved at klemme testmasser er nytteløst, da opnåelige laboratorietryk er ubetydelige sammenlignet med masse-energien af en metalkugle.

Imidlertid er det frastødende elektromagnetiske tryk, der opstår fra den tætte kompression af protoner inde i atomkerner, sædvanligvis i størrelsesordenen 10 28 atm ≈ 10 33 Pa ≈ 10 33 kg s −2 t 1 . Dette er omkring 1 % af kernemassetætheden på omkring 10 18 kg/m 3 (efter faktorisering i c 2 ≈ 9 × 10 16 t 2 s −2 ). [44]

Hvis trykket ikke er kilden til tyngdekraften, bør forholdet være lavere for Z -kerner med højere atomnummer , som har mere elektrostatisk tryk. LB Kreizer (1968) udførte Cavendish-eksperimentet under anvendelse af en masse Teflon suspenderet i en blanding af trichlorethylen og dibromethan-væsker med samme flydedensitet som Teflon (fig. 5-9b). Fluor har et atomnummer Z =9 , og brom har Z =35 . Kreutzer fandt ud af, at ændring af massen af Teflon ikke forårsager differentiel afbøjning af torsionsstangen, så indstilling af den aktive masse og passiv masse svarer til 5 × 10 −5 nøjagtighed . [45] $m_{a}/m_{p}$

Selvom Kreutzer oprindeligt anså dette eksperiment for blot at være en test af forholdet mellem aktiv masse og passiv masse, genfortolkede Clifford Will (1976) eksperimentet som en fundamental test for at forbinde kilder med gravitationsfelter. [46]

I 1986 bemærkede Bartlett og Van Buren, at månens laserafstand registrerede en 2 km forskydning mellem månens formcentrum og dens massecenter. Dette indikerer en asymmetri i fordelingen af Fe (meget i månens kerne) og Al (meget i dens skorpe og kappe). Hvis tryk ikke bidrog til ensartetheden af krumningen af rum-tid, ligesom masse-energi, ville månen ikke være i den bane, som klassisk mekanik forudsagde. De brugte deres målinger til at indsnævre eventuelle uoverensstemmelser mellem aktiv og passiv masse til omkring 1 × 10-12 . [47]

Gravitomagnetisme

Eksistensen af gravitomagnetisme blev bevist af Gravity Probe B (GP-B) , en satellitmission, der blev opsendt den 20. april 2004 [48] . Rumflyvningsfasen fortsatte indtil 2005. Formålet med missionen var at måle krumningen af rumtiden nær Jorden, med særlig henvisning til gravitomagnetisme .

Indledende resultater bekræftede den relativt store geodætiske præcession (som simpelthen skyldes krumningen af rum-tid og er også kendt som de Sitter præcession) med en nøjagtighed på omkring 1%. Den meget mindre inertielle rammemodstandseffekt (som skyldes gravitomagnetisme og også er kendt som Lense-Thirring Effect ) har været svær at måle på grund af uventede ladningseffekter, der forårsager variabel drift i gyroskoper. Dog tilaugust 2008, træk af inertielle referencerammer blev bekræftet inden for 15 % af det forventede resultat [49] , mens geodætisk præcession blev bekræftet op til 0,5 % [50] [51] .

Efterfølgende inertiramme-modstandsmålinger ved hjælp af laserafstandsobservationer fra LARES , LAGEOS - 1 og LAGEOS-2-satellitterne forbedrede GP-B- målingerne med resultater (fra 2016), der viser en effekt inden for 5% af dens teoretiske værdi [ 52] der har været nogen debat om nøjagtigheden af dette resultat [53] .

Et andet forsøg, Gyroscopes in General Relativity (GINGER) eksperimentet, involverer brugen af tre 6-tommers ringlasere ., installeret vinkelret på hinanden i 1400 m over jordens overflade for at måle denne effekt [54] [55] .

Tekniske problemer

Er rumtiden virkelig buet?

I Poincarés konventionelle synspunkter er de væsentlige kriterier, hvorefter euklidisk eller ikke-euklidisk geometri skal vælges, økonomi og enkelhed. En realist vil sige, at Einstein opdagede, at rumtiden var ikke-euklidisk. En traditionalist ville sige, at Einstein simpelthen fandt det mere bekvemt at bruge ikke-euklidisk geometri. Traditionalisten vil hævde, at Einsteins analyse intet sagde om, hvad rumtidens faktiske geometri er. [56]

Med andre ord,

1. Kan generel relativitetsteori repræsenteres i form af flad rum-tid? 2. Er der situationer, hvor en flad rum-tid fortolkning af generel relativitetsteori kan være mere bekvem end den sædvanlige buede rum-tid fortolkning?

Som svar på det første spørgsmål har en række forfattere, herunder Deser, Grischuk, Rosen, Weinberg, etc., præsenteret forskellige formuleringer af tyngdekraften som et felt i en flad mangfoldighed. Disse teorier har forskellige navne såsom "bimetrisk tyngdekraft", "feltteoretisk tilgang til generel relativitetsteori" osv. [57] [58] [59] [60] Kip Thorne har et populært overblik over disse teorier. [61] :397-403

Det flade rum-tid paradigme siger, at stof skaber et gravitationsfelt, der får linealerne til at trække sig sammen, når de roteres fra perifer til radial orientering, og dette får urets tikkende hastigheder til at sænke farten. Det flade rumtidsparadigme svarer fuldstændig til det buede rumtidsparadigme, idet de begge repræsenterer de samme fysiske fænomener. Deres matematiske formuleringer er dog helt anderledes. Arbejder fysikere skifter normalt mellem at bruge metoderne buet og flad rumtid afhængigt af kravene til problemet. Det flade rum-tid-paradigme viser sig at være særligt praktisk, når man udfører omtrentlige beregninger i svage felter. Følgelig vil der ved løsning af problemer med gravitationsbølger blive brugt metoder til flad rumtid, og i analysen af sorte huller vil metoder til buet rumtid blive brugt.

Riemann geometri

Buede manifolder

Privilegeret position 3+1 rum-tid

Der er to typer dimensioner: rumlige og tidsmæssige. Den rumlige dimension betegnes med bogstavet N, og den tidsmæssige med bogstavet T. Rum-tidskontinuumet med dimensionen N=3 og T=1 har en fordel set fra det antropiske princip .

Rum-tid i kultur

Arthur Schopenhauer skrev i § 18 i værket "On the Fourfold Root of the Law of Sufficient Reason" (1813): "... repræsentationen af sameksistens er kun umulig i tide; i sin anden halvdel er den betinget af repræsentationen af rummet, da kun i tiden er alt efter hinanden, i rummet er det ene ved siden af det andet: således opstår denne repræsentation kun af kombinationen af tid og rum.

Ideen om en samlet rumtid er forklaret af Edgar Allan Poe i hans essay om kosmologi med titlen "Eureka" (1848): "Rum og varighed er ét."

I 1895 skrev HG Wells i romanen The Time Machine : "Der er ingen forskel mellem tid og de tre dimensioner af rummet, bortset fra at vores bevidsthed bevæger sig i tiden", og at "... enhver virkelig krop skal have fire dimensioner : den skal have længde, bredde, højde og varighed af eksistens.

Konklusion

Den første udvidede version af modellen for den naturlige forening af rum og tid, Minkowski-rummet , blev skabt af Hermann Minkowski i 1908 [62] på grundlag af Einsteins særlige relativitetsteori , og lidt tidligere (i 1905 ), en Det vigtigste fremskridt på denne vej blev gjort af Henri Poincaré , som lagde grundlaget for den firedimensionelle rum-tid formalisme.

Begrebet rum-tid er også tilladt af den klassiske mekanik [63] , men heri er denne forening kunstig, da den klassiske mekaniks rum-tid er et direkte produkt af rum og tid, dvs. rum og tid er uafhængige af hinanden. Allerede klassisk elektrodynamik kræver dog ved ændring af referencerammen koordinattransformationer, der omfatter tid "på niveau" med rumlige koordinater (de såkaldte Lorentz-transformationer ), hvis man ønsker , at elektrodynamikkens ligninger skal have samme form i evt. inerti referenceramme. Direkte observerede tidsmæssige karakteristika af elektromagnetiske processer (svingningsperioder, udbredelsestider for elektromagnetiske bølger osv.) allerede i klassisk elektrodynamik viser sig at afhænge af referencesystemet (eller med andre ord af observatørens og objektets relative bevægelser). af observation), det vil sige, de viser sig ikke at være "absolut", men på en vis måde forbundet med den rumlige bevægelse og endda referencesystemets position i rummet, hvilket var den første drivkraft for dannelsen af den moderne fysiske begrebet en enkelt rumtid.

Den væsentligste matematiske forskel mellem rum-tid ( Minkowski-rum , eller, i tilfælde af generel relativitet, en firedimensionel manifold med en Lorentzisk metrik ) fra det sædvanlige euklidiske 4-dimensionelle rum er, at når man beregner afstanden ( interval ), kvadrater af værdierne af tidsforskellene og længderne af rumlige koordinater tages med modsatte fortegn (i almindeligt rum er de tilsvarende værdier ens for enhver koordinatakse og har samme fortegn). Heraf følger følgende: en ret linje mellem to punkter i dette kontinuum (en ret linje forstås som bevægelse ved inerti) giver den maksimale varighed af korrekt tid (interval). For den rumlige længde er den rette linje minimumsværdien, ikke maksimumværdien [64] .

I sammenhæng med relativitetsteorien er tid uadskillelig fra tre rumlige dimensioner og afhænger af observatørens hastighed [note 7] (se korrekt tid ).

Begrebet rum-tid har historisk set spillet en nøglerolle i skabelsen af den geometriske tyngdekraftsteori. Inden for rammerne af den generelle relativitetsteori er gravitationsfeltet reduceret til manifestationer af geometrien af firedimensionel rumtid, som i denne teori ikke er flad (gravitationspotentialet i den er identificeret med rum-tid metrikken ) .

Antallet af dimensioner, der er nødvendige for at beskrive universet, er ikke endeligt bestemt. Strengteori (superstrenge) krævede for eksempel 10 (tælletid), og nu endda 11 dimensioner (inden for M-teori ). Det antages, at de ekstra (uobserverbare) 6 eller 7 dimensioner er foldet ( komprimeret ) til Planck- dimensionerne, så de endnu ikke kan detekteres eksperimentelt. Det forventes dog, at disse målinger på en eller anden måde manifesterer sig på en makroskopisk skala. I sin ældste, bosoniske version, kræver strengteori en 26-dimensionel omgivende rumtid; det antages, at de "ekstra" dimensioner af denne teori også bør eller kan komprimeres først til 10, og dermed reduceres til teorien om superstrenge, og derefter, som nævnt her lidt højere, til 4 almindelige dimensioner.

Se også

Noter

Kommentarer

↑ I et rektangulært koordinatsystem forlader normal rotation cirklen uændret. I rumtid bevarer en hyperbolsk rotation den hyperbolske metriske værdi.
↑ Men ikke alle eksperimenter karakteriserer effekten i form af rødforskydning. For eksempel blev Ives-Stilwell eksperimentet valgtat måle tværgående blueshift ved hjælp af en Mössbauer-opsætning i midten af en centrifugerotor og en modtager på fælgen.
↑ Rapidity opstår naturligt som koordinater på en ren boost-generator inde i Lie-algebraen i Lorentz-gruppen. Tilsvarende opstår rotationsvinkler naturligt som koordinater (modulo 2 $\pi$ ) på en ren Lie-rotation i Lie-algebraen. (Sammen koordinerer de hele Lie-algebraen). Den bemærkelsesværdige forskel er, at de resulterende rotationer er periodiske i rotationsvinklen, og de resulterende accelerationer er ikke periodiske i hastighed (men snarere en-til-en). Ligheden mellem accelerationer og rotationer er en formel lighed.
↑ I relativitetsteorien er korrekt acceleration den fysiske acceleration (det vil sige accelerationen målt med et accelerometer), som et objekt oplever. Med andre ord er dette accelerationen i forhold til en frithængende eller inertiobservatør, som øjeblikkeligt er i hvile i forhold til det objekt, der måles.
↑ Newton selv var meget opmærksom på de iboende vanskeligheder med disse antagelser, men antagelser var den eneste måde, han kunne gøre fremskridt på. I 1692 skrev han til sin ven Richard Bentley: "Denne tyngdekraft skal være medfødt, iboende og essentiel for materien, så en krop kan virke på en anden på afstand, gennem et vakuum, uden formidling af noget andet, hvorigennem deres handlinger. og kraft kan overføres fra den ene til den anden, er så stor for mig, at jeg ikke tror, at ingen person, der er kompetent i filosofiske spørgsmål, nogensinde kan komme ind i det.
↑ Mere præcist forbinder gravitationsfeltet sig selv. I Newtonsk tyngdekraft er potentialet for to punktmasser simpelthen summen af potentialerne for de to masser, men dette er ikke tilfældet i den generelle relativitetsteori. Dette kan ses som et resultat af ækvivalensprincippet: Hvis tyngdekraften ikke koblede sig sammen med sig selv, ville to partikler bundet af deres indbyrdes tyngdekraft tiltrækning ikke have den samme inertimasse (på grund af den negative bindingsenergi) som deres tyngdekraftsmasse. [32] :112-113
↑ På trods af det faktum, at overgangen til et bevægeligt referencesystem formelt svarer til rotationen af akserne i Minkowski-rummet (og dette giver en enkel og kompakt måde at genberegne reelle fysiske størrelser på, det vil sige, at den har fuldstændig observerbar ikke-triviel fysiske konsekvenser!), men hvordan man ikke skal fortolke denne formelle analogi med rotation i det almindelige rum, pålægges der væsentlige fysiske begrænsninger for rotationer i rum-tid, som også bestemmer begrænsningerne for analogien af rum-tid med almindeligt euklidisk rum, selv hvis den er firedimensionel (det vil sige, hvad der er beskrevet i denne note er en anden side af den kvalitative forskel mellem rum-tid af relativitetsteorien fra "bare" fire-dimensionelle rum). Så inden for rammerne af den specielle relativitetsteori er det umuligt, og inden for rammerne af den generelle teori (hvor en pålidelig analyse af alle komplekse tilfælde er meget vanskelig) er det yderst tvivlsomt, en jævn kontinuerlig rotation af observatørens bevægelse i retningen for omvendt bevægelse i tid (hvorimod du i almindeligt rum kan dreje i alle retninger).

↑ Forskellige journalister, der ser scenarierne på dette billede, tolker dem forskelligt afhængigt af deres viden om situationen. (i) Den første reporter, i massecentret for partikler 2 og 3 , men uvidende om den store masse af 1 , konkluderer, at der eksisterer en frastødende kraft mellem partiklerne i scenarie A , mens der eksisterer en tiltrækningskraft mellem partiklerne i scenariet B . (ii) Den anden reporter, der er opmærksom på den store masse 1 , smiler over den første reporters naivitet. Denne anden reporter ved, at de tilsyneladende kræfter mellem partikler 2 og 3 i virkeligheden er tidevandseffekter som følge af deres differentielle tiltrækning til masse 1 . (iii) En tredje reporter uddannet i generel relativitetsteori ved, at der faktisk ikke er nogen kræfter, der virker mellem disse tre objekter. Mest sandsynligt bevæger alle tre objekter sig langs geodetik i rum-tid.

Kilder

↑ Mere præcist, næsten lige: faktisk i næsten enhver moderne formulering bevarer den tidsmæssige dimension en vis forskel fra den rumlige dimension, selvom dette ofte er forklædt. Denne forskel vises primært i signaturen af rumtidsmetrikken (se Minkowski-rum ).
↑ George Musser. Hvad er rum-tid? // I videnskabens verden . - 2018. - Nr. 8-9 . - S. 78-82 .
↑ Rynasiewicz, Robert. "Newtons syn på rum, tid og bevægelse" Arkiveret 11. december 2015. . Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Hentet 24. marts 2017.
↑ 1 2 3 4 Collier, Peter. En mest uforståelig ting: Noter mod en meget blid introduktion til relativitetsmatematikken (engelsk) . — 3. - Uforståelige bøger, 2017. - ISBN 9780957389465 .
↑ Rowland, Todd Manifold . Wolfram Mathworld . Wolfram Research. Hentet 24. marts 2017. Arkiveret fra originalen 13. marts 2017. (ubestemt)
↑ Fransk, A. P. Special Relativity. - Boca Raton, Florida : CRC Press , 1968. - s. 35-60. — ISBN 0748764224 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald. Rumtidsfysik : Introduktion til speciel relativitet . — 1. - San Francisco: Freeman, 1966. - ISBN 071670336X .
↑ Scherr, Rachel E.; Shaffer, Peter S.; Vokos, Stamatis. Elevernes forståelse af tid i speciel relativitet: Simultanitet og referencerammer (engelsk) // American Journal of Physics : journal. - 2001. - Juli ( bind 69 , nr. S1 ). - P.S24-S35 . - doi : 10.1119/1.1371254 . - . — arXiv : fysik/0207109 .
↑ Curtis, W.D.; Miller, F. R. Differentielle manifolder og teoretisk fysik . - Academic Press , 1985. - S. 223. - ISBN 978-0-08-087435-7 . Uddrag af side 223 Arkiveret 13. juni 2020 på Wayback Machine
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Schutz, Bernard. Gravity from the Ground Up: An Introductory Guide to Gravity and General Relativity (engelsk) . — Genoptryk. - Cambridge: Cambridge University Press , 2004. - ISBN 0521455065 .
↑ Curiel, Erik; Bokulich, Peter Lightcones og kausal struktur . Stanford Encyclopedia of Philosophy . Metaphysics Research Lab, Stanford University. Hentet 26. marts 2017. Arkiveret fra originalen 17. maj 2019. (ubestemt)
↑ Savitt, Steven Being and Becoming in Modern Physics. 3. Den særlige relativitetsteori . Stanford Encyclopedia of Philosophy . Metaphysics Research Lab, Stanford University. Hentet 26. marts 2017. Arkiveret fra originalen 11. marts 2017. (ubestemt)
↑ 1 2 3 4 5 6 Schutz, Bernard F. Et første kursus i generel relativitetsteori. - Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press , 1985. - S. 26. - ISBN 0521277035 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Weiss, Michael Tvillingparadokset . Ofte stillede spørgsmål om fysik og relativitet . Hentet 10. april 2017. Arkiveret fra originalen 27. april 2017. (ubestemt)
↑ Mould, Richard A. Grundlæggende relativitet . — 1. - Springer, 1994. - S. 42. - ISBN 9780387952109 .
↑ Lerner, Lawrence S. Physics for Scientists and Engineers, bind 2 . — 1. - Jones & Bartlett Pub, 1997. - S. 1047. - ISBN 9780763704605 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Bais, Sander. Meget speciel relativitet: en illustreret vejledning . - Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press , 2007. - ISBN 067402611X .
↑ Forshaw, Jeffrey; Smith, Gavin. Dynamik og relativitet . - John Wiley & Sons , 2014. - S. 118. - ISBN 9781118933299 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Morin, David. Særlig relativitetsteori for den entusiastiske begynder . — CreateSpace Independent Publishing Platform, 2017. - ISBN 9781542323512 .
↑ Landau, L.D.; Lifshitz, E. M. The Classical Theory of Fields, Kursus for teoretisk fysik, bind 2 . — 4. - Amsterdam: Elsevier , 2006. - S. 1-24. — ISBN 9780750627689 .
↑ Rose, HH Optik af højtydende elektronmikroskoper // Videnskab og teknologi for avancerede materialer : tidsskrift . - 2008. - 21. april ( bind 9 , nr. 1 ). — P. 014107 . - doi : 10.1088/0031-8949/9/1/014107 . - . Arkiveret fra originalen den 3. juli 2017.
↑ Griffiths, David J. Revolutions in Twentieth-Century Physics . - Cambridge: Cambridge University Press , 2013. - S. 60. - ISBN 9781107602175 .
↑ Byers, Nina (1998), E. Noethers opdagelse af den dybe forbindelse mellem symmetrier og bevarelseslove, arΧiv : physics/9807044 .
↑ Nave, R. Energetics of Charged Pion Decay . hyperfysik . Institut for Fysik og Astronomi, Georgia State University. Hentet 27. maj 2017. Arkiveret fra originalen 21. maj 2017. (ubestemt)
↑ Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel; Giordano, Frank R. Thomas' Calculus: Early Transcendentals . — Elvte. — Boston: Pearson Education, Inc., 2008. - S. 533 . — ISBN 0321495756 .
↑ Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald. rumtidsfysik. — 2. — W. H. Freeman, 1992. - ISBN 0716723271 .
↑ 1 2 Gibbs, Philip Kan Special Relativity Håndtere Acceleration? . Ofte stillede spørgsmål om fysik og relativitet . math.ucr.edu. Hentet 28. maj 2017. Arkiveret fra originalen 7. juni 2017. (ubestemt)
↑ Franklin, Jerrold. Lorentz sammentrækning, Bells rumskibe og stiv kropsbevægelse i speciel relativitet (engelsk) // European Journal of Physics : tidsskrift. - 2010. - Bd. 31 , nr. 2 . - S. 291-298 . - doi : 10.1088/0143-0807/31/2/006 . - . - arXiv : 0906.1919 .
↑ Lorentz, H.A.; Einstein, A.; Minkowski, H.; Weyl, H. Relativitetsprincippet: En samling af originale erindringer om den særlige og generelle relativitetsteori (engelsk) . - Dover Publications , 1952. - ISBN 0486600815 .
↑ 1 2 3 Mook, Delo E.; Vargish, Thomas s. Indre relativitet. - Princeton, New Jersey: Princeton University Press , 1987. - ISBN 0691084726 .
↑ Mester, John Eksperimentelle test af generel relativitet . Laboratoire Univers og Theories. Hentet 9. juni 2017. Arkiveret fra originalen 9. juni 2017. (ubestemt)
↑ 1 2 Carroll, Sean M. (2. december 1997), Lecture Notes on General Relativity, arΧiv : gr-qc/9712019 .
↑ Le Verrier, Urban. Lettre de M. Le Verrier à M. Faye sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète (fransk) // Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences :magasin. - 1859. - Bd. 49 . - s. 379-383 .
↑ Worrall, Simon Jagten på Vulcan, planeten der ikke var der . National Geographic . National geografi. Hentet 12. juni 2017. Arkiveret fra originalen 24. maj 2017. (ubestemt)
↑ Levine, Alaina G. 29. maj 1919: Eddington observerer solformørkelse for at teste generel relativitet . APS-nyheder: Denne måned i fysikhistorie . American Physical Society. Hentet 12. juni 2017. Arkiveret fra originalen 2. juni 2017. (ubestemt)
↑ Hobson, MP; Efstathiou, G.; Lasenby, AN Generel relativitetsteori. - Cambridge: Cambridge University Press , 2006. - s. 176-179. — ISBN 9780521829519 .
↑ Thorne, Kip S. Near zero: New Frontiers of Physics / Fairbank, JD; Deaver Jr., B.S.; Everitt, WF; Michelson, P.F. — W. H. Freeman og Kompagni, 1988. - S. 573-586.
↑ Feynman, R.P.; Leighton, R.B.; Sands, M. The Feynman Lectures on Physics, vol. 2 . — Nyt årtusinde. - Grundbøger , 1964. - S. 13-6 til 13-11. — ISBN 9780465024162 .
↑ Williams, RK Udtrækker røntgenstråler, Ύ-stråler og relativistiske e − –e + par fra supermassive Kerr-sorte huller ved hjælp af Penrose-mekanismen // Physical Review D : journal . - 1995. - Bd. 51 , nr. 10 . - P. 5387-5427 . - doi : 10.1103/PhysRevD.51.5387 . - . — PMID 10018300 .
↑ Williams, RK Kollimerede undslippende hvirvelpolære e − –e + jetfly, der iboende produceres af roterende sorte huller og Penrose-processer // The Astrophysical Journal : journal. - IOP Publishing , 2004. - Vol. 611 , nr. 2 . - P. 952-963 . - doi : 10.1086/422304 . - . — arXiv : astro-ph/0404135 .
↑ Kuroda, Takami; Kotake, Kei; Takiwaki, Tomoya. Fuldstændig generelle relativistiske simuleringer af Core-Collapse Supernovae med en omtrentlig neutrinotransport // The Astrophysical Journal : tidsskrift. - IOP Publishing , 2012. - Vol. 755 . — S. 11 . - doi : 10.1088/0004-637X/755/1/11 . — . - arXiv : 1202.2487 .
↑ Wollack, Edward J. Kosmologi: Studiet af universet . Univers 101: Big Bang Theory . NASA (10. december 2010). Hentet 15. april 2017. Arkiveret fra originalen 14. maj 2011. (ubestemt)
↑ 1 2 Bondi, Hermann. The Role of Gravitation in Physics: Rapport fra 1957 Chapel Hill Conference / DeWitt, Cecile M.; Rickles, Dean. - Berlin: Max Planck Research Library, 1957. - S. 159-162. — ISBN 9783869319636 .
↑ Crowell, Benjamin. Generel relativitet . - Fullerton, CA: Light and Matter, 2000. - S. 241-258.
↑ Kreuzer, LB Eksperimentel måling af ækvivalensen af aktiv og passiv gravitationsmasse // Physical Review : journal . - 1968. - Bd. 169 , nr. 5 . - S. 1007-1011 . - doi : 10.1103/PhysRev.169.1007 . - .
↑ Will, CM Aktiv masse i relativistisk tyngdekraft-Teoretisk fortolkning af Kreuzer-eksperimentet // The Astrophysical Journal : journal. - IOP Publishing , 1976. - Vol. 204 . - S. 224-234 . - doi : 10.1086/154164 . - .
↑ Bartlett, D.F.; Van Buren, Dave. Ækvivalens af aktiv og passiv gravitationsmasse ved brug af månen // Phys . Rev. Lett. : journal. - 1986. - Bd. 57 , nr. 1 . - S. 21-24 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.57.21 . - . — PMID 10033347 .
↑ Gravity Probe B: FAQ . Hentet 2. juli 2017. Arkiveret fra originalen 2. juni 2018. (ubestemt)
↑ Gugliotta, G. . Vedholdenhed betaler sig for en test af relativitet i rummet , New York Times (16. februar 2009). Arkiveret fra originalen den 3. september 2018. Hentet 2. juli 2017.
↑ Gravity Probe B Science Results—NASA Final Report (PDF) (2009). Hentet 2. juli 2017. Arkiveret fra originalen 12. april 2017. (ubestemt)
↑ Everitt et al. Tyngdekraftsonde B: Endelige resultater af et rumeksperiment for at teste generel relativitet (engelsk) // Physical Review Letters : journal. - 2011. - Bd. 106 , nr. 22 . — S. 221101 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.106.221101 . - . - arXiv : 1105.3456 . — PMID 21702590 .
↑ Ciufolini, Ignazio; Paolozzi, Antonio Rolf Koenig; Pavlis, Ericos C.; Koenig, Rolf. En test af generel relativitet ved hjælp af LARES og LAGEOS satellitterne og en GRACE Earth gravitation model // Eur Phys JC Part Fields : journal. - 2016. - Bd. 76 , nr. 3 . — S. 120 . - doi : 10.1140/epjc/s10052-016-3961-8 . — . - arXiv : 1603.09674 . — PMID 27471430 .
↑ Iorio, L. En kommentar til "En test af generel relativitet ved hjælp af LARES- og LAGEOS-satellitterne og en GRACE Earth-tyngdekraftsmodel. Måling af Jordens slæbning af inertiale rammer," af I. Ciufolini et al . // The European Physical Journal C : journal. - 2017. - Februar ( bind 77 , nr. 2 ). — S. 73 . - doi : 10.1140/epjc/s10052-017-4607-1 . — . - arXiv : 1701.06474 .
↑ Cartlidge, Edwin Underjordiske ringlasere vil sætte den generelle relativitet på prøve . physicsworld.com . Institut for Fysik. Hentet 2. juli 2017. Arkiveret fra originalen 12. juli 2017. (ubestemt)
↑ Einstein bruger de mest følsomme jordrotationssensorer, der nogensinde er lavet . Phys.org . videnskab x netværk. Hentet 2. juli 2017. Arkiveret fra originalen 10. maj 2017. (ubestemt)
↑ Murzi, Mauro Jules Henri Poincaré (1854-1912) . Internet Encyclopedia of Philosophy (ISSN 2161-0002). Hentet 9. april 2018. Arkiveret fra originalen 23. december 2020. (ubestemt)
↑ Deser, S. Self-Interaction and Gauge Invariance // Generel relativitet og gravitation : tidsskrift . - 1970. - Bd. 1 , nr. 18 . - S. 9-8 . - doi : 10.1007/BF00759198 . - . - arXiv : gr-qc/0411023 .
↑ Grishchuk, L.P.; Petrov, A.N.; Popova, AD Præcis teori om (Einstein) gravitationsfelt i en vilkårlig baggrund Rum-tid // Kommunikation i matematisk fysik : journal. - 1984. - Bd. 94 . - s. 379-396 . - doi : 10.1007/BF01224832 . — .
↑ Rosen, N. Generel relativitet og fladt rum I // Fysisk gennemgang : tidsskrift . - 1940. - Bd. 57 , nr. 2 . - S. 147-150 . - doi : 10.1103/PhysRev.57.147 . - .
↑ Weinberg, S. Derivation of Gauge Invariance and the Equivalence Principle from Lorentz Invariance of the S-Matrix // Physics Letters : journal. - 1964. - Bd. 9 , nr. 4 . - S. 357-359 . - doi : 10.1016/0031-9163(64)90396-8 . - .
↑ Thorne, Kip. Black Holes & Time Warps: Einsteins skandaløse arv. - W.W. Norton & Company , 1995. - ISBN 978-0393312768 .
↑ Hermann Minkowski, " Raum und Zeit ", 80. Versammlung Deutscher Naturforscher (Köln, 1908). Udgivet i Physikalische Zeitschrift 10 104-111 (1909) og Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 18 75-88 (1909).
↑ Værker af V. I. Arnold , især "Matematiske metoder for klassisk mekanik".
↑ Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderne geometri: metoder og anvendelser. T. 1-3. Ed. 6. — M.: URSS, 2013.

Links

Rum og tid - Physical Encyclopedia
Penrose, Roger. Vejen til virkeligheden. - Oxford: Oxford University Press, 2004. - ISBN 0-679-45443-8 .
Taylor, EF Spacetime Physics, anden udgave / EF Taylor, Wheeler, John. - Internetarkiv: WH Freeman, 1992. - ISBN 0-7167-2327-1 .

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNE : XX527285 BNF : 13319358m GND : 4302626-6 J9U : 987007563383905171 LCCN : sh85125911 NDL : 00574722 NKC : ph128086 SUDOC : 028669657

Dimension af rummet
Rum efter dimension	Nuldimensional endimensionel 2D 3D fire dimensionelle femdimensional Seksdimensional Syvdimensional oktal Ni-dimensional n-dimensionelle Negativ dimension
Polytoper og figurer	Simplex hyperkube tesseract Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkube Cross-polytope hypersfære
Typer af rum	et endeligt dimensionelt rum Euklidisk rum affint rum projektivt rum Gratis modul Manifold Dimension af en algebraisk variabel rumtid
Andre dimensionelle begreber	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Fraktionel dimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader af frihed
Matematik

Måleenheder og tidsstandarder
Videnskab Fysik Historie kronologi Astronomi Geologi Palæontologi
Basale koncepter	Tid Tidtagning Værdiskala (tid) tidsstandard
Internationale standarder	Koordineret universaltid (UTC) Universal Time (UT) International Atomtid (TAI) ISO 31-1 DUT1 spring sekund International Earth Rotation Service (IERS) Jordtid (TT) Geocentrisk koordinattid (TCG) Barycentrisk koordinattid (TCB) civil tid 12 timers tidsformat 24 timers tidsformat ISO 8601 Dato linje lokal soltid Tidszone Sommertid standard tid
Forældede standarder	efemerisk tid Barycentric Dynamic Time (TDB) Greenwich Mean Time (GMT) Greenwich meridian
Tid	rumtid Chronon Kosmologisk årti Planck æra Planck tid T-symmetri relativitetsteori Tidsnedgang Reference system tid egen tid tidsdomæne kontinuerlig tid diskret tid Absolut tid og rum Tidsligning
Kigge på	Astrarium atomur Timeglas Kronometer Radioure Solur Armbåndsur vand ur Se historie
Kalenderse listen	Astronomisk Julian Ny Julian gregoriansk islamisk lunisolar Solar Lunar Epakta Interkalation Skudår fælles år tropisk år Equinox Solhverv syv dages uge Navne på ugens dage Algoritme til beregning af ugedagen Vrutseleto
Arkæologi og geologi	International Stratigraphic Commission Geologisk skala Dating i arkæologi
Tidslinje i astronomi	siderisk tid Galaktisk år
Tidsenheder	Ryste Tredje Sekund Minut Time Dag En uge Årti fortnite Måned Kvarter halvt år År lysekrone Årti anklage Århundrede Seculum Millennium
se også	Kronologi Varighed System tid Metrisk tid Mental tid Tidtager Sommertid