Bells paradoks

Bells paradoks er et af de velkendte relativistiske paradokser i den særlige relativitetsteori . I den mest berømte version af John Stuart Bell selv [1] opstår paradokset, når man overvejer et tankeeksperiment , der omfatter to rumskibe, der accelererer i samme retning og forbinder dem med en streng strakt til det yderste (det ene skib flyver strengt foran det andet , det vil sige, at accelerationen er rettet langs strengen). Hvis skibene begynder at accelerere synkront, vil afstanden mellem dem i referencerammen, der ledsager skibene, begynde at stige, og strengen vil bryde . På den anden side, i referencerammen, hvor skibene først var i hvile, øges afstanden mellem dem ikke, og strengen bør derfor ikke knække . Hvilket synspunkt er korrekt? Ifølge relativitetsteorien er den første brud på en streng.

Kronologisk set er den første omtale af paradokset indeholdt i arbejdet af E. Dewan og M. Beran i 1959 [2] , som betragtede resultatet af et sådant tankeeksperiment som en bekræftelse af virkeligheden af den relativistiske sammentrækning af kroppe .

En tilstrækkelig detaljeret forklaring af effekten af et kabelbrud, der forbinder synkront accelererende raketter, blev givet af den sovjetiske fysiker D. V. Skobeltsyn i sin bog "Tvillingparadoks i relativitetsteorien". Bogen blev skrevet i 1959 og udgivet i 1966 [3] .

Bells tankeeksperiment

I Bells version er to rumskibe, som i første omgang hviler i forhold til en eller anden inerti referenceramme (ISR) , forbundet med en streng strakt til det yderste. Ved nultid ifølge uret for den tilsvarende ISO begynder begge skibe at accelerere med deres egen konstante acceleration , målt med accelerometre placeret om bord på hvert skib . Spørgsmålet er, om snoren knækker? $g$

I overensstemmelse med udtalelsen fra Dewan og Beran samt Bell vil afstanden mellem dem i referencerammen, hvori skibene oprindeligt var i ro, forblive uændret, men længden af strengen vil opleve en relativistisk sammentrækning, således at på et tidspunkt vil strengen knække. I Bells formulering er dette repræsenteret som følger [4] :

Tre små rumraketter, A, B og C, driver frit i et område af rummet fjernt fra resten af stoffet, uden rotation og uden relativ bevægelse, med B og C lige langt fra A (fig. 1).

Ved modtagelse af et signal fra A startes motor B og C, og raketterne begynder at accelerere jævnt (fig. 2). Lad raket B og C være identiske og have identiske accelerationsprogrammer. Så (ifølge observatøren ved A) vil de have den samme hastighed i hvert tidspunkt og dermed forblive forskudt i forhold til hinanden med den samme afstand.

Antag, at B og C fra begyndelsen er forbundet med en tynd tråd (fig. 3). Og hvis tråden først er lang nok til at dække den nødvendige afstand, vil den blive kortere, når raketterne accelererer, da den gennemgår Fitzgerald-sammentrækning og til sidst knækker. Den bør gå i stykker, når den kunstige forebyggelse af naturlig kompression med tilstrækkelig høj hastighed fører til en uacceptabel spænding.

Er det sandt? Dette gamle problem var engang genstand for diskussion i spisestuen på CERN. En respekteret eksperimentel fysiker nægtede at acceptere, at tråden ville briste, og afviste min tro på det modsatte som min egen misforståelse af speciel relativitet. Vi besluttede at ansøge CERNs teoriafdeling om voldgift og lavede en (ikke særlig systematisk) meningsmåling om dette spørgsmål. Der var en klar konsensus om, at tråden ikke ville knække! Selvfølgelig kommer mange, der giver dette forkerte svar i starten, efter nogle overvejelser til det rigtige. De føler sig som regel tvunget til at se, hvordan det hele ser ud for en iagttager B eller C. De oplever, at B for eksempel ser C længere og længere bagud, så et givent stykke tråd ikke længere kan dække afstanden mellem dem. Først efter at have gjort dette, og måske med en resterende følelse af ubehag, når disse mennesker til sidst frem til en konklusion, der er ret triviel fra A's synspunkt, givet Fitzgerald-sammentrækningen. Mit indtryk er, at de med en mere klassisk uddannelse, som kender nogle af Larmors, Lorentz og Poincarés og Einsteins ræsonnementer, har en stærkere og mere pålidelig intuition.

Der blev rejst indvendinger mod denne løsning af problemet, som så til gengæld blev udsat for kritik. For eksempel foreslog Paul Nawrocki, at strengen ikke skulle knække [ 5] , mens Edmond Dewan forsvarede sit oprindelige synspunkt i et svarpapir [ 6] . Bell skrev, at han mødtes med den beherskede skepsis fra "en velkendt eksperimentator" som svar på hans udlægning af paradokset. For at løse tvisten blev der afholdt et uformelt møde i CERNs teoretiske afdeling . Bell oplyser, at afdelingens "klare konsensus" var, at strengen ikke måtte knække. Bell tilføjer yderligere: "Selvfølgelig fik mange mennesker, der først fik det forkerte svar, til det rigtige svar ved yderligere ræsonnementer" [1] . Senere, i 2004 , skrev Matsuda og Kinoshita [7] , at et papir, de publicerede i et japansk tidsskrift, indeholdende en uafhængigt genopdaget version af paradokset, blev stærkt kritiseret. Forfatterne citerer dog ikke kritiske værker, idet de kun angiver, at de er skrevet på japansk.

Analyse baseret på den ikke-relativistiske bevægelsesligning

I yderligere analyse vil vi betragte rumskibe som punktlegemer og kun overveje længden af strengen. Analysen refererer til det tilfælde, hvor skibene slukker deres motorer efter et vist tidsrum . Galileiske koordinater vil blive brugt i alle inerti -referencerammer . $T$

I overensstemmelse med præsentationen af Dewan og Beran, såvel som Bell, i referencerammen for "lanceringssteder" (i forhold til hvilke skibene hvilede før start af motorerne, og som vi vil kalde CO ), afstanden mellem skibene skal forblive konstant " per definition ". $S$ $L$ $EN$ $B$

Dette kan illustreres som følger. Skibes forskydning i forhold til deres udgangspositioner - langs CO - aksen - som funktion af tiden kan skrives som . Denne funktion afhænger generelt af motorernes trykfunktion, men det er vigtigt, at den er ens for begge rumfartøjer. Derfor vil hvert skibs position som funktion af tid være: $x$ $S$ $f(t)$

x_{A}=a_{0}+f(t),\quad x_{B}=b_{0}+f(t),

hvor

f(t)

for er lig med 0 og er kontinuert for alle værdier af ;

t<0

t

x_{A}

- position ( -koordinat) af skibet ;

x

EN

x_B

- position ( -koordinat) af skibet ;

x

B

a_{0}

er skibets position ved ;

EN

t=0

b_{0}

er skibets position kl .

B

t=0

Heraf, som er en konstant værdi, der ikke afhænger af tid. Dette argument er gyldigt for alle typer synkron bevægelse. $x_{A}-x_{B}=a_{0}-b_{0}$

Kendskab til det detaljerede billede er således ikke nødvendigt for yderligere analyse. Bemærk dog, at formen for konstant korrekt acceleration er velkendt (se hyperbolsk bevægelse ). $f(t)$ $f(t)$

Ser man på rum-tid diagrammet (til højre), kan man se, at rumskibe vil stoppe med at accelerere i begivenheder og , som er samtidige i CO . Det er også indlysende, at disse begivenheder ikke er samtidige i den CO, der ledsager skibene. Dette er et eksempel på relativiteten af samtidighed . $EN'$ $B'$ $S$

Fra det foregående er det klart, at længden af linjen er lig med længden , som igen falder sammen med den indledende afstand mellem skibene. Det er også indlysende, at hastighederne af skibene og i CO efter afslutningen af den accelererede bevægelsesfase er lig med . Endelig vil den korrekte afstand mellem rumfartøjet efter afslutningen af fasen med accelereret bevægelse være lig med afstanden i den ledsagende IFR og lig med længden af linjen . Denne linje er en linje med konstant -tidskoordinater for den medfølgende referenceramme, som er forbundet med koordinater i CO ved Lorentz-transformationer : $A'B'$ $AB$ $L$ $EN$ $B$ $S$ $v$ $EN$ $B$ $A'B''$ $t'$ $S$

t'={\frac {\left(t-vx/c^{2}\right)}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}.

$A'B''$ repræsenterer en linje taget samtidigt med hensyn til rumskibenes SS, det vil sige, for dem, en rent rumlig. Da intervallet er invariant under CO-transformationer, kan det beregnes i en hvilken som helst passende referenceramme, i dette tilfælde i . $S$

Matematisk, gennem koordinater i CO, er ovenstående betragtninger skrevet som følger: $S$

t_{{B'}}=t_{{A'}}\,,

x_{B}-x_{A}=x_{{B'}}-x_{{A'}}=L\,,

x_{{B''}}-x_{{B'}}=v\left(t_{{B''}}-t_{{B'}}\right),

t_{{B''}}-{\frac {v}{c^{2}}}x_{{B''}}=t_{{A'}}-{\frac {v}{c^{ 2}}}x_{{A'}}\,,

\overline {A'B''}={\sqrt {\left(x_{{B''}}-x_{{A'}}\right)^{2}-c^{2}\left(t_ {{B''}}-t_{{A'}}\right)^{2}}}\,.

Ved at indføre hjælpevariable

H=t_{{B''}}-t_{{B'}}=t_{{B''}}-t_{{A'}}\,,

W=x_{{B''}}-x_{{B'}}\,,

og bemærker det

W+L=x_{{B''}}-x_{{B'}}+x_{{B'}}-x_{{A'}}=x_{{B''}}-x_{{A '}}\,,

du kan omskrive ligningen som

W=vH\qquad H={\frac {v}{c^{2}}}\left(W+L\right)\qquad \overline {A'B''}={\sqrt {\left(W +L\højre)^{2}-c^{2}H^{2}}}

og løse det:

\overline {A'B''}={\frac {L}{{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.

Følgelig, når der beskrives i den kommende referenceramme, øges afstanden mellem skibene med en faktor. Da snoren ikke kan strækkes sådan, vil den knække. $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}$

På baggrund af disse resultater kom Bell til den konklusion, at relativitetsteorien skulle revideres. Han bemærkede, at den relativistiske sammentrækning af kroppe, såvel som fraværet af sammentrækning i afstandene mellem rumskibe i det overvejede tankeeksperiment, kan forklares dynamisk ved hjælp af Maxwells ligninger. Forvrængning af intermolekylære elektromagnetiske felter forårsager sammentrækning af bevægelige legemer - eller spændinger i dem, hvis deres sammentrækning forhindres. Men disse kræfter virker ikke mellem skibe.

Relativistisk løsning af problemet

Det relativistiske problem med bevægelser af kroppe med lige accelerationer tiltrak sig forskernes opmærksomhed længe før Bells paradoks dukkede op. I 1907 viste Einstein [8] , der startede den relativistiske teori om tyngdekraften, at tiden flyder anderledes i accelererede systemer. Således forudsagde Einstein gennem ækvivalensprincippet den gravitationelle rødforskydning . Især i en "ensartet accelereret ramme" eller, hvad der er det samme, i en ensartet accelereret referenceramme, afhænger tidshastigheden af afstanden : ${\tekststil \delta =x_{B}-x_{A}}$

τ = e g δ c 2 , {\displaystyle \tau =e^{g\delta \over c^{2)),}

\tau =e^{g\delta \over c^{2)),

hvor g er accelerationen af punkterne.

Relativistisk ligning for bevægelse af et legeme [9] med masse m under påvirkning af en kraft ${\textstyle F_{x}}$

m c 2 d 2 x d s 2 = F x , {\displaystyle mc^{2}{d^{2}x \over ds^{2}}=F_{x},}

mc^{2}{d^{2}x \over ds^{2}}=F_{x},

og intervallet er proportionalt med korrekt tid. Den korrekte tid (aflæsninger af det indbyggede standardur på raketten) bestemmes af rakettens bevægelse og kan ikke ændres på nogen måde. Synkroniser for eksempel med et "stationært" ur.

{\textstyle s=c\tau }

I krumlinjede koordinater anvendes metoder fra den generelle relativitetsteori. For at beskrive din egen ikke-inertielle referenceramme er det nødvendigt at anvende kovariant differentiering

m c 2 D u x d s = F x , {\displaystyle mc^{2}{Du^{x} \over ds}=F^{x},}

mc^{2}{Du^{x} \over ds}=F^{x},

Ydermere er bevægelsen i gravitationsfeltet beskrevet af ligningen (geodesisk ligning) [9] .

{\textstyle Du^{x}=0}

Hvis vi har brug for at kende accelerationen af et punkt i det tredimensionelle rum, så ser det tilsvarende udtryk i generelle termer ret kompliceret ud [10] . Men i sin egen referenceramme (punkternes hastighed er nul) udtrykkes accelerationen ganske enkelt:

d 2 x jeg d t 2 = c 2 Γ 00 jeg . {\displaystyle {d^{2}x^{i} \over dt^{2}}=c^{2}\Gamma _{00}^{i}.}

{d^{2}x^{i} \over dt^{2}}=c^{2}\Gamma _{00}^{i}.

Bells beregninger og lignende beregninger gælder således ikke for accelererede systemers relativistiske fysik. Det nøjagtige svar kan opnås ved hjælp af metoderne i den generelle relativitetsteori. Bells problem kan dog også løses direkte ud fra principperne i relativitetsteorien.

Strengt taget, baseret på lysets hastigheds konstanthed, blev problemet med relativistisk bevægelse af kroppe med samme acceleration løst af Harry Lass i 1963 [11] . Lass løste det endimensionelle problem med et ensartet accelereret system ved hjælp af princippet om lysets hastigheds konstanthed. Lass betragtede en referenceramme, der accelererer langs en akse i forhold til et inertikoordinatsystem . Yderligere, idet vi postulerede , og (lyskoordinathastigheden er en invariant), opnåede vi transformationen $O'XYZ$ $x$ $Oxyz$ $dX/dT=\pm c$ $dx/dt=\pm c$

x = c 2 g [ e g x / c 2 kontanter ⁡ g T c − en ] {\displaystyle x={\frac {c^{2}}{g}}\left[e^{gX/c^{2}}\cosh {\frac {gT}{c}}-1\right] }

x={\frac {c^{2}}{g}}\left[e^{gX/c^{2}}\cosh {\frac {gT}{c}}-1\right]

og t = c g e g x / c 2 sinh ⁡ g T c . {\displaystyle t={\frac {c}{g}}e^{gX/c^{2}}\sinh {\frac {gT}{c}}.}

t={\frac {c}{g}}e^{gX/c^{2}}\sinh {\frac {gT}{c}}.

Lass' løsning svarer til Einsteins løsning for ure i et ensartet accelereret system, og hans acceleration er faktisk konstant .

{\tekststil \Gamma _{00}^{i}=g/c^{2}}

Hvis raketterne i Bell-problemet stoppes, det vil sige taget , vil afstanden mellem dem altid være fast: ${\textstyle T=0}$

L | T = 0 = c 2 g ( e g x B / c 2 − e g x EN / c 2 ) . {\displaystyle L|_{T=0}={\frac {c^{2}}{g}}\left(e^{gX_{B}/c^{2}}-e^{gX_{A }/c^{2}}\right).}

L|_{T=0}={\frac {c^{2}}{g}}\left(e^{gX_{B}/c^{2}}-e^{gX_{A }/c^{2}}\right).

Fra denne ligning viser det sig, at afstanden mellem raketterne i inertierammen er reduceret i overensstemmelse med Lorentz-loven: x B − x EN = en − v 2 / c 2 L . {\displaystyle x_{B}-x_{A}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}L.}

x_{B}-x_{A}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}L.

Paradokset er blevet løst. Lige accelererende raketter holder afstanden i deres egen referenceramme. Desuden ser den "faste" observatør den sædvanlige Lorentz-sammentrækning.

Se også

Noter

↑ 1 2 Bell, JS Talelig og uudsigelig i kvantemekanik (ubestemt) . - Cambridge: Cambridge University Press , 1987. Bemærkelsesværdig bog, der indeholder et genoptryk af Bells originale artikel fra 1976 .
↑ Dewan, E.; Beran, M. Notat om stresseffekter på grund af relativistisk kontraktion // American Journal of Physics : tidsskrift. - American Association of Physics Teachers , 1959. - 20. marts ( vol. 27 , nr. 7 ). - s. 517-518 . - doi : 10.1119/1.1996214 . (utilgængeligt link)
↑ Skobeltsyn D.V. Tvillingparadokset i relativitetsteorien. — M.: Nauka, 1966. — S. 72.
↑ Bell, John. Hvordan man underviser i speciel relativitet (neopr.) .
↑ Nawrocki, Paul J. Stresseffekter på grund af relativistisk kontraktion // American Journal of Physics : tidsskrift. - 1962. - Oktober ( bind 30 , nr. 10 ). - s. 771-772 . - doi : 10.1119/1.1941785 . (utilgængeligt link)
↑ Dewan, Edmond M. Stress Effects due to Lorentz Contraction // American Journal of Physics : journal. - 1963. - Maj ( bind 31 , nr. 5 ). - s. 383-386 . - doi : 10.1119/1.1969514 . (utilgængeligt link)
↑ Matsuda, Takuya; & Kinoshita, Atsuya. A Paradox of Two Space Ships in Special Relativity (neopr.) // AAPPS Bulletin. - 2004. - T. februar . — S.? . trykt version
↑ Einstein, A. Om relativitetsprincippet og dets konsekvenser. Russisk oversættelse, se A. Einstein. Samling af videnskabelige artikler, bind 1. - M., Nauka forlag, 1965.
↑ 1 2 Landau LD, Lifshitz EM The Classical Theory of Fields Vol. 2 (4. udgave). Butterworth-Heinemann (1975).
↑ Sazhin M V Generel relativitetsteori for astronomer. URL: http://www.astronet.ru/db/msg/1170927 Arkivkopi dateret 20. juli 2018 på Wayback Machine , s. 8.2.1.
↑ Lass, H. Accelerating Frames of Reference and the Clock Paradox , American Journal of Physics, Vol. 31, s. 274-276, 1963.

Links

Gershtein S. S. , Logunov A. A. " J. S. Bells problem " (IHEP preprint 1996)
Gershtein S. S., Logunov A. A. J. Bells problem // Fysik af elementarpartikler og atomkernen . - 1998. - T. 29 , udg. 5 . - S. 463-468 .
Michael Weiss, Bell's Spaceship Paradox (1995 ) , USENET Relativity FAQ
Austin Gleeson, Course Notes Kapitel 13 Se afsnit 4.3
JH Field, [1] (link ikke tilgængeligt )
Romain, JE En geometrisk tilgang til relativistiske paradokser //

Am . J Phys. : journal. - 1963. - Bd. 31 . - S. 576-579 . (Engelsk)

Hsu, Jong-Ping; & Suzuki. Udvidede Lorentz-transformationer til accelererede rammer og løsningen af "Two-Spaceship Paradox" // AAPPS Bulletin : journal. - 2005. - Bd. oktober . — P.? . trykt udgave. (link ikke tilgængeligt )

Redžić DV(2010) "Relativistisk langvarig smerte fortsatte" (engelsk)

Foukzon J., Podosyonov SA, Potapov AA, (2009), "Relativistisk længdeudvidelse i generel accelereret system revisited" . (Engelsk)

Podosyonov SA, Foukzon J. og Potapov AA, (2010) "A Study of Motion of a Relativistic Continuous Medium" ,

Gravitation and Cosmology, 2010, bind 16, nr. 4, s. 307-312. ISSN 0202-2893, http://www.springerlink.com/content/j8kr55831h411365/ ( utilgængeligt link)