Lorentz-gruppens repræsentationsteori

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. april 2022; checks kræver 2 redigeringer .

Lorentz-gruppen er Lie -gruppen af rumtidssymmetrier i speciel relativitet . Denne gruppe kan implementeres som et sæt af matricer , lineære transformationer eller enhedsoperatorer på et eller andet Hilbert-rum . Gruppen har forskellige holdninger . I enhver relativistisk invariant fysisk teori bør disse ideer på en eller anden måde afspejles [nb 1] . Fysikken selv skal laves på deres grundlag. Desuden er speciel relativitet sammen med kvantemekanik to fysiske teorier, der er blevet omhyggeligt testet [nb 2] og foreningen af disse to teorier reducerer til studiet af uendelig-dimensionelle enhedsrepræsentationer af Lorentz-gruppen. Dette er både af historisk betydning i den almindelige teoretiske fysik og linker til mere spekulative aktuelle teorier .

En komplet teori om endelig-dimensionelle repræsentationer af Lie-algebraen i Lorentz-gruppen er afledt ved hjælp af den generelle ramme for repræsentationsteorien for semisimple Lie-algebraer . Finitdimensionelle repræsentationer af den forbundne komponent af den fulde Lorentz-gruppe O(3; 1) opnås ved at bruge Lie-korrespondancen og matrixeksponenten . En komplet teori om endelig-dimensionelle repræsentationer af den universelle dækkende gruppe (såvel som spinorgruppen , dobbeltdækning) af komponenten er opnået og eksplicit givet i form af handlingen på funktionernes rum på repræsentationerne af komponenten grupper og . Tidsvending og rumvendende repræsentationer er givet i Space Inversion og Time Reversal , hvilket fuldender den endelige dimensionelle teori for den fulde Lorentz-gruppe. De generelle egenskaber ved repræsentationer ( m , n ) er kort angivet . Handlinger på funktionsrum betragtes med handlinger på sfæriske harmoniske og Riemann P-symboler som eksempler. Det uendelige dimensionelle tilfælde af irreducerbare enhedsrepræsentationer er specificeret for hovedserien og yderligere serier . Til sidst er Plancherel-formlen for givet, og repræsentationer af gruppen SO(3, 1) klassificeres og implementeres for Lie-algebraer. ${\text{SO}}(3;1)^{+}$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SO}}(3;1)^{+}$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Udviklingen af repræsentationsteori blev fulgt af udviklingen af en mere generel repræsentationsteori for semisimple grupper , hovedsagelig på grund af Elie Joseph Cartan og Hermann Weyl , men Lorentz-gruppen fik særlig opmærksomhed på grund af dens betydning i fysik. Et væsentligt bidrag til teorien for Lorentz-grupper blev ydet af fysikeren Eugene Wigner og matematikeren Valentin Bargman med deres Bargman-Wigner-program [1] , en af konklusionerne, som groft sagt er klassificeringen af alle enhedsrepræsentationer af inhomogene Lorentz-gruppe reduceres til klassifikationen af alle mulige relativistiske ligninger [2] . Klassifikationen af irreducible uendelig-dimensionelle repræsentationer af Lorentz-gruppen blev etableret af Paul Diracs ph.d.-kandidat i teoretisk fysik Harish-Chandra , som senere blev matematiker [nb 3] i 1947. Den tilsvarende klassifikation for gruppen blev udgivet uafhængigt af Bargman og Israel Moiseevich Gel'fand sammen med Mark Aronovich Naimark samme år [3] . $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$

Den uformelle introduktion indeholder nogle foreløbige krav til læseren, der ikke er fortrolig med repræsentationsteori. Standardresultaterne brugt her fra den generelle teori om finit-dimensionelle repræsentationer er skitseret i Introduktion til teorien om finit-dimensionelle repræsentationer . Grundlaget for Lie-algebraen og andre konventioner præsenteres i afsnittet "Konventioner og grundlag for Lie-algebraen" .

En uformel introduktion til repræsentationsteori

Formålet med dette afsnit er at illustrere gruppens repræsentationsteoris rolle i matematik og fysik. Stivhed og detaljer falder i baggrunden, da hovedformålet er at fikse konceptet med endelig-dimensionelle og uendeligt-dimensionelle repræsentationer af Lorentz-gruppen. Læsere, der er bekendt med disse begreber, kan springe dette afsnit over.

Opsummering af begreber

Symmetri af rum og tid

Selve rummet er symmetrisk. Det ser ens ud, uanset hvordan du roterer det, og rotationssymmetri ses som en isotropi af rummet. I dette tilfælde bruges normalt passive rotationer , hvilket betyder, at observatøren [nb 4] roterer sig selv. Matematisk udføres den aktive rotationsoperation ved at gange radiusvektorerne med rotationsmatricen . Passiv rotation udføres kun ved at rotere basisvektorerne for koordinatsystemet (koordinatsystemet kan betragtes som fastgjort til den roterende observatør, observatøren roterer fysisk). Således modtager ethvert punkt i rummet nye koordinater, som om rummet roterede.

Lorentz-gruppen indeholder alle rotationsmatricer udvidet til den fjerde dimension, med nuller i første række og første kolonne, undtagen elementet øverst til venstre, som er lig med én.

Der er desuden matricer, der udfører Lorentzianske boosts (spatio-temporal rotationer). De kan i passiv observation betragtes som (konstant!) at indstille koordinatsystemets (og med det observatørens) hastighed i den valgte retning.

Endelig bruges to specielle transformationer til at invertere koordinatsystemet i rum-rum- inversion og i tid- tid-vending . I det første tilfælde vendes de rumlige koordinatakser. I det andet tilfælde vendes tidens retning . Dette kan i passiv observation ses som at stille uret tilbage af observatøren , så uret kører mod uret. Den fysiske tid går fremad.

Matematisk er Lorentz-gruppen defineret som det sæt af transformationer, der bevarer den bilineære form

(ct_{1},x_{1},y_{1},z_{1})\cdot (ct_{2},x_{2},y_{2},z_{2})=-c ^{2}t_{1}t_{2}+x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2},

hvor venstre side er Minkowski-punktproduktet af to begivenheder i rumtid , og højre side er rumtidsintervallet , se artiklen "Klassisk gruppe" for matematiske detaljer.

Lorentz transformationer

I rumtiden af speciel relativitet , kaldet Minkowski rum, er rum og tid sammenflettet. Så ændres fire koordinater af punkter i rum-tid, kaldet begivenheder , på en uventet (før fremkomsten af den særlige relativitetsteori) måde med tidsudvidelse og længdesammentrækning som to umiddelbare konsekvenser. Firedimensionelle Lorentz-transformationsmatricer udgør Lorentz-gruppen . Dens elementer repræsenterer symmetrier og kan, ligesom fysiske objekter, roteres ved hjælp af rotationsmatricer, fysiske objekter (hvis koordinater nu inkluderer tidskoordinaten) kan transformeres ved hjælp af matricer, der repræsenterer Lorentz-transformationer. Især er 4-vektoren, der repræsenterer begivenheden i Lorentz referencerammen, transformeret som

x'={\begin{bmatrix}x'^{0}\\x'^{1}\\x'^{2}\\x'^{3}\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}\lambda _{00}&\lambda _{01}&\lambda _{02}&\lambda _{03}\\\lambda _{10}&\lambda _{11}&\lambda _{12}&\lambda _{13}\\\lambda _{20}&\lambda _{21}&\lambda _{22}&\lambda _{23}\\\lambda _{30}&\ lambda _{31}&\lambda _{32}&\lambda _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2} \\x^{3}\end{bmatrix}},

eller i kort form

x'=\Lambda x.

Multiplikationstabel og repræsentationer

Hovedtrækket ved enhver endelig gruppe er dens multiplikationstabel , også kaldet Cayley-tabellen , hvor resultaterne af multiplikation af to elementer registreres. En grupperepræsentation kan ses som et nyt sæt af elementer, endelig-dimensionelle og uendelig-dimensionelle matricer, der giver den samme produkttabel efter at have kortlagt gamle elementer til nye en-til-en [nb 5] . Det samme gælder i tilfælde af uendelige grupper, såsom rotationsgruppen SO(3) i Lorentz-gruppen. Multiplikationstabellen er sværere at visualisere i tilfælde af en gruppe af utallig størrelse (størrelsen af sættet af reelle tal). En måde at gøre dette på er at ordne elementerne i gruppen fuldstændigt, hvor ordenstallet ρ er ordenstypen . Det "uendelige Cayley-tableau" indekseres derefter med to ordinaler , skrevet i Cantor-normalform . $0\leqslant \alpha ,\beta \leqslant \rho$

Den sædvanlige matrix Lorentz transformation er ikke nok

Transformerbare objekter kan adskille sig fra almindelige fysiske objekter, spredt over tre rumlige dimensioner (og tid, hvis referencerammen ikke er i ro). For disse objekter er en repræsentationsteori nødvendig for matematisk at beskrive transformationerne induceret af de sædvanlige Lorentz-transformationer af rum-tid. For eksempel er det elektromagnetiske felt ofte (naivt) repræsenteret ved at tildele hvert punkt i rumtiden en tredimensionel vektor, der repræsenterer det elektriske felt, og en anden tredimensionel vektor, der repræsenterer det magnetiske felt .

Mens rummet roterer, sker der klassisk forventede ting. Vektorerne af de elektriske og magnetiske felter på det udpegede punkt roterer med samme længde og vinkel mellem vektorerne.

Med Lorentz boosts opfører de sig anderledes, hvilket viser, at disse to vektorer ikke er separate fysiske objekter. Elektriske og magnetiske komponenter er blandet. Se billedet til højre. Den elektromagnetiske felttensor viser den eksplicit kovariante matematiske struktur af det elektromagnetiske felt. Den har seks uafhængige komponenter i [nb 6] begivenheden .

Finit-dimensional repræsentation af matricer

Opgaven med at repræsentere Lorentz-gruppen er, i det finit-dimensionelle tilfælde, at finde et nyt sæt af matricer, ikke nødvendigvis af størrelsen 4 × 4 , som ville opfylde den samme multiplikationstabel som matricerne i den oprindelige Lorentz-gruppe. Vender vi tilbage til eksemplet med det elektromagnetiske felt, har vi brug for 6 × 6 matricer, der kan anvendes på seksdimensionelle vektorer, der indeholder alle seks komponenter i det elektromagnetiske felt. Der søges således 6 × 6 matricer således, at

F'={\begin{bmatrix}E'^{1}\\E'^{2}\\E'^{3}\\B'^{1}\\B'^{2} \\B'^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Pi (\Lambda )_{00}&\Pi (\Lambda )_{01}&\Pi (\Lambda )_ {02}&\Pi (\Lambda )_{03}&\Pi (\Lambda )_{04}&\Pi (\Lambda )_{05}\\\Pi (\Lambda )_{10}&\ Pi (\Lambda )_{11}&\Pi (\Lambda )_{12}&\Pi (\Lambda )_{13}&\Pi (\Lambda )_{14}&\Pi (\Lambda )_ {15}\\\Pi (\Lambda )_{20}&\Pi (\Lambda )_{21}&\Pi (\Lambda )_{22}&\Pi (\Lambda )_{23}&\ Pi (\Lambda )_{24}&\Pi (\Lambda )_{25}\\\Pi (\Lambda )_{30}&\Pi (\Lambda )_{31}&\Pi (\Lambda ) _{32}&\Pi (\Lambda )_{33}&\Pi (\Lambda )_{34}&\Pi (\Lambda )_{35}\\\Pi (\Lambda )_{40}& \Pi (\Lambda )_{41}&\Pi (\Lambda )_{42}&\Pi (\Lambda )_{43}&\Pi (\Lambda )_{44}&\Pi (\Lambda ) _{45}\\\Pi (\Lambda )_{50}&\Pi (\Lambda )_{51}&\Pi (\Lambda )_{52}&\Pi (\Lambda )_{53}& \Pi (\Lambda )_{54}&\Pi (\Lambda )_{55}\end{bmatrix)){\begin{bmatrix}E^{1}\\E^{2}\\E^{ 3}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{bmatrix}},

eller i kort form

F'=\Pi (\Lambda )F,

korrekt udtrykke transformationen af det elektromagnetiske felt under Lorentz-transformationen Λ [nb 7] Det samme ræsonnement kan anvendes på Dirac -bispinorerne . Da de har 4 -komponenter, er de originale 4×4 -matricer i Lorentz-gruppen ubrugelige, selvom de er begrænset til rotationer. En anden 4×4- repræsentation er nødvendig .

Afsnittet om endelig-dimensionelle repræsentationer er beregnet til at vise alle sådanne repræsentationer ved hjælp af finit-dimensionelle matricer efter reglerne i multiplikationstabellen.

Uendelig-dimensionelle repræsentationer ved handlinger på vektorrum af funktioner

Uendelig-dimensionelle repræsentationer realiseres normalt som at virke på et sæt af reelle eller komplekse funktioner på et sæt X , i overensstemmelse med en gruppehandling . "Sættet er i overensstemmelse med en gruppehandling" A betyder i det væsentlige, at hvis og , så med . Hvis betyder mængden af alle komplekse funktioner af X , som er et vektorrum , kan repræsentationen Π af gruppen G defineres ifølge Rosman [4] som $x\i X$ $g\in G$ $A(g)x=y$ $y\in X$ $\mathbb {C} ^{X}$

(\Pi (g))f(x)=f(A(g^{-1})x),\quad f\in \mathbb {C} ^{X},g\in G,x \i X.

Det skal understreges igen

(\Pi (g))f\in \mathbb {C} ^{X}.

er en repræsentation af gruppen G . Denne repræsentation af G er endelig-dimensionel, hvis og kun hvis X er en endelig mængde. Denne metode er meget generel, og det er almindeligt at bruge vektorrum med mere specialiserede funktioner på de tilgængelige sæt. For at illustrere denne procedure skal du betragte gruppen G af n - dimensionelle matricer som en delmængde af det euklidiske rum og rummet af polynomier , af samme maksimale grad d eller endda homogene polynomier af grad d , defineret på . Disse polynomier (som funktioner) er begrænset til . Sættet fås automatisk udstyret med gruppehandlinger, nemlig $\mathbb {R} ^{n^{2}}$ $\mathbb {R} ^{n^{2}}$ $G\subset \mathbb {R} ^{n^{2))$ $X=G$

L_{g}h=gh,R_{g}h=hg,C_{g}h=ghg^{-1},g,h\in G.

Her betyder venstre handling (med g ) , betyder højre handling (med g ) , og betyder bøjning (med g ) . Under disse handlinger er de virkende vektorer funktioner. De resulterende repræsentationer er (hvis funktionerne er ubegrænsede) i det første og andet tilfælde henholdsvis den venstre regulære repræsentation og den højre regulære repræsentation af gruppen G på [4] . ${\displaystyle L_{g))$ ${\displaystyle R_{g))$ $C_{g}$ $\mathbb {C} ^{G}.$

Målet med repræsentationsteori i det uendelige-dimensionelle tilfælde er at klassificere alle de forskellige mulige repræsentationer og udtrykke dem i form af vektorrum af funktioner og handlinger af standardrepræsentationer på funktionsargumenter.

Uendelig-dimensionelle repræsentationer som uendelig-dimensionelle matricer

For at relatere repræsentationer på uendeligt-dimensionelle rum med endelig-dimensionelle tilfælde, vælges et ordnet grundlag for funktionernes vektorrum, og handlinger på basisfunktionerne under givne transformationer studeres. Billedet af basisfunktionerne under transformationen udskrives, udtrykt som en lineær kombination af basisfunktionerne. Specifikt, hvis f 1 , f 2 , ... er en basis, skal du beregne

{\begin{aligned}\Pi (\Lambda )f_{1}&=\lambda _{11}f_{1}+\lambda _{21}f_{2}+\cdots ,\\\Pi (\Lambda )f_{2}&=\lambda _{12}f_{1}+\lambda _{22}f_{2}+\cdots ,\\&\,\,\,\vdots \end{aligned }}

Koefficienterne for basisfunktionerne i udtrykket for hver transformation af basisfunktionen er en kolonne i repræsentationsmatrixen. Normalt har den resulterende matrix en tællelig uendelig dimension [nb 8] .

\Pi (\Lambda )={\begin{bmatrix}\lambda _{11}&\lambda _{12}&\cdots \\\lambda _{21}&\lambda _{22}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}

Igen kræves det, at mængden af uendelige matricer opnået på denne måde er i en-til-en-overensstemmelse med de oprindelige 4 × 4- matricer , og at multiplikationstabellen svarer til multiplikationstabellen med 4 × 4 - matricer. [nb 9] Det skal understreges, at man i det uendelig-dimensionelle tilfælde sjældent er interesseret i hele matrixen. De er kun vist her for at fremhæve fællestræk. Men individuelle matrixelementer beregnes ofte, især for Lie-algebraer (nedenfor).

Lie algebra

Lorentz-gruppen er en Lie-gruppe og har som sådan en Lie-algebra . Lie-algebraen er et vektorrum af matricer, der kan betragtes som en model af en gruppe nær identitetselementet. Algebra er udstyret med multiplikationsoperationen, Lie-parentesen . Med denne operation kan produktet i en gruppe nær identitetselementet udtrykkes i form af Lie-algebraer (men ikke meget enkelt). Forholdet mellem (matrix) Lie-algebraen og (matrix) Lie-gruppen er matrixeksponenten . Denne forbindelse er en-til-en nær det identiske element i gruppen.

Som en konsekvens er det ofte tilstrækkeligt at finde repræsentationer af Lie-algebraen . Lie algebraer er meget enklere objekter at arbejde med end Lie grupper. På grund af det faktum, at Lie-algebraen er et endeligt-dimensionelt vektorrum, er dimensionen i tilfældet med en Lorentzian Lie-algebra 6 , og der skal kun findes et endeligt antal repræsenterende matricer for Lie-algebraen, en for hver basis element i Lie-algebraen som et vektorrum. Resten følger af linearitet, og repræsentationen af gruppen opnås ved eksponentiering.

Et muligt valg af grundlag for Lie-algebraen i standardrepræsentationen er givet i Konventioner og Baser for Lie-algebraen .

Ansøgninger

Mange af repræsentationerne, både endelig-dimensionelle og uendelig-dimensionelle, er vigtige i teoretisk fysik. Repræsentationer opstår i beskrivelsen af felter i klassisk feltteori og, vigtigst af alt, i teorien om det elektromagnetiske felt og partikler i relativistisk kvantemekanik , såvel som partikler og kvantefelter i kvantefeltteori og forskellige objekter i strengteori . Repræsentationsteori giver også et teoretisk grundlag for begrebet spin . Repræsentationsteori indgår også i den generelle relativitetsteori i den forstand, at fysikken i tilstrækkeligt små områder af rum-tid er en repræsentation af den særlige relativitetsteori [5] .

Endelig-dimensionelle irreducerbare ikke-enhedsrepræsentationer, sammen med irreducible uendelig-dimensionelle enhedsrepræsentationer af den inhomogene Lorentz-gruppe, Poincaré-gruppen, er repræsentationer, der har en direkte fysisk betydning [6] [7] .

Uendelig-dimensionelle enhedsrepræsentationer af Lorentz-gruppen vises under begrænsningen af irreducible uendelig-dimensionelle enhedsrepræsentationer af Poincaré-gruppen, der virker på Hilbert-rum, relativistisk kvantemekanik og kvantefeltteori . Men de er også af matematisk interesse og af potentiel direkte fysisk betydning i en anden rolle end blot som begrænsninger [8] . Der har været spekulative teorier [9] [10] (tensorer og spinorer har uendelige modstykker i Dirac ekspansorerne og Harish -Chandra expinors ) i overensstemmelse med relativistisk og kvantemekanik, men de har ikke fundet en bevist fysisk anvendelse. Moderne spekulative teorier har potentielt de samme ingredienser.

Matematik

Set fra et matematiksynspunkt, hvis formål er klassificering og beskrivelse, så er teorien om repræsentationer af Lorentz-gruppen siden 1947 et bestået kapitel. Men i forbindelse med Bargman-Wigner-programmet er der (i 2006) uløste rent matematiske problemer forbundet med uendelig-dimensionelle enhedsrepræsentationer.

Irreducible uendelig-dimensionelle enhedsrepræsentationer kan have indirekte relevans for den fysiske virkelighed i moderne spekulative teorier, eftersom den (generaliserede) Lorentz-gruppe optræder som en lille gruppe af Poincaré-gruppen af rumlignende vektorer i højere-dimensionelle rumtider. De tilsvarende uendelig-dimensionelle enhedsrepræsentationer af den (generaliserede) Poincare-gruppe er de såkaldte tachyon-repræsentationer . Tachyoner optræder i spektret af bosoniske strenge og er forbundet med vakuumustabilitet [11] [12] . Selvom tachyoner ikke kan realiseres i naturen, skal disse repræsentationer accepteres matematisk for at forstå strengteori. Dette skyldes, at tachyontilstande optræder i superstrengteorier i et forsøg på at skabe realistiske modeller [13] .

Et åbent problem (fra 2006) er færdiggørelsen af Bargman-Wigner-programmet for isometrigruppen SO( D - 2, 1) af Sitter rum-tid dS D - 2 . Ideelt set kunne de fysiske komponenter af bølgefunktionen realiseres på en hyperboloid dS D – 2 med radius μ > 0 indlejret i , og de tilsvarende O( D − 2, 1) ligninger af en kovariant bølge af en uendelig-dimensionel enhedsrepræsentation er kendte [12] . $\mathbb {R} ^{D-2,1}$

Det er almindeligt for matematikere at betragte Lorentz-gruppen, for det meste, Möbius-gruppen , som den er isomorf til. En gruppe kan repræsenteres i form af et sæt funktioner defineret på Riemann-sfæren . De er Riemanns P-symboler , der udtrykkes som hypergeometriske funktioner .

Klassisk feltteori

Selvom det elektromagnetiske felt sammen med gravitationsfeltet er de eneste klassiske felter, der beviser en nøjagtig beskrivelse af naturen, er andre typer af klassiske felter også vigtige. Når man betragter kvantefeltteori (QFT), som beskrives ved hjælp af anden kvantisering , tages udgangspunkt i et eller flere klassiske felter, hvor f.eks. de bølgefunktioner, der løser Dirac-ligningen , betragtes som klassiske felter forud for (sekundær) kvantisering [ 14] . Mens anden kvantisering og den lagrangske formalisme forbundet med den ikke er grundlæggende aspekter af QFT [15] , kan faktisk alle kvantefeltteorier angribes fra dette perspektiv, inklusive standardmodellen [16] . I disse tilfælde er der klassiske versioner af feltligningerne, der følger af Euler-Lagrange-ligningen og er afledt fra Lagrangian ved hjælp af princippet om mindste handling . Disse feltligninger skal være relativistisk invariante, og deres løsninger (som vil blive betragtet som relativistiske bølgefunktioner som defineret nedenfor) skal transformeres af en eller anden repræsentation af Lorentz-gruppen.

Lorentz-gruppens handling på feltkonfigurationernes rum ( en feltkonfiguration er rum-tidshistorien for en bestemt løsning, f.eks. er det elektromagnetiske felt i hele rummet en feltkonfiguration til enhver tid) ligner handlingen på Hilbert rum af kvantemekanik, bortset fra at kommutatorparenteserne er erstattet med feltteoriens Poisson-parenteser [14] .

Relativistisk kvantemekanik

Til formålet med dette afsnit introducerer vi følgende definition [17] : En relativistisk bølgefunktion er et sæt af n funktioner i rum-tid, der transformerer under en vilkårlig Lorentz -egentransform Λ som ${\displaystyle \psi ^{\alpha ))$

\psi '^{\alpha }(x)=D{[\Lambda ]^{\alpha }}_{\beta }\psi ^{\beta }\left(\Lambda ^{-1}x \ret),

hvor D [Λ] er den n - dimensionelle matrixrepræsentation af transformationen Λ , der tilhører den samme direkte sum ( m , n ) af repræsentationen, som vil blive introduceret nedenfor.

Den mest nyttige relativistiske kvantemekanik af enkeltpartikelteorier (der er ingen strengt konsekvent sådan teori) er Klein-Gordon-ligningen [18] og Dirac-ligningen [19] i deres oprindelige form. De er relativistisk invariante, og deres løsninger transformeres under Lorentz-gruppen som henholdsvis Lorentziske skalarer ( ) og bispinorer ( ). Det elektromagnetiske felt er en relativistisk bølgefunktion ifølge denne definition, der transformerer under [20] . $(m,n)=(0,0)$ $(0,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},0)$ $(1,0)\oplus (0,1)$

Uendelig-dimensionelle repræsentationer kan bruges i spredningsanalyse [21] /

Kvantefeltteori

I kvantefeltteorien opstår kravet om en relativistisk invariant blandt andet for at kræve, at S-matrixen nødvendigvis er en Poincaré-invariant [22] . Dette indebærer, at der er en eller flere uendelig-dimensionelle repræsentationer af Lorentz-gruppen, der virker på Fock-rummet [nb 10] . En måde at garantere en sådan repræsentation på er eksistensen af en Lagrangiansk beskrivelse (med moderne krav, se link) af systemet ved hjælp af en kanonisk formalisme, hvorfra implementeringen af Lorentz-gruppegeneratorer kan udledes [23] .

Transformationen af feltoperatører illustrerer de komplementære roller af endelig-dimensionelle repræsentationer af Lorentz-gruppen og uendelig-dimensionelle enhedsrepræsentationer af Poincare-gruppen, hvilket indikerer en dyb enhed mellem matematik og fysik [24] . Som et eksempel kan du overveje definitionen af en n - komponent feltoperator [25] . En relativistisk feltoperator er et sæt af n funktioner, hvis værdier er operatorer, på rumtiden, som transformeres under passende Poincaré-transformationer (Λ, a ) ifølge udtrykket [26] [27] .

\Psi ^{\alpha }(x)\to \Psi '^{\alpha }(x')=U[\Lambda ,a]\Psi ^{\alpha }(x)U^{-1 }\left[\Lambda ,a\right]=D{\left[\Lambda ^{-1}\right]^{\alpha }}_{\beta }\Psi ^{\beta }(\Lambda x+ a )

Her er U [Λ, a] en enhedsoperator, der repræsenterer (Λ, a) i Hilbert-rummet, hvor Ψ er defineret , D er en n - dimensionel repræsentation af Lorentz-gruppen. Transformationsreglen er Whitemans andet aksiom for kvantefeltteori.

Af de differentielle begrænsningskonventioner, som feltoperatøren skal følge for at beskrive en enkelt partikel med en bestemt masse m og spin s (eller helicitet), følger det, at [28] [nb 11]

\Psi ^{\alpha }(x)=\sum _{\sigma}\int dp\left(a(\mathbf {p} ,\sigma )u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x}+a^{\dolk}(\mathbf {p} ,\sigma )v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip \cdot x}\right),

(X1)

hvor tolkes som henholdsvis skabelses- og udslettelsesoperatører . Fødselsoperatoren transformeres efter formlerne [28] [29] $a^{\dolk },a$ ${\displaystyle a^{\dolk ))$

a^{\dolk }(\mathbf {p} ,\sigma )\rightarrow a'^{\dolk }\left(\mathbf {p} ',\sigma \right)=U[\Lambda ]a ^{\dolk }(\mathbf {p} ,\sigma )U\venstre[\Lambda ^{-1}\right]=a^{\dolk }(\Lambda \mathbf {p} ,\rho )D^ {(s)}{\left[R(\Lambda ,\mathbf {p} )^{-1}\right]^{\rho }}_{\sigma },

og tilsvarende for udslettelsesoperatøren. I dette tilfælde skal det understreges, at feltoperatoren transformerer i henhold til den endelige dimensionelle ikke-enhedsrepræsentation af Lorentz-gruppen, mens skabelsesoperatoren transformerer under den uendelig-dimensionelle enhedsrepræsentation af Poincare-gruppen, beskrevet af massen og spin ( m , s ) af partiklen. Forbindelsen mellem disse to er bølgefunktionerne , også kaldet koefficientfunktionerne

u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x},\quad v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{- ip\cdotx}

som bærer begge indekser, både ( x , α ) der opererer på Lorentz-transformationer og indeks ( p , σ ) der opererer på Poincaré-transformationer. Dette kan kaldes Lorentz-Poincaré-forbindelsen [30] . For at demonstrere sammenhængen anvender vi Lorentz-transformationen på begge sider af ligning (X1) , hvilket f.eks. giver for u

{D[\Lambda ]^{\alpha ))_{\alpha '}u^{\alpha '}(\mathbf {p} ,\lambda )={D^{(s)}[R( \Lambda ,\mathbf {p} )]^{\lambda '}}_{\lambda }u^{\alpha }\left(\Lambda \mathbf {p} ,\lambda '\right),

hvor D er repræsentationen af den ikke-unitære Lorentz-gruppe Λ , og D ( s ) er den enhedsrepræsentation af den såkaldte Wigner-rotation R forbundet med Λ og p , som er afledt af repræsentationen af Poincaré-gruppen, og s er partiklens spin.

Alle ovenstående formler, inklusive definitionen af feltoperatoren i form af skabelses- og udslettelsesoperatorer, såvel som de differentialligninger, som feltoperatoren opfylder for en partikel med en specificeret masse, spin og ( m , n ) repræsentation, der den skal transformere [nb 12] , og bølgefunktionen kan kun udledes af teoretiske konventioner, når først rammen for kvantemekanik og speciel relativitet er sat [nb 13]

Abstrakte teorier

I teorier, hvor rum-tidsdimensionen kan være større end , træder generaliserede Lorentz-grupper af passende dimension i stedet for O(3; 1) -gruppen [nb 14] . $D=4$ $\mathrm {O} (D-1;1)$

Kravet om Lorentz-invarians får måske den mest dramatiske effekt i strengteori . Det er muligt at arbejde med klassiske relativistiske strenge i den lagrangske ramme ved hjælp af Nambu Goto-handlingen [31] . Dette virker i relativistisk invariant teori i rum-tid af enhver dimension [32] . Men det viser sig, at det i teorien om åbne og lukkede bosoniske strenge (den simpleste strengteori) er umuligt at kvantisere på den måde, som Lorentz-gruppen er repræsenteret i tilstandsrummet ( Hilbert-rummet ), hvis rummets dimension- tiden er ikke lig med 26 [33] . Det tilsvarende resultat for superstrengteori fører igen til kravet om Lorentz-invarians, men nu med supersymmetri . I disse teorier er Poincaré-algebraen erstattet af supersymmetrialgebraen , som er en Z 2 -graderet Lie-algebra , der udvider Poincaré-algebraen. Strukturen af en sådan algebra bestemmes i høj grad af kravet til Lorentz-invarianten. Især hører fermioniske operatorer (af klasse 1 ) til (0,en2) eller (en2, 0) repræsentation af rummet i den (almindelige) Lorentzianske Lie-algebra [34] . Den eneste mulige rum-tid dimension i sådanne teorier er 10 [35] .

Endelig-dimensionelle repræsentationer

Repræsentationsteorien for grupper i almindelighed, og Lie-grupper i særdeleshed, er et meget rigt felt. Den fulde Lorentz-gruppe er ingen undtagelse. Lorentz-gruppen har nogle egenskaber, der gør den "fleksibel" og andre egenskaber, der gør den "ikke særlig formbar" i forbindelse med repræsentationsteori. Gruppen er simpel , og så også semisimple , men ikke forbundet , og ingen af dens komponenter er simpelthen forbundet . Måske vigtigst af alt er Lorentz-gruppen ikke kompakt [36] .

For finit-dimensionelle repræsentationer betyder tilstedeværelsen af semisimplicitet, at Lorentz-gruppen kan behandles på samme måde som andre semisimple grupper ved hjælp af en veludviklet teori. Derudover er alle repræsentationer bygget ud fra irreducible , da Lie-algebraen har egenskaben fuldstændig reducerbarhed [nb 15] [37] . Ikke-kompakte Lorentz-grupper, i kombination med fraværet af simpelt forbundethed, kan dog ikke håndteres i alle henseender i den simple ramme, der gælder for simpelt forbundne kompaktgrupper. Af ikke-kompakthed følger det for en forbundet simpel Lie-gruppe, at der ikke er nogen ikke-trivielle finit-dimensionelle unitære repræsentationer [38] . Fraværet af simpel forbindelse fører til repræsentationen af spins af grupper [39] . Frakobling betyder, at for repræsentationer af den fulde Lorentz-gruppe bør tidsvending og ruminversion betragtes separat [40] [41] .

Historie

Udviklingen af teorien om endelig-dimensionelle repræsentationer af Lorentz-gruppen følger for det meste den generelle teoris strategi. Løgnteori udviklet af Sophus Lie i 1873 [42] [43] [44] [45] . I 1888 blev klassificeringen af simple Lie-algebraer i det væsentlige udført af Wilhelm Killing [46] [47] . I 1913 blev maksimumvægtsætningen for repræsentationer af simple Lie-algebraer bevist af Cartan , og denne artikel følger samme vej [48] [49] . Richard Brouwer udviklede i 1935-38 teorien om Weyl-Brauer-matricer , og beskrev, hvordan spinrepræsentationer af den Lorentzianske Lie-algebra kan indlejres i Clifford-algebraer [50] [51] . Lorentz-gruppen har også modtaget historisk særlig opmærksomhed inden for repræsentationsteori, se "Historien om uendelig-dimensionelle enhedsrepræsentationer" nedenfor, på grund af dens usædvanlige betydning i fysik. Matematikerne Hermann Weyl [48] [52] [42] [53] [54] og Harish-Chandra [55] [10] og fysikerne Eugene Wigner [52] [38] og Valentin Bargman [56] [57] [ 58] ydede et væsentligt bidrag både til den generelle teori om repræsentationer og i særdeleshed til teorien om Lorentz-grupper [1] . Fysikeren Paul Dirac var måske den første til eksplicit at binde alt sammen i en praktisk anvendelse med Diracs ligning i 1928 [59] [60] [nb 16] .

En introduktion til teorien om endelig-dimensionelle repræsentationer

For en oversigt over strategien anvendt på Lie-algebraen, se afsnittet "Oversigt over klassificeringen af Lie-algebra-repræsentationer" .
Teknikker, der er specifikke for ikke-kompakte grupper, kan findes i Unitary Trick og Lie Algebra Representations og Weyl Unitary Trick .
Overgangen fra Lie-algebra-repræsentationer til Lie-grupperepræsentationer præsenteres i afsnittene "Projektiv repræsentation" og "Matrix Lie-grupperepræsentationer fra Lie-algebra-repræsentationer" .

Lie algebra

Ifølge strategien blev der fundet irreducible komplekse lineære repræsentationer af kompleksificeringen , Lie-algebraen fra Lorentz-gruppen. Et passende grundlag for er givet af tre rotationsgeneratorer J i og tre boostgeneratorer Ki . De er udtrykkeligt angivet i afsnittet "Konventioner og baser for Lie-algebraen" . ${\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }$ ${\mathfrak {så}}(3;1)$ ${\mathfrak {så}}(3;1)$

Lie-algebraen er kompleksiseret , og grundlaget er erstattet af komponenter [61]

\mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2)),\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i \mathbf {K} }{2}}.

Komponenterne og individuelt opfylder kommuteringsrelationerne af Lie-algebraen og pendler desuden med hinanden [62] , $\mathbf {A} =(A_{1},A_{2},A_{3})$ $\mathbf {B} =(B_{1},B_{2},B_{3})$ ${\mathfrak {su}}(2)$

\left[A_{i},A_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}A_{k},\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=i \varepsilon _{ijk}B_{k},\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0,

hvor i , j , k er indeks, der tager værdierne 1, 2, 3 og er et 3D Levi-Civita-symbol . Lad og betegne de komplekse lineære spænd af henholdsvis A og B . $\varepsilon_{ijk}$ $\mathbf {A} _{\mathbb {C} }$ $\mathbf {B} _{\mathbb {C} }$

Vi har isomorfier [63] [nb 17]

{\begin{aligned}{\mathfrak {so}}(3;1)\hookrightarrow {\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }\cong \mathbf {A} _{\mathbb {C} }\oplus \mathbf {B} _{\mathbb {C} }&\cong {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbb {C} }\oplus {\mathfrak { su}}(2)_{\mathbb {C} }\\[5pt]&\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2, \mathbb {C} )\\[5pt]&\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus i{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )= {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} }\hookleftarrow {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),\end{aligned}}

(A1)

hvor er kompleksiseringen af algebraen ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {su}}(2)\cong \mathbf {A} \cong \mathbf {B} .$

Nytten af disse isomorfismer stammer fra det faktum, at alle irreducible repræsentationer af algebraen , og derfor (se strategi ) alle irreducible komplekse lineære repræsentationer , er kendt. Ifølge den endelige konklusion af strategien er en irreducerbar kompleks lineær repræsentation af en algebra isomorf til en af repræsentationerne med størst vægt . De er angivet eksplicit i afsnittet "Komplekse lineære repræsentationer " ${\mathfrak {su}}(2)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$

Enhedsteknik

Lie -algebraen er Lie-algebraen i gruppen Den indeholder en kompakt undergruppe SU(2) × SU(2) med Lie-algebraen . Sidstnævnte er en rigtig kompakt ægte algebraform . Så fra den første påstand om enhedsteknikken svarer repræsentationerne af gruppen SU(2) × SU(2) en-til-en til de holomorfe repræsentationer af gruppen ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\ gange {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$ ${\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\ gange {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$

På grund af kompakthed gælder Peter-Weyl-sætningen for SU(2) × SU(2) [64] , og derfor kan ortogonaliteten af uoversættelige tegn også bruges. De irreducible enhedsrepræsentationer af gruppen SU(2) × SU(2) er nøjagtigt tensorprodukterne af de irreducible enhedsrepræsentationer af gruppen SU(2) [65]

Når vi påberåber os den blotte forbundethed, kan vi bruge den anden påstand om enhedsteknikken. Objekterne i den følgende liste er i en en-til-en relation:

Holomorfe grupperepræsentationer ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\ gange {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$
Glat SU(2) × SU(2) repræsentationer
Reelle lineære repræsentationer af algebra ${\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)$
Komplekse lineære repræsentationer af algebra ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

Tensorproduktet af repræsentationer optræder i Lie-algebraer i en af formerne [nb 18]

{\begin{aligned}\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)&=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Id} _{V}+\ mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(X)&&X\in {\mathfrak {g))\\\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X,Y) &=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Id} _{V}+\mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(Y)&&(X,Y)\ i {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}\end{aligned}}

(A0)

hvor Id er identitetsoperatøren. Her antages den sidste fortolkning, som følger af ligning (G6) . Den største vægtrepræsentation af en algebra er indekseret med værdierne af μ for μ = 0, 1/2, 1, ... . (De største vægte er faktisk lige store , men notationen her er tilpasset algebra ). Tensorprodukterne af to sådanne komplekse lineære faktorer danner derefter irreducible komplekse lineære repræsentationer af algebraen ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $2\mu =0,1,2,...$ ${\mathfrak {så}}(3;1).$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$

Endelig er de -lineære repræsentationer af realformerne [ længst til venstre , (algebraer) og længst til højre, [nb 19] i formel (A1) opnået fra -lineære repræsentationer af algebraen beskrevet i det foregående afsnit. $\mathbb {R}$ ${\mathfrak {så}}(3;1)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ $\mathbb {C}$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

Visninger

De reelle lineære repræsentationer for algebraerne og betragtet her antager, at de komplekse lineære repræsentationer af algebraen er kendte. Eksplicitte implementeringer og grupperepræsentationer er givet nedenfor. ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {så}}(3;1)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

( μ , ν )-repræsentationer af sl(2, C) algebraen

De komplekse lineære repræsentationer af kompleksificeringen af algebraen , opnået ved hjælp af isomorfismer i ligning (A1) , er i en-til-en overensstemmelse med de reelle lineære repræsentationer af algebraen [66] . Mængden af i det mindste reelle lineære , irreducerbare repræsentationer af algebraen indekseres derefter af parret . Indeksene for komplekse lineære repræsentationer, der nøjagtigt svarer til kompleksificeringen af reelle lineære repræsentationer, har formen ( μ , 0) , mens indeksene for konjugerede lineære repræsentationer har formen (0, ν ) [66] . Alle andre repræsentationer er kun reelle lineære. Linearitetsegenskaberne følger af den kanoniske indlejring længst til højre i formel (A1) af en algebra i dens kompleksisering. Repræsentationer i form ( ν , ν ) eller er givet af reelle matricer (sidstnævnte er ikke irreducerbar). De eksplicitte reelle lineære -repræsentationer af algebraen er ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} },$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $(\mu ,\nu )$ ${\mathfrak {su}}(2)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $(\mu ,\nu )\oplus (\nu,\mu )$ $(\mu ,\nu )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

\varphi _{\mu ,\nu}(X)=\venstre(\varphi _{\mu}\nogle gange {\overline {\varphi _{\nu))}\right)(X)=\ varphi _{\mu }(X)\otimes \operatorname {Id} _{\nu +1}+\operatorname {Id} _{\mu +1}\otimes {\overline {\varphi _{\nu}( X))),\qquad X\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )

hvor er komplekse lineære irreducerbare repræsentationer af algebraen , og er deres komplekse konjugerede repræsentationer. (I den matematiske litteratur bruges normalt indekserne 0, 1, 2, … , men her er brøkerne valgt, så de stemmer overens med indeksene for Lie-algebraen.) Her fortolkes prikproduktet i sin oprindelige betydning som (A0) ) . Disse repræsentationer er specifikt implementeret nedenfor. $\varphi _{\mu },\mu =0,{\tfrac {1}{2)),1,{\tfrac {3}{2)),\ldots$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\overline {\varphi _{\nu ))},\nu =0,{\tfrac {1}{2)),1,{\tfrac {3}{2)),\ldots$ ${\mathfrak {so}}(3,1)$

( m , n )-repræsentationer af so(3; 1) algebraen

Gennem den angivne isomorfi i ligning (A1) og kendskabet til komplekse lineære irreducerbare repræsentationer af algebraen , løst med hensyn til J og K , opnås alle irreducible repræsentationer af algebraen og, ved begrænsning, repræsentationer af algebraen . Algebra-repræsentationer Kan ikke parse udtryk (SVG med fallback PNG (MathML kan aktiveres med browser-plugin): Ugyldigt svar ("Math-udvidelsen kan ikke oprette forbindelse til Restbase.") fra serveren "/mathoid/local/v1/":): {\ displaystyle \mathfrak{so}(3; 1)} opnået på denne måde er reelle lineære (snarere end komplekse eller antilineære), da algebraerne ikke er lukket under konjugering, men de forbliver irreducerbare [63] . Da algebraen er semisimple [63] , kan alle dens repræsentationer konstrueres som direkte summer af irreducerbare repræsentationer. ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }$ ${\mathfrak {så}}(3;1)$ ${\mathfrak {så}}(3;1)$

Derefter klassificeres de irreducible finit-dimensionelle repræsentationer af Lorentz-algebraen efter ordnede par af halvdele af heltal m = μ og n = ν , som traditionelt er skrevet som

(m,n)\equiv \pi _{(m,n)}:{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\mathfrak {gl}}(V),

hvor V er et endeligt-dimensionelt vektorrum. De, op til lighed , er unikt givet af udtrykkene [nb 20]

{\begin{aligned}\pi _{(m,n)}(J_{i})&=1_{(2m+1)}\nogle gange J_{i}^{(n)}+J_{ i}^{(m)}\nogle gange 1_{(2n+1)}\\\pi _{(m,n)}(K_{i})&=i\left(1_{(2m+1)} \otimes J_{i}^{(n)}-J_{i}^{(m)}\otimes 1_{(2n+1)}\right),\end{aligned}}

(A2)

hvor 1 n er den n - dimensionelle identitetsmatrix og

\mathbf {J} ^{(n)}=\left(J_{1}^{(n)},J_{2}^{(n)},J_{3}^{(n)} \ret)

er ( 2n + 1) -dimensionelle irreducerbare repræsentationer af algebraen , som også kaldes spinmatricer eller vinkelmomentmatricer . De er eksplicit givet af formlerne [67] ${\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)$

{\begin{aligned}\left(J_{1}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2))\left({\sqrt { (ja)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}+{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a -1}\right)\\\left(J_{2}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt {( ja)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}-{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a- 1}\right)\\\left(J_{3}^{(j)}\right)_{a'a}&=a\delta _{a',a}\end{aligned}}

hvor δ står for Kronecker-symbolet . I komponenter med , er repræsentationerne givet ved ligningerne [68] $-m\leqslant a,a'\leqslant m$ $-n\leqslant b,b'\leqslant n$

{\begin{aligned}\left(\pi _{(m,n)}\left(J_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=\delta _{ b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}+\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right )_{b'b}\\\left(\pi _{(m,n)}\left(K_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=i\left( \delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}-\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m )}\right)_{a'a}\right)\end{aligned}}

Generelle repræsentationer Irreducible repræsentationer for små ( m , n ) . Dimensionen er angivet i parentes.

	$m=0$	${\tfrac {1}{2))$	en	${\tfrac {3}{2))$
$n=0$	Skalar (1)	Venstre Weil spinor (2)	Selv- dobbelt 2-form (3)	(fire)
${\tfrac {1}{2))$	Weils højre spinor (2)	4-vektor (4)	(6)	(otte)
en	Anti -selv-dual 2-form (3)	(6)	Sporløs symmetrisk tensor (9)	(12)
${\tfrac {3}{2))$	(fire)	(otte)	(12)	(16)

Repræsentationen (0, 0) er en endimensionel triviel repræsentation og er indeholdt i relativistiske skalarfeltteorier .
Fermioniske supersymmetrigeneratorer transformeres under en af eller repræsentationerne [69] . $(0,{\tfrac {1}{2)))$ $({\tfrac {1}{2)),0)$
En partikels fire- momentum (uden masse eller med masse ) transformeres ved (en2, en2) repræsentation.
Et fysisk eksempel på et sporløst symmetrisk tensorfelt er den sporløse [nb 21] del af energimoment-tensoren T μν [70] [nb 22] .

Off-diagonale direkte summer

Da man for enhver irreducerbar repræsentation, for hvilken m ≠ n skal operere på feltet af komplekse tal , er den direkte sum af repræsentationerne ( m , n ) og ( n , m ) af særlig betydning for fysikken, da den tillader brugen af lineære afbildninger over reelle tal .

$({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))$ er en repræsentation af en bispinor . Se også Dirac spinor og Weyl spinorer og bispinorer nedenfor.
$(1,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},1)$ er en repræsentation af Rarity-Schwinger- feltet .
$({\tfrac {3}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {3}{2)))$ kunne være symmetrien af en hypotetisk gravitino [nb 23] . Dette kan fås fra visningen [71] . $(1,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},1)$
$(1,0)\oplus (0,1)$ er en repræsentation af paritetsinvarianten af 2- formsfeltet (kendt som krumningsformen ). Den elektromagnetiske felttensor transformeres af denne repræsentation.

Gruppe

Fremgangsmåden i dette afsnit er baseret på teoremer, som igen er baseret på Lies fundamentale korrespondance [43] . Lie-korrespondancen er i virkeligheden en ordbog mellem forbundne Lie-grupper og Lie-algebraer [72] . Forbindelsen mellem dem er en eksponentiel afbildning fra Lie-algebraen til Lie-gruppen, som er betegnet med . Den generelle teori er opsummeret i Introduktion til teorien om endelige dimensionelle repræsentationer . $\exp :{\mathfrak {g}}\to G$

Hvis algebraen for et vektorrum V er en repræsentation, så er repræsentationen Π af den forbundne komponent af gruppen G defineret af ligningerne $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$

{\begin{aligned}\Pi (g=e^{iX})&\equiv e^{i\pi (X)},&&X\in {\mathfrak {g)),\quad g=e ^{iX}\in \mathrm {im} (\exp ),\\\Pi (g=g_{1}g_{2}\cdots g_{n})&\equiv \Pi (g_{1})\ Pi (g_{2})\cdots \Pi (g_{n}),&&g\notin \mathrm {im} (\exp ),\quad g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n} \in \mathrm {im} (\exp ).\end{aligned}}

(G2)

Denne definition gælder uanset om den resulterende repræsentation er projektiv eller ej.

Surjektivitet af det eksponentielle kort for SO(3, 1)

Fra et praktisk synspunkt er det vigtigt at vide, om den første formel i (G2) kan bruges til alle elementer i gruppen . Dette gælder for alle , men i det generelle tilfælde, for eksempel, for , ikke alle g ∈ G er i billedet af exp . $X\in {\mathfrak {g))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Det er dog surjektivt. En måde at vise dette på er at bruge en isomorfi , hvor højre side er Möbius-gruppen . Dette er gruppens faktorgruppe (se link til artiklen). Faktortilknytningen er angivet med . Kortlægningen er en kortlægning til [73] . Vi anvender formlen (Lie) med π , som er differentialet af p på identiteten. Derefter $\exp :{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\text{SO}}(3;1)^{+}$ ${\text{SO}}(3;1)^{+}\cong {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{GL))(n,\mathbb {C} )$ $p:{\text{GL}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$ $\exp :{\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )$

\forall X\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} ):\quad p(\exp(iX))=\exp(i\pi (X)).

Da venstre side er surjektiv (fordi exp og p er), er højre side surjektiv og derfor surjektiv [74] . Til sidst bruger vi argumentet igen, men nu med den kendte isomorfi mellem SO(3; 1) + og , for at vise, at exp er et kort "på" til den forbundne komponent af Lorentz-gruppen. $\exp :{\mathfrak {pgl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$

Fundamental gruppe

Lorentz-gruppen er dobbeltforbundet , det vil sige, det er en gruppe med to sløjfeækvivalensklasser som elementer. $\pi _{1}(\mathrm {SO} (3;1))$

bevis

For at vise gruppens grundlæggende gruppe betragter vi topologien af dens dækkende gruppe . Ifølge den polære dekomponeringssætning kan enhver matrix udtrykkes unikt som [75] ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $\lambda \in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

\lambda =ue^{h},

hvor u er en enhedsmatrix med determinant lig med én, derfor ligger matrixen i SU(2) og h er Hermitian med nul spor . Betingelserne for spor og determinant middelværdi [76] :

{\begin{aligned}h&={\begin{pmatrix}c&a-ib\\a+ib&-c\end{pmatrix}}&&(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{ 3}\\[4pt]u&={\begin{pmatrix}d+ie&f+ig\\-f+ig&d-ie\end{pmatrix}}&&(d,e,f,g)\i \mathbb {R } ^{4},d^{2}+e^{2}+f^{2}+g^{2}=1\end{aligned}}

Det er klart, at en kontinuerlig en-til-en kortlægning er en homøomorfi med en kontinuerlig invers kortlægning givet af udtrykkene (stedet u identificeres med h ) $\mathbb {S} ^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}$

{\begin{cases}\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}\to {\text{SL))(2,\mathbb {C} )\\( r,s)\mapsto u(s)e^{h(r)}\end{cases}}

hvilket tydeligt viser, at det simpelthen hænger sammen. Men hvor er gruppens centrum . Identifikationen af λ og − λ er den samme som identifikation af enhedsfaktorer u og − u , hvilket igen svarer til identifikation af antipodale punkter på kuglen Topologisk [76] ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SO}}(3;1)\cong {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\},$ ${\displaystyle \{\pm I\))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $\mathbb {S} ^{3}.$

{\text{SO}}(3;1)\cong \mathbb {R} ^{3}\times (\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}),

hvor den sidste faktor blot hænger sammen. Geometrisk er det indlysende (kan med henblik på visualisering erstattes af ), at vejen fra u til − u til er en sløjfe i , da u og − u er antipodale punkter, og at den ikke trækker sig sammen til et punkt. Men en sti fra u til − u og tilbage til u , en løkke til og en dobbelt løkke (forudsat hvor er et dækkende kort) til , som er sammentrækbar til et punkt (bevæger sig kontinuerligt fra − u "op ad stigen" til og trækker sig sammen vejen til u ) [76] . Så er π 1 (SO(3; 1)) en gruppe med to sløjfeækvivalensklasser som elementer, eller, for at sige det mere enkelt, SO(3; 1) er dobbeltforbundet . ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3))$ $\mathbb {S} ^{2}$ ${\displaystyle SU(2)\cong \mathbb {S} ^{3))$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2))$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3))$ $p(ue^{h})=p(-ue^{h})$ $p:{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2))$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3))$

Projektive repræsentationer

Da den har to elementer, fører nogle Lie-algebra-repræsentationer til projektive repræsentationer [77] [nb 24] . Hvis en repræsentation vides at være projektiv, kan formel (G2) anvendes på alle elementer i en gruppe og på alle repræsentationer, inklusive projektive, idet man husker på, at repræsentationen af et gruppeelement vil afhænge af hvilket element i Lie-algebraen ( X i (G2) ) bruges til repræsentation af gruppeelementet i standardrepræsentationen. ${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SO} (3;1)^{+))$

For Lorentz-gruppen ( m , n ) er -repræsentationen projektiv, når m + n er et halvt heltal. Se Spinors sektionen .

Den projektive repræsentation Π af en gruppe opfylder [76] ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$

\left[\Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2})\Pi ^{-1}(\Lambda _{1}\Lambda _{2})\right] ^{2}=1\Højrepil \Pi (\Lambda _{1}\Lambda _{2})=\pm \Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2}),\qquad \Lambda _{1},\Lambda _{2}\in \mathrm {SO} (3;1),

(G5)

da enhver sløjfe i SO(3; 1) + , der går rundt to gange, på grund af den dobbelte forbindelse, kan trækkes sammen til et punkt, så dens homotopiklasse er klassen af et konstant kort. Det følger heraf, at funktionen Π har to værdier. Det er umuligt entydigt at vælge et tegn for at opnå en kontinuerlig repræsentation af hele , men muligvis lokalt omkring hvert punkt [38] . ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$

Dækkende gruppe af SL(2, C)

Betragt som en ægte Lie-algebra med basis ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\sigma _{1},{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sigma _{2},{\ frac {1}{\sqrt {2}}}\sigma _{3},{\frac {i}{\sqrt {2}}}\sigma _{1},{\frac {i}{\sqrt { 2}}}\sigma _{2},{\frac {i}{\sqrt {2}}}\sigma _{3}\right)\equiv (j_{1},j_{2},j_{3 },k_{1},k_{2},k_{3}),

hvor -s angiver Pauli-matricer . Ude af forhold $\sigma$

{\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=2i\epsilon _{ijk}\sigma _{k))

(J1)

vi får

[j_{i},j_{j}]=i\epsilon _{ijk}j_{k},\quad [j_{i},k_{j}]=i\epsilon _{ijk}k_{ k},\quad [k_{i},k_{j}]=-i\epsilon _{ijk}j_{k},

(J2)

som er præcis den 3 -dimensionelle version af kommutationsrelationerne for algebraen (se "Konventioner og løgnealgebrabaser" nedenfor). Kortlægningen , udvidet med linearitet, er således en isomorfi. Da gruppen simpelthen er forbundet, er den den universelle dækkende gruppe i gruppen . ${\mathfrak {så}}(3;1)$ $J_{i}\leftrightarrow j_{i}$ $K_{i}\leftrightarrow k_{i}$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$

Flere dækkende grupper og især Lorentz-gruppen

{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )

Geometrisk synsvinkel

Lad være en vej fra til , betegne dens homotopi klasse ved og lad være sættet af sådanne homotopi klasser. Lad os definere et sæt $p_{g}(t),0\leqslant t\leqslant 1$ ${\displaystyle 1\in \mathrm {SO} (3;1)^{+))$ ${\displaystyle g\in \mathrm {SO} (3;1)^{+))$ $[p_{g}]$ ${\displaystyle \pi _{g))$

G=\{(g,[p_{g}]):g\in \mathrm {SO} (3;1)^{+},[p_{g}]\in \pi _{g} \}

(C1)

og udstyr den med den multiplikative operation

(g_{1},[p_{1}])(g_{2},[p_{2}])=(g_{1}g_{2},[p_{12}]),

(C2)

hvor er produktet af stier og : $p_{12}$ $p_{1}$ $p_{2}$

p_{12}(t)=(p_{1}*p_{2})(t)={\begin{cases}p_{1}(2t)&0\leqslant t\leqslant {\tfrac {1 }{2}}\\p_{2}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

Med denne multiplikation bliver gruppen G en gruppe isomorf [78] , den universelle dækkende gruppe for gruppen SO(3; 1) + . Da hver π g har to elementer, er der ved ovenstående konstruktion et 2:1 dæksel . Ifølge teorien om dækning af grupper er Lie-algebraerne og gruppen G isomorfe. Den dækkende afbildning p : G → SO(3; 1) + er givet blot ved formlen . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\displaystyle p:G\to \mathrm {SO} (3;1)^{+))$ ${\mathfrak {so}}(3;1),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $\mathfrak{g}$ $p(g,[p_{g}])=g$

Algebraisk synspunkt

Lad det virke på sættet af alle hermitiske 2 × 2 -matricer ved operationen [76] ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {h))$

{\begin{cases}\mathbf {P} (A):{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}\\X\mapsto A^{\dolk }XA\end{cases }}\qquad A\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )

(C3)

Handling på lineær. Et element i sættet kan skrives som

{\mathfrak {h))

{\mathfrak {h))

X={\begin{pmatrix}\xi _{4}+\xi _{3}&\xi _{1}+i\xi _{2}\\\xi _{1}-i\ xi _{2}&\xi _{4}-\xi _{3}\\\end{pmatrix}}\qquad \xi _{1},\ldots ,\xi _{4}\in \mathbb { R} .

(C4)

Kortlægningen P er en automorfi af gruppen til . Derefter er en 4-dimensionel repræsentation af gruppen . Dens kerne skal især tage identitetsmatrixen ind i sig selv, og derfor . Så for A fra kernen, så ved Schurs lemma [nb 25] , er A identitetsmatrixen ganget med en konstant, og A skal være lig med ± I , fordi [79] . Rummet er kortlagt til Minkowski-rummet M 4 vha ${\text{GL}}({\mathfrak {h}})\subset {\text{End}}({\mathfrak {h}})$ $\mathbf {P} :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}({\mathfrak {h}})$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ $A^{\dolk }IA=A^{\dolk }A=I$ ${\displaystyle A^{\dolk }=A^{-1))$ $AX=XA$ $\mathrm {det} A=1$ ${\mathfrak {h))$

X=(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4})\venstrehøjrepil {\overhøjrepil {(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4})}}=(x,y,z,t)={\overhøjrepil {X}}.

(C5)

Virkningen af P ( A ) på bevarer determinanterne. Den inducerede repræsentation af en p -gruppe på ved hjælp af isomorfien givet ovenfor, givet ved formlen ${\mathfrak {h))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $\mathbb {R} ^{4},$

\mathbf {p} (A){\overrightarrow {X}}={\overrightarrow {AXA^{\dolk }}}

(C6)

bevarer Lorentz dot produktet pga

-\det X=\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}-\xi _{4}^{2 }=x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}.

Det betyder, at p ( A ) tilhører den fulde Lorentz-gruppe SO(3; 1) . Ifølge forbindelsessætningen , da det er forbundet, er dets billede under afbildningen p i SO(3; 1) forbundet og er derfor indeholdt i SO(3; 1) + . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Det kan påvises, at Lie-kortet er en isomorfi [nb 26] . Kortlægningen af P er afbildningen til [nb 27] . $\mathbf {p} :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)^{+},$ $\pi :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\mathfrak {so}}(3;1)$

Da den simpelthen er forbundet, er den universelle dækkende gruppe i gruppen SO(3; 1) + isomorf til gruppen G ovenfor. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Ikke-surjektivitet af den eksponentielle mapping for SL(2, C)

Eksponentiel mapping er ikke en mapping til [80] . Matrix $\exp :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

q={\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\\\end{pmatrix}}

(S6)

er i , men der er ikke sådan, at [nb 28] . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $Q\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $q=\mathrm {exp} (Q)$

Generelt, hvis g er et element i en forbundet Lie-gruppe G med en Lie-algebra , så ved formlen (Lie) , ${\mathfrak {g)),$

g=\exp(X_{1})\cdots \exp(X_{n}),\qquad X_{1},\ldots X_{n}\in {\mathfrak {g)).

(S7)

Matrixen q kan skrives som

{\begin{aligned}\exp(-X)\exp(i\pi H)&=\exp \left({\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\\\end{pmatrix)) \right)\exp \left(i\pi {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\right)\\[4pt]&={\begin{pmatrix}1&-1 \\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\\[4pt]&={\begin{pmatrix}-1&1\\0& -1\\\end{pmatrix}}=q.\end{aligned}}

(S8)

Realisering af repræsentationer af grupperne SL(2, C) og sl(2, C) og deres Lie-algebraer

Komplekse lineære repræsentationer og er lettere at opnå end algebra-repræsentationer . Du kan (som regel) oprette dem fra bunden. Holomorfe repræsentationer af grupper (hvilket betyder, at den tilsvarende repræsentation af Lie-algebraen er en kompleks lineær repræsentation) er relateret til den komplekse lineære repræsentation af Lie-algebraen ved eksponentiering. Reelle lineære repræsentationer af en algebra er nøjagtige ( μ , ν ) -repræsentationer. De kan også hæves til en magt. ( μ , 0) -repræsentationer er komplekse lineære, og de er (isomorfe) repræsentationer af den største vægt. De indekseres normalt kun med ét heltal (men halvdelen af heltal bruges her). ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {så}}(3;1)^{+}$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

For nemheds skyld bruger dette afsnit matematiske konventioner. Elementerne i Lie-algebraen adskiller sig med en faktor på i og har ikke en faktor på i i den eksponentielle kortlægning sammenlignet med de fysiske konventioner, der gælder overalt. Lad grundlaget [81] være ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix)),\quad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix)),\ quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\\end{pmatrix}}.

(S1)

Valg af grundlag og notation er standard i den matematiske litteratur.

Komplekse lineære repræsentationer

Irreducible holomorfe ( n + 1) -dimensionelle repræsentationer kan realiseres på rummet af homogene polynomier af grad n i 2 variable [82] [83] , hvis elementer er ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),n\geqslant 2,$ $\mathbf {P} _{n}^{2},$

P{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=c_{n}z_{1}^{n}+c_{n-1}z_{ 1}^{n-1}z_{2}+\cdots +c_{0}z_{2}^{n},\quad c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {Z} .

Handlingen er givet af [84] [85] ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

(\phi _{n}(g)P){\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=\venstre[\phi _{n}{ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\right]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=P\venstre( {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}\right) ,\qquad P\in \mathbf {P} _{n}^{2}.

(S2)

Den tilknyttede -handling er, ved hjælp af formlen (G6) og definitionen ovenfor, for de grundlæggende elementer i algebraen [86] ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

\phi _{n}(H)=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1))}+z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_ {2))},\quad \phi _{n}(X)=-z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1))},\quad \phi _{n}(Y )=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2))}.

(S5)

Med valget af et grundlag for disse repræsentationer bliver matrix Lie algebraer. ${\displaystyle P\in \mathbf {P} _{n}^{2))$

Reelle lineære repræsentationer

( μ , ν ) -Repræsentationer realiseres på rummet af polynomier i , homogen grad μ i variable og homogen grad ν i [83] . Repræsentationer er givet ved formlen [87] $\mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}$ $z_{1},{\overline {z_{1}}},z_{2},{\overline {z_{2}}}$ $z_{1},z_{2}$ ${\overline {z_{1}}},{\overline {z_{2}}}.$

(\phi _{\mu ,\nu}(g)P){\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=\venstre[\phi _ {\mu ,\nu }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\right]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{ pmatrix}}=P\venstre({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\ end{pmatrix}}\right),\qquad P\in \mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}.

(S6)

I betragtning af formel (G6) igen, finder vi det

\phi _{\mu ,\nu}(E)P=-{\frac {\partial P}{\partial z_{1))}\left(E_{11}z_{1}+E_{ 12}z_{2}\right)-{\frac {\partial P}{\partial z_{2))}\left(E_{21}z_{1}+E_{22}z_{2}\right) -{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{1))))}\left({\overline {E_{11))}{\overline {z_{1))}+{\ overline {E_{12))}{\overline {z_{2))}\right)-{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{2))))}\venstre({\ overline {E_{21}}}{\overline {z_{1}}}+{\overline {E_{22}}}{\overline {z_{2}}}\right),\qquad E\in {\ mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} ).

(S7)

Især for de grundlæggende elementer:

{\begin{aligned}\phi _{\mu ,\nu }(H)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1))}+z_{2} {\frac {\partial }{\partial z_{2))}-{\overline {z_{1))}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1))))}+ {\overline {z_{2))}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2))))}\\\phi _{\mu ,\nu}(X)&=- z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1))}-{\overline {z_{2))}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1)) ))}\\\phi _{\mu ,\nu}(Y)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2))}-{\overline {z_{1} }}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2}}}}}\end{aligned}}

(S8)

Se ejendomme ( m , n )

Repræsentationerne ( m , n ) defineret ovenfor af formel (A1) (som begrænsninger af den reelle form ) af tensorproduktet af irreducible komplekse lineære repræsentationer og algebraen er irreducerbare, og de er de eneste irreducible repræsentationer [64] . ${\mathfrak {sl}}(3,1)$ ${\displaystyle \pi _{m=\mu ))$ ${\displaystyle \pi _{n=\nu))$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$

Irreducerbarhed følger af enhedstricket [88] og det faktum, at repræsentationer Π af gruppen SU(2) × SU(2) er irreducible hvis og kun hvis [nb 29] , hvor er irreducible repræsentationer af gruppen SU(2) . ${\displaystyle \Pi =\Pi _{\mu }\nogle gange \Pi _{\nu ))$ ${\displaystyle \Pi _{\mu },\Pi _{\nu ))$
Det unikke følger af det faktum, at det er de eneste irreducerbare repræsentationer af gruppen SU(2) , som er en af sættet af maksimumvægtsætninger [89] . ${\displaystyle \Pi _{m))$

Dimension

Repræsentationer ( m , n ) er (2 m + 1) (2 n + 1) -dimensionelle [90] . Dette følger ganske enkelt af dimensionstællingen i enhver bestemt implementering, såsom den, der er angivet i afsnittet " Gruppe- og algebrarepræsentationer " . For en generel Lie-algebra er Weil-formlen for dimensionen [91] anvendelig , ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $\mathfrak{g}$

\dim \pi _{\rho }={\frac {\Pi _{\alpha \in R^{+))\langle \alpha ,\rho +\delta \rangle }{\Pi _{\ alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\delta \rangle }},

hvor R + er mængden af positive rødder, ρ er den største vægt, og δ er halvdelen af summen af de positive rødder. Et indre produkt er et indre produkt af en Lie-algebra -invariant under påvirkning af Weyl-gruppen på en alegbre- subalgebra af Cartan . Rødder (virkelige elementer gennem dette skalarprodukt identificeres med elementer af algebraen For formlen er reduceret til , hvor den eksisterende notation skal tages i betragtning . Den største vest er 2 μ [92] . $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\mathfrak {g)),$ ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}},$ ${\mathfrak {h}}^{*}$ ${\mathfrak {h}).$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ $\mathrm {dim} \pi _{\mu }=2\mu +1=2m+1$

Nøjagtighed

Hvis repræsentationen Π af Lie-gruppen G ikke er nøjagtig, så er N = ker Π en ikke-triviel normal undergruppe [93] . Der er tre tilfælde.

N er ikke-diskret og abelsk .
N er ikke-diskret og ikke-abelsk.
N er diskret. I dette tilfælde N ⊂ Z , hvor Z er midten af gruppen G . [NB 30]

I tilfælde af SO(3; 1) + er det første tilfælde udelukket, fordi gruppen SO(3; 1) + er semisimple [nb 31] . Det andet tilfælde (og det første) er udelukket, fordi SO(3; 1) + er simpelt [nb 32] . I det tredje tilfælde er SO(3; 1) + isomorf til faktorgruppen . Det er dog centrum . Dette indebærer, at midten af gruppen SO(3; 1) + er trivielt, og dette udelukker det tredje tilfælde. Ud fra dette kan vi konkludere, at enhver repræsentation Π : SO(3; 1) + → GL( V ) og enhver projektiv repræsentation Π : SO(3; 1) + → PGL( W ) for V , W af finit-dimensionelle vektorrum er nøjagtig. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}$ ${\displaystyle \{\pm I\))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Når man bruger den grundlæggende Lie-korrespondance, overføres ovenstående udsagn og argumenter direkte til Lie-algebraer, og erstatter (abelske) ikke-trivielle ikke-diskrete normale undergrupper med (en-dimensionelle) ikke-trivielle idealer i Lie-algebraen [94] , og midten af gruppen SO(3; 1) + erstattes af algebraens centrum . Centrum for enhver semisimple Lie-algebra er triviel [95] , og algebraen er semisimple og simpel, og har derfor ingen ikke-trivielle idealer. ${\mathfrak {sl}}(3;1)^{+}$ ${\mathfrak {så}}(3;1)$

Der er et relateret faktum, at hvis den tilsvarende grupperepræsentation er nøjagtig, så er repræsentationen projektiv. Omvendt, hvis repræsentationen ikke er projektiv, så er den tilsvarende repræsentation af gruppen ikke nøjagtig, men er en 2:1 repræsentation . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Ikke-enhedsmæssigt

Repræsentationen ( m , n ) af Lie-algebraen er ikke hermitisk. Den tilsvarende (projektive) repræsentation af gruppen er således ikke ensartet [nb 33] Dette er en konsekvens af Lorentz-gruppens ukompakthed. Faktisk kan en forbundet simpel ikke-kompakt Lie-gruppe ikke have nogen ikke-trivielle enheds finit-dimensionelle repræsentationer [38] . Der er et topologisk bevis for dette [96] . Lad , hvor V er finit-dimensional, være en kontinuerlig enhedsrepræsentation af en ikke-kompakt forbundet simpel Lie-gruppe G . Så , hvor U( V ) er en kompakt undergruppe af gruppen GL( V ) bestående af enhedstransformationer af rummet V . Kernen i u er en normal undergruppe af G . Da gruppen G er enkel, er ker u enten hele gruppen af G , i hvilket tilfælde u er trivielt, eller ker u er trivielt, i hvilket tilfælde u er nøjagtig . I sidstnævnte tilfælde er u en diffeomorfisme på sit billede [97] , og u ( G ) er en Lie-gruppe. Dette ville betyde, at u ( G ) er en indlejret ikke-kompakt undergruppe af den kompakte gruppe U( V ) , hvilket er umuligt med rumtopologien på , da alle indlejrede Lie-undergrupper i en Lie-gruppe er lukkede [98] . Hvis u ( G ) var lukket, ville den være kompakt [nb 34] , og så ville gruppen G [nb 35] være kompakt , hvilket modsiger antagelsen [nb 36] . $u:G\to \mathrm {GL} (V)$ $u(G)\subset \mathrm {U} (V)\subset \mathrm {GL} (V)$ $u(G)\cong G$ $u(G)\subset \mathrm {U} (V)$

For Lorentz-gruppens vedkommende kan dette ses direkte af definitionen. Repræsentationerne A og B brugt i konstruktionen er hermitiske. Det betyder, at matricen J er hermitisk og K er anti- hermitisk [99] . Ikke-enhed er ikke et problem i kvantefeltteorien, da observationsobjekter ikke kræves for at have en Lorentz-invariant positiv-definit norm [100] .

Begrænsninger for SO(3)

En repræsentation ( m , n ) er dog ensartet, hvis den er begrænset til en rotationsundergruppe af SO(3) , men disse repræsentationer er ikke irreducerbare som repræsentationer af SO(3)-gruppen. Clebsch-Gordan-nedbrydningen kan bruges til at vise, at ( m , n ) repræsentationen har SO(3) -invariante underrum af den største vægt (spin) [101] , hvor hver mulig største vægt (spin) forekommer nøjagtigt én gang. Det vægtede underrum af den største vægt (spin) j er (2 j + 1) -dimensionelt. For eksempel, ( ${\displaystyle m+n,m+n-1,\dots ,abs{mn))$ en2, en2) repræsentationen har underrum med spin 1 og spin 0 af henholdsvis dimension 3 og 1.

Da vinkelmomentoperatoren er givet af , vil det største spin i kvantemekanikken af rotationsunderrepræsentationen være lig med, og den "sædvanlige" vinkelmomentadditionsregel og formalismen for 3j-symboler , 6j-symboler osv. vil gælde. [102] . $\mathbf {J} =\mathbf {A} +\mathbf {B}$ $(m+n)\hbar$

Spinors

SO(3) -invariante rum af irreducerbare repræsentationer bestemmer, om en repræsentation har et spin. Det kan ses af det foregående afsnit, at repræsentationen ( m , n ) har spin, hvis m + n er halvt heltal. De enkleste er og , Weyl spinorer af dimension 2 . Så er for eksempel og summen af repræsentationerne af dimensionerne og hhv. Bemærk, at der ifølge det foregående afsnit er underrum med spins begge i de sidste to tilfælde, så disse repræsentationer ser ikke ud til at repræsentere enkelte fysiske partikler, der burde opføre sig godt ved SO(3) . Det er dog ikke muligt generelt at udelukke, at repræsentationer med flere SO(3) -underrepræsentationer med forskellige spins kunne repræsentere fysiske partikler med et veldefineret spin. Der kan være en passende relativistisk bølgeligning, der projicerer på de ikke-fysiske komponenter og efterlader kun et spin [103] . $({\tfrac {1}{2)),0)$ $(0,{\tfrac {1}{2)))$ $(0,{\tfrac {3}{2)))$ $(1,{\tfrac {1}{2)))$ $2{\tfrac {3}{2}}+1=4$ $(2+1)(2{\tfrac {1}{2}}+1)=6$ ${\tfrac {3}{2))$ ${\tfrac {1}{2))$

Konstruktionen af rene spin- repræsentationer for ethvert n (for SO(3) ) ud fra irreducerbare repræsentationer involverer beregning af tensorprodukterne af Dirac-repræsentationen med en ikke-spinor-repræsentation, allokering af et passende mellemrum og til sidst pålæggelse af differentielle begrænsninger [104] ${\tfrac {n}{2))$

Dobbelt repræsentationer

Følgende teoremer bruges til at teste, om den dobbelte repræsentation en irreducerbar repræsentation er isomorf i forhold til den oprindelige repræsentation:

Sættet af vægte den dobbelte repræsentation en irreducerbar repræsentation af en semisimple Lie-algebra er, inklusive multipliciteter, de negative værdier af vægtsættet af den oprindelige repræsentation [105] .
To irreducerbare repræsentationer er isomorfe, hvis og kun hvis de har den samme maksimale vægt . [NB 37]
For enhver semisimpel Lie-algebra er der et unikt element w 0 i Weyl-gruppen, således at hvis μ er den dominerende totalvægt, så er w 0 ⋅ (− μ ) igen den dominerende totalvægt [106]
Hvis er den irreducible repræsentation med den største vægt , så har den den største vægt [106] . $\pi _{\mu _{0}}$ $\mu_{0}$ $\pi _{\mu _{0}}^{*}$ $w_{0}\cdot (-\mu )$

Her behandles Weyl-gruppens elementer som ortogonale transformationer, der virker ved matrixmultiplikation på røddernes reelle vektorrum . Hvis − I er et element i Weil-gruppen af en semisimple Lie-algebra, så . I tilfælde af algebra er Weyl-gruppen [107] . Det følger heraf, at hver af dem er isomorfe til sin dual . Det algebraiske rodsystem er vist i figuren til højre [nb 38] . Weyl-gruppen genereres af grundstofferne , hvor der er en refleksion i planet vinkelret på γ , når γ løber gennem alle rødder [nb 39] . Undersøgelsen viser , at altså . Ved at bruge det faktum, at hvis er repræsentationer af Lie-algebraen og , så [108] , får vi for $w_{0}=-I$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ $W=\{I,-I\}$ $\pi _{\mu },\mu =0,1,\dots$ $\pi _{\mu }^{*}.$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $\{w_{\gamma }}\}$ ${\displaystyle w_{\gamma ))$ $w_{\alpha }\cdot w_{\beta }=-I$ $-I\in W$ $\pi ,\sigma$ $\pi \cong \sigma$ $\Pi \cong \Sigma$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$

\pi _{m,n}^{*}\cong \pi _{m,n},\quad \Pi _{m,n}^{*}\cong \Pi _{m,n} ,\quad 2m,2n\in \mathbf {N} .

Komplekse konjugerede repræsentationer

Hvis π er en Lie algebra-repræsentation, så er det en repræsentation, hvor overbjælken betyder elementmæssig kompleks konjugation i repræsentationsmatricerne. Dette følger af det faktum, at kompleks konjugation pendler med addition og multiplikation [109] . I det generelle tilfælde kan enhver irreducibel repræsentation π af algebraen skrives unikt i formen , hvor [110] ${\overline {\pi ))$ ${\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )$ $\pi =\pi ^{+}+\pi ^{-}$

\pi ^{\pm }(X)={\frac {1}{2}}\left(\pi (X)\pm i\pi \left(i^{-1}X\right) \ret),

med holomorf (kompleks lineær) og antiholomorf (konjugeret lineær). For da repræsentationen er holomorf, er repræsentationen anti-holomorf . En direkte undersøgelse af de eksplicitte udtryk for og i ligning (S8) nedenfor viser, at de er henholdsvis holomorfe og anti-holomorfe. En nærmere overvejelse af udtrykket (S8) giver os også mulighed for at identificere os med $\pi^+$ $\pi^-$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\displaystyle \pi _{\mu ))$ ${\displaystyle {\overline {\pi _{\mu ))))$ ${\displaystyle \pi _{\mu ,0))$ ${\displaystyle \pi _{0,\nu ))$ $\pi^+$ $\pi^-$ ${\displaystyle \pi _{\mu ,\nu ))$

\pi _{\mu ,\nu }^{+}=\pi _{\mu }^{\oplus _{\nu +1)),\qquad \pi _{\mu ,\nu } ^{-}={\overline {\pi _{\nu }^{\oplus _{\mu +1))))

Ved at bruge ovenstående identiteter (betragtet som punktvis tilføjelse af funktioner) får vi for SO(3; 1) +

{\begin{aligned}{\overline {\pi _{m,n))}&={\overline {\pi _{m,n}^{+}+\pi _{m,n} ^{-}}}={\overline {\pi _{m}^{\oplus _{2n+1))))+{\overline {{\overline {\pi _{n}}}^{\ oplus _{2m+1))))=\pi _{n}^{\oplus _{2m+1))+{\overline {\pi _{m))}^{\oplus _{2n+1 }}=\pi _{n,m}^{+}+\pi _{n,m}^{-}=\pi _{n,m}\\&&&2m,2n\in \mathbb {N} \ \{\overline {\Pi _{m,n}}}&=\Pi _{n,m}\end{aligned}}

hvor udsagnet for grupperepræsentationer følger af exp( X ) = exp( X ) . Dette indebærer, at irreducible repræsentationer ( m , n ) har repræsentanter i form af reelle matricer, hvis og kun hvis . Reducerbare repræsentationer af formen har også reelle matricer. $m=n$ $(m,n)\oplus (n,m)$

Adjoint repræsentation, Clifford algebra og Dirac spinor repræsentation

I generel repræsentationsteori, hvis ( π , V ) er en Lie-algebra-repræsentation , så er der en tilknyttet repræsentation af algebraen på End ( V ) , også betegnet med π , som er givet ved $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

\pi (X)(A)=[\pi (X),A],\qquad A\in \operatørnavn {End} (V),\ X\in {\mathfrak {g)).

(I1)

Tilsvarende giver repræsentationen (Π, V ) af gruppen G repræsentationen Π på End( V ) [111] af gruppen G , også betegnet med Π , som er givet ved formlen [112]

\Pi (g)(A)=\Pi (g)A\Pi (g)^{-1},\qquad A\in \operatørnavn {End} (V),\ g\in G.

(I2)

Hvis π og Π er standardrepræsentationerne på, og hvis handlingen er begrænset til algebraen , er de to ovenstående repræsentationer henholdsvis den adjunkte repræsentation af Lie-algebraen og den adjunkte repræsentation af gruppen . De tilsvarende repræsentationer ( eller ) eksisterer altid for enhver matrix Lie-gruppe og er de vigtigste for studiet af repræsentationsteori generelt og for enhver given Lie-gruppe i særdeleshed. $\R^4$ ${\mathfrak {so}}(3,1)\subset {\text{End}}(\mathbb {R} ^{4}),$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$

Hvis vi anvender dette på Lorentz-gruppen, når (Π, V ) er en projektiv repræsentation, så viser direkte beregninger ved hjælp af formel (G5) , at den inducerede repræsentation på End( V ) er en egenrepræsentation, dvs. repræsentation uden fasefaktorer.

I kvantemekanikken betyder det, at hvis ( π , H ) eller (Π, H ) er en repræsentation, der virker på et eller andet Hilbert-rum H , så virker de tilsvarende inducerede repræsentationer på sættet af lineære operatorer på H. Som et eksempel er den inducerede repræsentation af den projektive spin-repræsentation på End( H ) en ikke-projektiv 4-vektor ( $({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))$ en2, en2) repræsentation [113] .

For nemheds skyld betragter vi kun den "diskrete del" af algebraen End( H ) , det vil sige, hvis der er givet et grundlag for H , så er sættet af konstante matricer af forskellige dimensioner, inklusive mulige uendelige dimensioner. Den inducerede 4-vektor repræsentation ovenfor på denne forenklede End( H ) har et invariant 4-dimensionelt underrum spændt ud af fire gammamatricer [114] . (Metriske konventioner er forskellige i den refererede artikel.) Tilsvarende dekomponerer den fulde Clifford rum-tid algebra , hvis kompleksisering genereres af gamma matricer til en direkte sum af repræsentationsrum af skalære irreducible repræsentationer, (0, 0) , pseudoskalær irreducible repræsentationer, også (0, 0) , men med den reciproke af paritetsegenværdien −1 , se næste afsnit nedenfor, de allerede nævnte vektor irreducible repræsentationer , de pseudovektor irreducible repræsentationer med den reciproke egenværdi af paritet +1 (ikke −1) , og de tensor irreducible repræsentationer [115] . Dimensionerne summeres til værdien 1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16 . Med andre ord, ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} ),$ ${\text{M}}(4,\mathbb {C} ),$ $({\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1}{2)))$ $({\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1}{2)))$ $(1,0)\oplus (0,1)$

{\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )=(0,0)\oplus \left({\frac {1}{2)),{\frac {1 }{2}}\right)\oplus [(1,0)\oplus (0,1)]\oplus \left({\frac {1}{2)),{\frac {1}{2)) \right)_{p}\oplus (0,0)_{p}.

(I3)

Spin repræsentation

({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))

Det seksdimensionelle repræsentationsrum af en tensor - repræsentationen indeni spiller to roller. Først [116] $(1,0)\oplus (0,1)$ ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$

\sigma ^{\mu \nu}=-{\frac {i}{4}}\venstre[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu}\right],

(I4)

hvor er gammamatricer. Repræsentationsrummet spændes over sigmaer, hvoraf kun 6 ikke er nul på grund af beslagets antisymmetri. Desuden har de kommuteringsrelationerne fra den Lorentzianske Lie-algebra [114] , $\gamma ^{0},\ldots ,\gamma ^{3}\in {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$

\left[\sigma ^{\mu \nu},\sigma ^{\rho \tau }\right]=i\left(\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\ sigma ^{\mu \tau }\right),

(I5)

og dermed udgør repræsentationen indeni , spinor-repræsentationen. For detaljer se papirerne " Bispinor " og "Dirac's Algebra" . ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$ $({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))$

Konklusion: ethvert element kompleksificeret i End( H ) (det vil sige enhver kompleks 4 × 4 matrix ) har veldefinerede egenskaber for Lorentz-transformationen. Derudover har dette element en spinor-repræsentation af Lorentzian Lie-algebraen, som, når den eksponentieres, bliver spinor-repræsentationen af den gruppe, der virker på , hvilket gør den til et rum af bispinorer. ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$

Reducerbare repræsentationer

Der er mange andre repræsentationer, der kan udledes af irreducerbare ved at tage direkte summer, tensorprodukter og faktorgrupper af irreducerbare repræsentationer. Andre metoder til at opnå repræsentationer omfatter begrænsning af repræsentationen af en større gruppe, der indeholder en Lorentz-gruppe, for eksempel, og en Poincaré-gruppe. Sådanne repræsentationer er generelt ikke irreducerbare. ${\text{GL))(n,\mathbb {R} )$

Lorentz-gruppen og dens Lie-algebra har den fuldstændige reduktionsegenskab . Det betyder, at enhver repræsentation reduceres til en direkte sum af irreducerbare repræsentationer. De fremlagte fremstillinger er derfor ikke omtalt her.

Ruminversion og tidsvending

Den (muligvis projektive) repræsentation ( m , n ) er irreducerbar som en repræsentation af gruppen SO(3; 1) + , identitetskomponenten i Lorentz-gruppen, i fysisk terminologi den korrekte ortokroniske Lorentz -gruppe. Hvis m = n , kan repræsentationen udvides til at repræsentere alle O(3; 1) , komplette Lorentz-grupper, inklusive paritetsinversion og tidsvending . Visninger kan udvides på samme måde [117] . $(m,n)\oplus (n,m)$

Invertering af rummets paritet

For rumparitetsinversion betragter vi den sideordnede handling Ad P P ∈ SO(3; 1) på , hvor P er standardrepræsentanten for rumparitetsinversion, P = diag(1, −1, −1, −1) , givet ved udtrykket ${\mathfrak {så}}(3;1)$

\mathrm {Ad} _{P}(J_{i})=PJ_{i}P^{-1}=J_{i},\qquad \mathrm {Ad} _{P}(K_{i} })=PK_{i}P^{-1}=-K_{i}.

(F1)

Det er egenskaberne for K og J under P , der forklarer udtrykkene vektor for K og pseudovektor eller aksial vektor for J. Tilsvarende, hvis π er en algebra-repræsentation, og Π er dens tilknyttede gruppe-repræsentation, så virker Π(SO(3; 1) + ) på repræsentationen π ved en adjunkt handling, for algebraen . Hvis P er inkluderet i Π , så kræver overensstemmelse med ligning (F1) det ${\mathfrak {så}}(3;1)$ ${\displaystyle \pi (X)\mapsto \mathrm {\Pi } (g)\pi (X)\mathrm {\Pi} (g)^{-1))$ $X\in {\mathfrak {so}}(3;1),$ ${\displaystyle g\in \mathrm {SO} (3;1)^{+))$

\Pi (P)\pi (B_{i})\Pi (P)^{-1}=\pi (A_{i}),

(F2)

hvor A og B er defineret som i første afsnit af afsnittet. Dette kan kun være sandt, hvis og har de samme dimensioner, dvs. kun hvis m = n . Hvis m ≠ n , så kan udvides til en irreducerbar grupperepræsentation , den ortokroniske Lorentz-gruppe. Den lige paritetsrepræsentation Π( P ) kommer ikke automatisk med grundkonstruktionen af ( m , n ) repræsentationer. Det skal opføres separat. Matrixen β = i γ 0 kan bruges i [118] repræsentationen. $A_{i}$ $B_{i}$ $(m,n)\oplus (n,m)$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$ $({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))$

Hvis paritet kommer ind med et minustegn ( 1×1 matrix [−1] ) i repræsentationen (0,0) , kaldes det en pseudoskalær repræsentation.

Tidsændring

Tidsvending virker på samme måde på algebra som [119] $T=\mathrm {diag} (-1,1,1,1)$ ${\mathfrak {så}}(3;1)$

\mathrm {Ad} _{T}(J_{i})=TJ_{i}T^{-1}=-J_{i},\qquad \mathrm {Ad} _{T}(K_{ i})=TK_{i}T^{-1}=K_{i}.

(F3)

Ved eksplicit at inkludere repræsentationen for T såvel som for P , opnår man en repræsentation af den fulde Lorentz-gruppe O(3; 1) . For fysikken opstår her et lille problem, især inden for kvantemekanikken. Når hele Poincaré-gruppen betragtes, genererer fire yderligere generatorer, P μ sammen med J i og K i , en gruppe. De tolkes som parallelle overførselsgeneratorer. Tidskomponenten P 0 er Hamiltonian H . Operatøren T opfylder relationen [120]

\mathrm {Ad} _{T}(iH)=TiHT^{-1}=-iH

(F4)

i analogi med rotationer med algebra erstattet af den fulde Poincaré-algebra . Efter blot at have fjernet variablerne i'er fra THT −1 = − H , ville det følge, at enhver tilstand Ψ med positiv energi E i Hilbert-rummet af kvantetilstande med tidsvendende invarians ville være en tilstand Π( T −1 )Ψ med negativ energi − E . Sådanne stater eksisterer ikke. Operatoren Π( T ) er derfor valgt til at være antilineær og antiunitær , så den antipendler med i , hvilket giver , og dens virkning på Hilbert-rummet er lige antilineær og antiunitær [121] . Det kan udtrykkes som en superposition af kompleks konjugation med multiplikation med en enhedsmatrix [122] . For en matematisk overvejelse af problemstillingen, se artiklen "Wigners sætning" , men med øje for uoverensstemmelsen i terminologi - Π er ikke en repræsentation . ${\mathfrak {så}}(3;1)$ $THT^{-1}=H$

Ved konstruktion af teorier, såsom QED , som er invariant under paritet af rum og vending af tid, kan Dirac-spinorer bruges, mens andre teorier, hvor der ikke er nogen invarians, såsom den elektrosvage interaktion , skal formuleres i termer af Weyl-spinorer . Dirac-repræsentationen tages normalt for at inkludere både rumpariteten og tidens vending. Uden at vende pariteten af et rum er det ikke en irreducerbar repræsentation. $({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))$

Den tredje diskrete symmetri inkluderet i CPT-sætningen , sammen med P og T , ladningskonjugationssymmetrien C , har intet direkte med Lorentz-invariansen at gøre [123] .

Handlinger på funktionsrum

Hvis V er et vektorrum af funktioner i et endeligt antal variable n , så er handlingen på skalarfunktionen givet af $f\in V$

(\Pi (g)f)(x)=f\venstre(\Pi _{x}(g)^{-1}x\right),\qquad x\in \mathbb {R} ^{ n},f\in V

(H1)

giver en anden funktion . Her er en n - dimensionel repræsentation, og Π er en muligvis uendelig-dimensionel repræsentation. Et særligt tilfælde af denne konstruktion opnås, når V er rummet af funktioner defineret på selve den lineære gruppe G , betragtet som en n - dimensionel manifold indlejret i (med m som dimensionen af matricerne) [124] Dette er indstillingerne i som Peter-Weil-sætningen er formuleret og Borel-Weyl-Bott-sætningen . Den første af de nævnte demonstrerer eksistensen af en Fourier-udvidelse af funktioner på kompakte grupper til karakterer af finit-dimensionelle repræsentationer [64] . Den sidste sætning, der giver mere eksplicitte repræsentationer, bruger et enhedstrick for at opnå en repræsentation af komplekse ikke-kompakte grupper, f.eks. $\mathrm {\Pi } f\in V$ ${\displaystyle \mathrm {\Pi } _{x))$ $\mathbb {R} ^{m^{2))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$

De følgende afsnit illustrerer virkningen af Lorentz-gruppen og rotationsundergrupper på nogle funktionsrum.

Euklidiske rotationer

Undergruppen SO(3) af tredimensionelle euklidiske rotationer har en uendelig dimensionel repræsentation i Hilbert-rummet

L^{2}\left(\mathbb {S} ^{2}\right)=\operatørnavn {span} \left\{Y_{m}^{l},l\in \mathbb {N} ^{+},-l\leqslant m\leqslant l\right\},

hvor er sfæriske harmoniske . En vilkårlig kvadrat-integrerbar funktion f på enhedssfæren kan udtrykkes som [125] ${\displaystyle Y_{m}^{l))$

f(\theta ,\varphi )=\sum _{l=1}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}f_{lm}Y_{m}^{l} (\theta ,\varphi ),

(H2)

hvor f lm er generaliserede Fourier-koefficienter .

Lorentz-gruppens handlinger er begrænset til handlinger på SO(3) og udtrykkes som

(\Pi (R)f)(\theta (x),\varphi (x))=\sum _{l=1}^{\infty}\sum _{m=-l}^{l }\sum _{m'=-l}^{l}D_{mm'}^{(l)}(R)f_{lm'}Y_{m}^{l}\left(\theta \left( R^{-1}x\right),\varphi \left(R^{-1}x\right)\right),\qquad R\in \mathrm {SO} (3),\quad x\in \ mathbb {S} ^{2},

(H4)

hvor D l er opnået fra repræsentanter for ulige dimensioner af rotationsgeneratorer.

Möbius-gruppen

Identitetskomponenten af Lorentz-gruppen er isomorf for Möbius - gruppen M. Denne gruppe kan ses som en konform kortlægning af enten det komplekse plan eller, via stereografisk projektion , Riemann-sfæren . Således kan Lorentz-gruppen selv ses som værende konformt på det komplekse plan eller på Riemann-sfæren.

På planet virker Möbius-transformationen, som er beskrevet ved komplekse tal , efter formlen [126] . $a,b,c,d$

f(z)={\frac {az+b}{cz+d)),\qquad ad-bc\neq 0

(M1)

og kan repræsenteres af komplekse matricer

\Pi _{f}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix)),\qquad \lambda \i \mathbb {C} -\{0\},\operatørnavn {det} \Pi _{f}=1,

(M2)

da multiplikation med en ikke-nul kompleks skalar ikke ændrer f . Disse er elementerne i gruppen, og de er unikke op til et tegn (fordi det giver samme f ), derfor, ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\displaystyle \pm \mathrm {\Pi } _{f))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}\cong {\text{SO}}(3;1)^{+}.$

Riemann P-symboler

Riemann P-symboler , løsninger af Riemann differentialligning, er et eksempel på et sæt funktioner, der transformeres til hinanden under påvirkning af Lorentz-gruppen. Riemann P-symbolerne er udtrykt som [127]

w(z)=P\venstre\{{\begin{matrix}a&b&c&\\\alpha &\beta &\gamma &\;z\\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\end {matrix}}\right\}=\left({\frac {za}{zb}}\right)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\right)^{\gamma }P\venstre\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(za)(cb)}{(zb)(ca))) \\\alpha '-\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\end{matrix}}\right\},

(T1)

hvor er komplekse konstanter. P-funktionen til højre kan udtrykkes ved hjælp af de hypergeometriske standardfunktioner . Her er linket [128] $a,b,c,\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',\beta ',\gamma '$

P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\\0&a&0&\;z\\1-c&b&c-ab&\end{matrix}}\right\}={}_{2}F_{ 1}(a,\,b;\,c;\,z).

(T2)

De indstillede konstanter 0, ∞, 1 fra den øverste række til venstre er regulære entalspunkter i den hypergeometriske ligning [129] . Deres eksponenter , dvs. løsningerne af den definerende ligning for fortsættelsen omkring entalspunktet 0 , vil være 0 og 1 − c , svarende til to lineært uafhængige løsninger [nb 40] , og for fortsættelsen omkring entalspunktet 1 vil de være 0 og [130] . På samme måde er eksponenterne for ∞ a og b for de to løsninger [131] . $førerhus$

Så har vi

w(z)=\left({\frac {za}{zb}}\right)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\right)^{\gamma } {}_{2}F_{1}\venstre(\alpha +\beta +\gamma ,\,\alpha +\beta '+\gamma ;\,1+\alpha -\alpha ';\,{\frac {(za)(cb)}{(zb)(ca)}}\højre),

(T3)

hvor er tilstanden (nogle gange kaldet Riemann-identiteten) [132] .

\alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1

for eksponenterne for løsninger af Riemanns differentialligning bruges til at bestemme γ ′ .

Det første sæt konstanter på venstre side i (T1) , a , b , c , repræsenterer de regulære entalspunkter i Riemanns differentialligning. Det andet sæt t, , er et sæt af tilsvarende eksponenter i for en af to lineært uafhængige løsninger og er følgelig eksponenter i punkterne a , b , c for den anden løsning. $\alfa ,\beta ,\gamma$ $a,b,c$ $\alpha ',\beta ',\gamma '$

Lad os definere Lorentz-gruppens handling på sættet af alle Riemann P-symboler, idet vi tager

u(\Lambda )(z)={\frac {Az+B}{Cz+D)),

(T4)

hvor er matrixelementer $A,B,C,D$

\lambda ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),

(T5)

for Lorentz-transformationen. ${\displaystyle \Lambda =p(\lambda )\in \mathrm {SO} (3;1)^{+))$

Lad os definere

[\Pi (\Lambda )P](z)=P[u(\Lambda )(z)],

(T6)

hvor P er Riemann P-symbolet. Den resulterende funktion er igen en Riemann P-funktion. Effekten af Möbius-transformationen af argumentet udtrykkes som et polskifte til en ny placering, og dermed en ændring i de kritiske punkter, men ingen ændring i eksponenterne for differentialligningen, som den nye funktion opfylder. Den nye funktion er udtrykt ved udtrykket

[\Pi (\Lambda )P](u)=P\venstre\{{\begin{matrix}\eta &\zeta &\theta &\\\alpha &\beta &\gamma &\;u \\\alpha '&\beta '&\gamma '&\end{matrix}}\right\},

(T6)

hvor

\eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}\quad ,\quad \zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad ,\quad \theta = {\frac {Ac+B}{Cc+D)).

(T7)

Uendelig-dimensionelle enhedsrepræsentationer

Historie

Lorentz-gruppen og dens dobbeltdæksel har uendelig-dimensionelle enhedsrepræsentationer, som uafhængigt blev studeret af Bargman [57] , Gelfand og Naimark [133] og Harish-Chandra [10] på foranledning af Paul Dirac [134] [135] . Dirac [136] begyndte at betræde denne vej ind i forskning , da han kom op med matricerne U og B , der var nødvendige for at beskrive højere spins (sammenlign med Dirac-matricerne ), trådt af Firtz [137] med hans udvikling (se artiklen af Firtz og Pauli [138] ) og foreslog en forgænger til Bargmann-Wigner-ligningerne [139] . Dirac i sin artikel [9] foreslog en specifik uendelig-dimensionel repræsentation af rummet, hvis elementer han kaldte ekspansors , som en generalisering af tensorer. [nb 41] Disse ideer blev adopteret af Harish-Chandra og udvidede i et papir fra 1947 begrebet spinorer til at omfatte expinors som en uendelig-dimensionel generalisering af spinorer. ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Plancherel-formlen for disse grupper blev opnået af Gelfand og Naimark ved hjælp af volumenberegninger. Harish-Chandra [140] og Gelfand og Graev [141] forenklede efterfølgende præsentationen i vid udstrækning , baseret på analogien med Hermann Weyl - integrationsformlen for kompakte Lie-grupper [142] . En elementær redegørelse for denne tilgang kan findes i Rühl [143] og Knapp [64] . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Teorien om sfæriske funktioner for Lorentz-gruppen, som er nødvendige for harmonisk analyse på en hyperboloid model af et 3-dimensionelt hyperbolsk rum i Minkowski-rummet , er meget enklere end i den generelle teori. Det involverer kun repræsentationer fra den sfæriske hovedserie [ en og kan Lengpåpå en hyperboloid i radiale koordinater svarer til LaplacianenLaplacianenstuderes direkte, da [147] . $\mathbb {R} .$

Hovedserie for SL(2, C)

Hovedrækker eller enhedshovedrækker er enhedsrepræsentationer induceret [ en fra de endimensionelle repræsentationer af den nedre trekantede undergruppe B i gruppen . $G={\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$

\chi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}z&0\\c&z^{-1}\end{pmatrix}}=r^{i\nu}e^{ik\theta },

for heltal k og reelt ν med . Repræsentationer er irreducible repræsentationer . De eneste gentagelser, dvs. repræsentationsisomorfismer opstår, når k erstattes af − k . Per definition realiseres repræsentationer på fibre L 2 af linjebundter på , som er isomorfe til Riemann-sfæren . Når k = 0 , danner disse repræsentationer den såkaldte sfæriske hovedrække . ${\displaystyle z=re^{i\theta ))$ $G/B=\mathbb {S} ^{2}$

Begrænsningen af hovedserien til den maksimale kompakte undergruppe af G kan realiseres som en induceret repræsentation af undergruppen K ved at bruge identifikationen , hvor er den maksimale torus i undergruppen K , bestående af diagonale matricer med . Denne repræsentation er genereret af den 1-dimensionelle repræsentation og er uafhængig af . Ved Frobenius reciprocity , på undergruppen K dekomponerer de til en direkte sum af irreducible repræsentationer af undergruppen K med dimensioner med et ikke-negativt heltal m . $K=\mathrm {SU} (2)$ $G/B=K/T$ $T=B\cap K$ $|z|=1$ $z^{k}T$ $\nu$ $abs(k)+2m+1$

Ved at bruge identifikationen mellem Riemann-sfæren uden et punkt og hovedrækken kan man bestemme direkte ved formlen [148] . $\mathbb {C}$ $L^{2}(\mathbb {C} )$

\pi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-i\ nu }\left({cz+d \over |cz+d|}\right)^{-k}f\left({az+b \over cz+d}\right).

Irreducerbarhed kan kontrolleres på flere måder:

Repræsentationen er allerede irreducerbar på B . Dette kan ses direkte, men der er også et særligt tilfælde af generelle resultater om irreducerbarheden af inducerede repræsentationer, takket være François Bruhat og George Mackay , der stoler på Bruhat-nedbrydningen , hvor s er et element i Weil gruppe [149] . $G=B\cup BsB$

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

Virkningen af Lie-algebraen i gruppen G kan beregnes eksplicit på den algebraiske direkte sum af irreducerbare underrum i undergruppen K , og det kan verificeres direkte, at underrummet af den mindste dimension genererer denne direkte sum som et -modul [10 ] [150] . $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

Yderligere serier for SL(2, C)

For en yderligere serie er defineret på rummet af kvadratiske integrerbare funktioner for det skalære produkt [151] . $0<t<2$ $L^{2}(\mathbb {C} )$

(f,g)_{t}=\iint {\frac {f(z){\overline {g(w)))}{|zw|^{2-t))}\,dz\ ,dw,

med handlingen givet af ligningen [57] [152]

\pi _{t}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-t}f\venstre ({az+b \over cz+d}\right).

Komplementære serierepræsentationer er irreducerbare og parvise ikke-isomorfe. Som en repræsentation af undergruppen K er hver af dem isomorf i forhold til Hilbert-rummet af direkte summer af alle ulige-dimensionelle irreducerbare repræsentationer for undergruppen K = SU(2) . Irreducerbarhed kan bevises ved at analysere algebraens virkning på den algebraiske sum af disse underrum [10] [150] eller direkte uden at bruge Lie-algebraen [133] [153] . $\mathfrak{g}$

Plancherels sætning for SL(2, C)

De eneste irreducerbare enhedsrepræsentationer af en gruppe er hovedrækken, den ekstra række og den trivielle repræsentation. Da −I virker som (−1) k på hovedserien og trivielt på de andre, vil dette give alle irreducible enhedsrepræsentationer af Lorentz-gruppen, hvis k er lige. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

For at dekomponere den venstre regulære repræsentation af gruppen G til kun hovedserien er det nødvendigt. Dette giver straks en underrepræsentationsnedbrydning af den venstre regulære repræsentation af Lorentz-gruppen og , en regulær repræsentation i 3-dimensionelt hyperbolsk rum. (Den første bruger kun repræsentationer af hovedserien med lige k , den anden bruger kun repræsentationer med k = 0 .) $L^{2}(G)$ $L^{2}(G/\{\pm I\}),$ $L^{2}(G/K)$

Venstre og højre regulære repræsentationer λ og ρ er defineret på formlerne $L^{2}(G)$

{\begin{aligned}(\lambda (g)f)(x)&=f\left(g^{-1}x\right)\\(\rho (g)f)(x)& =f(xg)\end{aligned}}

Nu, hvis f er et element af C c ( G ) , operatoren defineret som $\pi _{\nu ,k}(f)$

\pi _{\nu ,k}(f)=\int _{G}f(g)\pi (g)\,dg

er Hilbert-Schmidt-operatøren . Vi definerer Hilbert-rummet H ved formlen

H=\bigoplus _{k\geqslant 0}{\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C})\right)\nogle gange L^{2}\left(\ mathbb {R} ,c_{k}{\sqrt {\nu ^{2}+k^{2}}}d\nu \right),

hvor

c_{k}={\begin{cases}{\frac {1}{4\pi ^{3/2}}}&k=0\\{\frac {1}{(2\pi )^ {3/2}}}&k\neq 0\end{cases}}

og angiv Hilbert-rummet for Hilbert-Schmidt-operatorer på [nb 42] . Derefter kortet U defineret på C c ( G ) af udtrykket ${\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)$ $L^{2}(\mathbb {C} )$

U(f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(f)

udvides til en enhedsgruppekortlægning i H . $L^{2}(G)$

Kortlægningen U opfylder sammenfiltringsegenskaben

U(\lambda (x)\rho (y)f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(x)^{-1}\pi _{\nu ,k} (f)\pi _{\nu ,k}(y).

Hvis de forekommer i , så i henhold til unitariteten $f_{1},f_{2}$ $C_{c}(G)$

$(f_{1},f_{2})=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatørnavn {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f_{1})\pi _{\nu,k}(f_{2})^{*}\right)\left(\nu ^{2}+ k^{2}\right)\,d\nu .$

Så, hvis betegner foldningen og , og derefter [154] $f=f_{1}*f_{2}^{*}$ $f_1$ $f_{2}^{*}$ $f_{2}^{*}(g)={\overline {f_{2}(g^{-1))))),$

$f(1)=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatørnavn {Tr} \left(\pi _{ \nu ,k}(f)\højre)\venstre(\nu ^{2}+k^{2}\højre)\,d\nu .$

De sidste to angivne formler omtales normalt som henholdsvis Plancherel- formlen og formlen for den inverse Fourier-transformation .

Plancherel-formlen gælder for alt . Ifølge Jacques Dixmiers og Paul Mallyavins sætning er enhver glat funktion med kompakt støtte på en endelig foldningssum af lignende funktioner, inversionsformlen gælder for sådanne f . Dette kan udvides til en meget bredere klasse af funktioner, der opfylder svage differentieringsbetingelser [64] . $f_{i}\in L^{2}(G)$ $G$

Klassificering af SO(3, 1) repræsentationer

Strategien, der følges ved klassificering af irreducible uendelig-dimensionelle repræsentationer, er, analogt med det endelig-dimensionelle tilfælde, at antage deres eksistens og derefter undersøge deres egenskaber. Lad os først antage, at der er en irreducerbar , stærkt kontinuert uendelig-dimensionel repræsentation Π H på Hilbertrummet H i gruppen SO(3; 1) + [155] . Da SO(3) er en undergruppe, er Π H dens repræsentation. Enhver irreducerbar underrepræsentation af SO(3) er endelig-dimensionel, og en repræsentation af SO(3) kan nedbrydes til en direkte sum af irreducerbare endelig-dimensionelle enhedsrepræsentationer af SO(3), hvis Π H er unitar [156] .

Trinene er [157] :

Vi vælger et passende grundlag for de fælles egenvektorer for matricerne J 2 og J 3 .
Vi beregner matrixelementerne J 1 , J 2 , J 3 og K 1 , K 2 , K 3 .
Vi leverer kommuteringsrelationer for Lie-algebraen.
Vi kræver enhed sammen med ortogonalitet af grundlaget [nb 43] .

Trin 1

Et passende grundlag og etiketter er givet som

\left|j_{0}\,j_{1};j\,m\right\rangle .

Hvis dette var en endelig dimensionel repræsentation, så ville j 0 svare til den mindste egenværdi j ( j + 1) af matrix J 2 i repræsentationen lig med , og j 1 ville svare til den største egenværdi lig med m + n . I det uendelig-dimensionelle tilfælde bevarer det denne betydning, men j 1 gør det ikke [70] . For nemheds skyld antages det, at et givet j kun forekommer én gang i en given repræsentation (dette er tilfældet med endelig-dimensionelle repræsentationer), og det kan vises [158] , at denne antagelse kan forkastes (med en vis beregningsmæssig kompleksitet), mens resultaterne bevares. $|mn|$ $j_{0}\geqslant 0$

Trin 2

Næste trin er at beregne matrixelementerne for operatorerne J 1 , J 2 , J 3 og K 1 , K 2 , K 3 , som danner grundlaget for Lie algebraen Matricens elementer og kendes fra repræsentationen . teori om rotationsgrupper og er givet ved formlerne [159] [160] . ${\mathfrak {så}}(3;1).$ ${\displaystyle J_{\pm }=J_{1}\pm iJ_{2))$ $J_{3}$

{\begin{aligned}\left\langle j\,m\right|J_{+}\left|j\,m-1\right\rangle &=\left\langle j\,m-1\ højre|J_{-}\venstre|j\,m\højre\rangle ={\sqrt {(j+m)(j-m+1))),\\\venstre\langle j,m\right|J_ {3}\left|j\,m\right\rangle &=m,\end{aligned}}

hvor mærkerne j 0 og j 1 er udeladt, fordi de er ens for alle basisvektorer i repræsentationen.

Ifølge kommuteringsforholdet

[J_{i},K_{j}]=i\epsilon _{ijk}K_{k},

det tredobbelte ( K i , K i , K i ) ≡ K er en vektoroperator [161] og Wigner-Eckart-sætningen [162] er anvendelig til at skifte matrixelementer mellem tilstande repræsenteret ved valget af en basis [163 ] . Matrix Matrix Elementer

{\begin{aligned}K_{0}^{(1)}&=K_{3},\\K_{\pm 1}^{(1)}&=\mp {\frac {1} {\sqrt {2}}}(K_{1}\pm iK_{2}),\end{aligned}}

hvor den hævede skrift (1) betyder, at mængden er en komponent af den sfæriske tensoroperator rang (hvilket også forklarer tilstedeværelsen af faktoren √ 2 ), og de sænkede 0, ±1 henviser til q i formlerne nedenfor [164] $k=1$

{\begin{aligned}\left\langle j'm'\left|K_{0}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\ ,m'\,k=1\,q=0|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle ,\ \\left\langle j'm'\left|K_{\pm 1}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k =1\,q=\pm 1|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle .\end{aligned} }

Her er de første faktorer til højre Clebsch-Gordan-koefficienterne for at forbinde j ′ med k for at få j . Den anden faktor er reducerede matrixelementer . De afhænger ikke af m , m′ eller q , men de afhænger af j , j′ og selvfølgelig af K . For en komplet liste over ligninger, der ikke er nul, se Harish-Chandra [165] .

Trin 3

Næste skridt er at kræve, at Lie algebra-relationerne holder, dvs. hvad

[K_{\pm },K_{3}]=\pm J_{\pm },\quad [K_{+},K_{-}]=-2J_{3}.

Dette fører til et sæt ligninger [166] , for hvilke løsningerne er [167]

{\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=i{\frac {j_{1}j_{0}} {\sqrt {j(j+1)}}},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-B_{j} \xi _{j}{\sqrt {j(2j-1)}}),\\\venstre\langle j-1\venstre\|K^{(1)}\højre\|j\højre\rangle & = B_{j}\xi _{j}^{-1}{\sqrt {j(2j+1)}},\end{aligned}}

hvor

B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}-j_{1}^{2})}{j ^{2}(4j^{2}-1)}}},\quad j_{0}=0,{\tfrac {1}{2)),1,\ldots \quad ,\quad j_{1} ,\xi _{j}\in \mathbb {C} .

Trin 4

Pålæggelsen af enhedskravet for den tilsvarende grupperepræsentation begrænser de mulige værdier for de komplekse tal og . Enheden af grupperepræsentationen går over i kravet om, at Lie algebra-repræsentationer skal være hermitiske, hvilket betyder $j_0$ ${\displaystyle \xi _{j))$

K_{\pm }^{\dolk }=K_{\mp },\quad K_{3}^{\dolk }=K_{3}.

Dette går ind i [168]

{\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &={\overline {\left\langle j\left\|K ^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=- {\overline {\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle )),\end{aligned))

og fører til [169]

{\begin{aligned}j_{0}\left(j_{1}+{\overline {j_{1}}}\right)&=0,\\\left|B_{j}\right| \left(\left|\xi _{j}\right|^{2}-e^{-2i\beta _{j}}\right)&=0,\end{aligned}}

hvor β j er vinklen B j i polær form. Det følger heraf og vælges efter aftale. Der er to mulige tilfælde: $|B_{j}|\neq$ $\left|\xi _{j}\right|^{2}=1$ $\xi _{j}=1$

${\underline {j_{1}+{\overline {j_{1}}}=0.}}$ I dette tilfælde ν [ 170] $j_{1}=-i\nu$ $\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle ={\frac {\nu j_{0}}{j(j+1)))\ quad$ og $\quad B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}+\nu ^{2})}{4j ^{2}-1}}}$

Dette er hovedserien . Dens elementer er mærket

(j_{0},\nu ),2j_{0}\in \mathbb {N} ,\nu \in \mathbb {R} .

${\underline {j_{0}=0.))$ Heraf følger [171] : $\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle =0\quad$ og ${\displaystyle \quad B_{j}={\sqrt {\frac {j^{2}-\nu ^{2}}{4j^{2}-1))))$

Siden , er reel og positiv for , hvilket fører til . Dette er en ekstra serie . Dens elementer er markeret med .

B_{0}=B_{j_{0))

B_{j}^{2}

j=1,2,\dots

-1\leqslant \nu \leqslant 1

(0,\nu ),-1\leqslant \nu \leqslant 1

Dette viser, at repræsentationerne ovenfor alle er uendelig-dimensionelle irreducerbare enhedsrepræsentationer.

Eksplicitte formler

Lie algebra konventioner og baser

Metrikken er givet af en matrix, og de fysiske konventioner for Lie-algebraer og den eksponentielle afbildning anvendes. Dette valg er vilkårligt, men når det først er valgt, ændres det ikke. En af de mulige baser for Lie-algebraen i 4-vektor-repræsentationen er givet ved formlerne: $\eta =\mathrm {diag} (-1,1,1,1)$

{\begin{aligned}J_{1}=J^{23}=-J^{32}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{ pmatrix}},&J_{2}=J^{31}=-J^{13}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}}), &J_ {3}=J^{12}=-J^{21}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix)),\\[8pt] K_ {1}=J^{01}=J^{10}&=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix)),&K_{2}=J^{ 02 }=J^{20}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},&K_{3}=J^{03}=J^{30} & =i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Lie algebra kommutationsrelationer [172] : ${\mathfrak {så}}(3;1)$

\left[J^{\mu \nu},J^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }J^{\rho \nu}+\ eta ^{\nu \sigma }J^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }J^{\sigma \nu}-\eta ^{\nu \rho }J^{\mu \ sigma}\right).

I notationen af tredimensionelt rum vil dette være [173]

\left[J_{i},J_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}J_{k},\quad \left[J_{i},K_{j}\right]=i \epsilon _{ijk}K_{k},\quad \left[K_{i},K_{j}\right]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}.

Valget af basis ovenfor tilfredsstiller rotationer, men et andet valg er muligt. Bemærk den flere brug af J -symbolet over og under.

Weyl spinorer og bispinorer

At tage på skift og lægge $m={\tfrac {1}{2}},n=0$ $m=0,n={\tfrac {1}{2))$

J_{i}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\frac {1}{2}}\sigma _{i}

i den generelle formel (G1) og ved hjælp af trivielle relationer og , får vi $1_{1}=1$ $J^{(0)}=0$

{\begin{aligned}\pi _{\left({\frac {1}{2)),0\right)}(J_{i})&={\frac {1}{2)) \left(\sigma _{i}\otimes 1_{(1)}+1_{(2)}\otimes J_{i}^{(0)}\right)={\frac {1}{2)) \sigma _{i}\\\pi _{\left({\frac {1}{2)),0\right)}(K_{i})&={\frac {i}{2}}\ venstre(1_{(2)}\otimes J_{i}^{(0)}-\sigma _{i}\otimes 1_{(1)}\right)=-{\frac {i}{2}} \sigma _{i}\\[6pt]\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}(J_{i})&={\frac {1}{2 }}\left(J_{i}^{(0)}\otimes 1_{(2)}+1_{(1)}\otimes \sigma _{i}\right)={\frac {1}{2 }}\sigma _{i}\\\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}(K_{i})&={\frac {i}{2} }\left(1_{(1)}\otimes \sigma _{i}-J_{i}^{(0)}\otimes 1_{(2)}\right)={\frac {i}{2} }\sigma _{i}\end{aligned}}

(W1)

Disse er venstre og højre repræsentationer af Weyl spinorerne . De virker ved at multiplicere med en matrix i 2-dimensionelle komplekse vektorrum (med valg af basis) og , hvis elementer og kaldes henholdsvis venstre og højre Weyl spinorer. Hvis givet $V_{L}$ $V_{R}$ $\Psi _{L}$ $\Psi _{R}$

\left(\pi _{\left({\frac {1}{2)),0\right)},V_{\text{L))\right)\quad ,\quad \left(\ pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)},V_{\text{R}}\right)

Deres direkte sum som repræsentationer er dannet [174] af formlerne

{\begin{aligned}\pi _{\left({\frac {1}{2)),0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2))\right )}\left(J_{i}\right)&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\end{pmatrix }}\\[8pt]\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)} \left(K_{i}\right)&={\frac {i}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&-\sigma _{i}\end{pmatrix} }\end{aligned}}

(D1)

Dette er, op til en lighedstransformation, Dirac spinor- repræsentationen algebraen . Det virker på 4-komponent elementer af rum , kaldet bispinorer , ved matrix multiplikation. Repræsentationen kan opnås på en mere generel og basisuafhængig måde ved hjælp af Clifford algebra . Disse udtryk for bispinorer og Weyl-spinorer er udvidet med lineariteten af Lie-algebraen og med repræsentationer på alle algebraer Udtryk for grupperepræsentationer opnås ved eksponentiering. $({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))$ ${\mathfrak {så}}(3;1)$ $(\Psi _{L},\Psi _{R})$ $(V_{L}\oplus V_{R})$ ${\mathfrak {så}}(3;1).$

Se også

Bargmann-Wigner ligning
Tyngdepunkt
Algebra af Dirac
Gamma matricer
Lorentz gruppe
Möbius transformation
Poincaré gruppe
Repræsentationsteori for Poincaré-gruppen
Symmetri i kvantemekanik
Wigner klassifikation

Gratis online ressourcer

Bekaert X., Boulanger N. Den enhedsrepræsentation af Poincare-gruppen i enhver rumtidsdimension. — 2006. Udvidet version af forelæsningerne på den anden sommerskole i Modave om matematisk fysik (Belgien, august 2006).
Curtright TL, Fairlie DB, Zachos CK En kompakt formel for rotationer som spinmatrixpolynomier // SIGMA. - 2014. - T. 10 . - S. 084 . - doi : 10.3842/SIGMA.2014.084 . - . - arXiv : 1402.3541 . Elementer i SU(2)-gruppen er udtrykt i lukket form som endelige polynomier af Lie-algebra-generatorer, for alle er spinale repræsentationer af rotationsgruppen defineret.

Noter

Kommentarer

↑ Måden, hvorpå de introduceres, kan antage mange former afhængigt af den teori, der diskuteres. Nogle detaljer om disse metoder er ikke dækket her, men er afspejlet i fodnoterne og i applikationssektionen .
↑ Weinberg, 2002 , s. en; “ Hvis det viser sig, at systemet ikke er beskrevet af kvantefeltteori, vil det være en sensation. Hvis det viser sig, at det ikke adlyder kvantemekanikkens regler og relativitetsteorien, vil det være en katastrofe. »
^ I 1945 besøgte Harish-Chandra Dirac i Cambridge. Han kom til den konklusion, at det var uegnet til teoretisk fysik. Harish-Chandra fandt en fejl i Diracs bevis i hans arbejde med Lorentz-gruppen, men Dirac sagde: "Jeg er ikke interesseret i beviser, men kun i arten af, hvad der sker."
Harish-Chandra skrev senere: "Denne bemærkning bekræftede min voksende overbevisning om, at jeg ikke havde den mirakuløse sjette sans, der er nødvendig for succes i fysik, og jeg besluttede snart at gå over til matematik."
Dirac tilbød ham imidlertid et emne for arbejde - klassificeringen af irreducible uendelig-dimensionelle repræsentationer af Lorentz-gruppen.
Se artikel af Dalitz og Peierls ( Dalitz, Peierls 1986 )
↑ Bag kulisserne antages det altid, at hver inerti-referenceramme har en dedikeret Lorentz-observatør , dvs. en person, som i princippet har et komplet sæt informationer (dvs. koordinater!) af enhver begivenhed observeret i denne referenceramme.
↑ Kortlægningen er egentlig ikke påkrævet at være en-til-en. Det er simpelthen påkrævet, at kortlægningen er en homomorfi af grupper , dvs. ind i en eller anden fuld lineær gruppe GL( V ) af et eller andet vektorrum V. (Vektorrummet V får lov til at være uendelig-dimensionelt, såsom Hilbert-rummet H. I dette tilfælde taler man om B ( H ) , lineære operatorer på H , og ikke GL( V ) . $\mathrm {\Pi } (gh)=\mathrm {\Pi} (g)\mathrm {\Pi} (h)$
↑ Der er kun to frihedsgrader i det åbne sæt af rum-tid . Indførelsen af et 4-potentiale giver nominelt fire frihedsgrader. Feltligninger og måleinvarians fjerner hver en grad af frihed.
↑ Denne transformation udtrykkes normalt på en anden måde, se f.eks. "Elektromagnetisk felttransformation" . Denne metode kan konverteres til at bruge 6×6 matricer og omvendt, da tensoren har 6 uafhængige komponenter.
↑ Repræsentationer af utallige dimensioner kan eksistere. De opfører sig mindre godt (især er de ikke-enhedsorienterede) og tages ikke i betragtning her.
↑ Det kan ske, at produktet af to repræsentanter for uendelig-dimensionelle matricer er dårligt betinget. I dette tilfælde kan reglen kontrolleres i forhold til andre kriterier.
↑ Se formel (1) i artiklen Scattering Matrix for en beskrivelse af, hvordan frie multipartikler ændrer tilstand.
↑ Weinberg, 2002 , ligninger 5.1.4-5. Weinberg udleder behovet for at skabe og ødelægge operatører fra andre overvejelser, klyngedekomponeringsprincippet , Weinberg (2002 , kapitel 4.)
↑ En recept for, hvordan en partikel skal opføre sig under CPT-symmetri, kan også være påkrævet.
↑ For eksempel er der versioner (frifeltsligninger, dvs. uden interagerende led) af Klein–Gordon- ligningen , Dirac-ligningen , Maxwell-ligningen , Proca -ligningen , Rarita-Schwinger-ligningen og Einstein-ligningen , som kan være afledt ud fra en given grupperepræsentation Lorenz. Generelt er de kollektive kvantefeltteoretiske versioner af Bargmann-Wigner-ligningerne .
Se Weinberg ( Weinberg 2002 , kapitel 5), Tung ( Tung 1985 , afsnit 10.5.2) og referencer citeret i disse værker.
Det skal bemærkes, at teorierne om højere spins ( s > 1 ) har vanskeligheder. Weinberg ( Weinberg 2002 , afsnit 5.8) for generelle ( m , n ) felter diskuterer problemstillingen i dybden. Partikler med et højere spin findes utvivlsomt , for eksempel kerner. Kendte sådanne partikler er ikke elementære .
↑ For information om repræsentationsteorien for disse grupper, se artiklen af Bekart og Boulanger [2] , som omhandler Poincaré-gruppens repræsentationsteori. Disse repræsentationer opnås ved hjælp af metoden med inducerede repræsentationer eller, på fysikkens sprog, ved hjælp af small group- metoden , som blev udviklet af Wigner i 1939 for grupper af hans type (Wigner-grupper), og et solidt matematisk grundlag var lagt af George Mackay i halvtredserne.
↑ Hall (2015 , afsnit 4.4.)
En gruppe siges at have den fuldstændige reduktionsegenskab, hvis nogen repræsentation nedbrydes i en direkte sum af irreducerbare repræsentationer.
↑ Dirac foreslog temaet for Wigners arbejde ( Wigner 1939 ) i 1928 (som angivet i Wigners artikel). Han udgav også en af de første artikler om eksplicitte uendelig-dimensionelle enhedsrepræsentationer i et papir fra 1945 af Dirac ( Dirac 1945 ) ( Langlands 1985 ), og foreslog emnet for Harish-Chandras arbejde om klassificeringen af irreducible uendelig-dimensionelle repræsentationer ( Dalitz Peierls 1986 ).
↑ Knapp, 2001 ; En overraskende tredje isomorfi er bevist i kapitel 2, afsnit 4.
↑ Produktet af tensorer af repræsentationer af en algebra kan, når begge faktorer kommer fra den samme Lie-algebra, forstås enten som en repræsentation eller som en repræsentation . $\pi _{g}\otimes \pi _{h}$ ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}={\mathfrak {g}},$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}$
↑ Hvis vi kompleksificerer en kompleks Lie-algebra, skal den betragtes som en ægte Lie-algebra med en reel dimension, der er dobbelt så stor som den komplekse dimension. På samme måde kan den virkelige form faktisk være kompleks, som i dette tilfælde.
↑ Vi kombinerer formlerne 5.6.7–8, 5.6.14–15 fra Weinbergs arbejde ( Weinberg 2002 , ligninger 5.6.7–8, 5.6.14–15) med Halls forslag ( Hall 2015 , proposition 4.18) om repræsentationer af løgnen algebra i form tensorprodukter af gruppen af repræsentationer.
↑ Egenskaben "sporløs" kan udtrykkes som ( g = rum-tid metrisk ), eller afhængigt af repræsentationen af feltet: henholdsvis kovariant, blandet og kontravariant. $S_{\alpha \beta }g^{\alpha \beta }=0$ $S_{\alpha }^{\alpha }=0$ $S^{\alpha \beta }g_{\alpha \beta }=0$
↑ Tensorens symmetri følger ikke direkte af Lagrangian ved hjælp af Noethers sætning , men den kan symmetrieres som Belinfante-Rosenfeld energimomentumtensoren .
↑ Denne paritet er en symmetri. Ellers ville der være to varianter, (32, 0) og (0,32) i analogi med neutrinoer .
↑ Terminologi i fysik og matematik er anderledes. I artiklen (ved reference) har begrebet projektiv repræsentation en lidt anden betydning end i fysik, hvor en projektiv repræsentation forstås som en lokal del af en dækning fra en dækkende gruppe til en dækket gruppe sammensat af egentlige repræsentationer af den dækkende gruppe . Da dette kan gøres (lokalt) kontinuerligt på to måder, som beskrevet nedenfor, er terminologien for dobbeltrepræsentationer naturlig.
↑ Især A pendler med Pauli-matricer , så Schurs lemma gælder for alle SU(2) .
↑ Hvilket betyder, at kernen er triviel. For at forstå dette husker vi, at kernen i en Lie-algebra-homeomorfisme er et ideal og derfor et underrum. Da p er 2:1 , og både algebraer og SO(3; 1) + 6 er dimensionelle , skal kernen være 0 - dimensionel , dvs. {0}. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$
↑ Den eksponentielle kortlægning er en-til-en i et kvarter af identitetselementet i , og derfor er superpositionen , hvor σ er en isomorfi af Lie-algebraen, i et åbent kvarter, der indeholder identitetselementet. Et sådant kvarter genererer en forbundet komponent. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $\exp \circ \sigma \circ \log :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)^{+}$ ${\displaystyle U\subset \mathrm {SO} (3;1)^{+))$
↑ Rossmann, 2002 ; Fra eksempel 4 i afsnit 2.1. Dette kan forstås på følgende måde. Matrixen q har egenværdier {-1, -1}, men er ikke diagonaliserbar . Hvis q = exp( Q ) , så har Q egenværdier λ , − λ c for nogle k , da elementer i algebraen ikke har spor. Men så er Q diagonaliserbar, hvorfra q er diagonaliserbar, får vi en modsigelse. $\lambda =i\pi +2{\pi }ik$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$
↑ Rossmann, 2002 , Proposition 10, afsnit 6.3.. Det enkleste bevis ved hjælp af tegnteori
↑ Enhver diskret normal undergruppe af en stiforbundet gruppe G er indeholdt i midten Z af G .
Hall, 2015 , øvelse 11, kapitel 1.
↑ En halvsimpel Lie-gruppe har ingen ikke-diskret normal abeliaansk undergruppe . Dette kan tages som en definition af semisimplicitet.
↑ En simpel gruppe har ikke nogen ikke-diskret normal undergruppe.
↑ . I modsætning hertil viser Weils trick, også kaldet det enhedstrick, men ikke relateret til det ovenfor beskrevne enhedstrick, at alle finit-dimensionelle repræsentationer er eller kan gøres ensartede. Hvis (Π, V ) er en finitdimensional repræsentation af en kompakt Lie-gruppe G , og hvis ( , ) er et indre produkt på V , definerer vi det nye indre produkt ved , hvor μ er Haar-målet på G . Så er Π unitar med hensyn til (·, ·) Π . Se Halls bog ( Hall 2015 , sætning 4.28). ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )_{\Pi ))$ $(x,y)_{\Pi }=\int _{G}(\Pi (g)x,\Pi (g)yd\mu (g)$
En anden konsekvens er, at enhver kompakt Lie-gruppe har den fuldstændige reducerbarhedsegenskab , hvilket betyder, at alle dens endelig-dimensionelle repræsentationer nedbrydes til en direkte sum af irreducerbare repræsentationer. ( Hal 2015 , definition 4.24., sætning 4.28.)

Det er også rigtigt, at der ikke er nogen uendelig-dimensionelle irreducerbare enhedsrepræsentationer af kompakte Lie-grupper. Udsagnet er givet uden bevis i Greiner og Müllers bog ( Greiner, Müller 1994 , afsnit 15.2.).
↑ Lie, 2003 Lemma A.17(c). En lukket delmængde af et kompakt sæt er kompakt.
↑ Lie, 2003 Lemma A.17(a). Hvis f : X → Y er kontinuert og X er kompakt, så er f ( X ) kompakt.
↑ Ikke-enhed er en vigtig komponent i beviset for Coleman-Mandula-sætningen , hvoraf det følger, at ellers kan de sædvanlige symmetrier af partikler med forskellige spin ikke eksistere i ikke-relativistiske teorier. Se Weinbergs papir ( Weinberg 2000 )
↑ Dette er en af følgerne af Cartans sætning , maksimumvægtsætningen.
Hall, 2015 , Sætning 9.4–5.
↑ Hall, 2015 , afsnit 8.2 Rodsystemet er foreningen af to kopier af A 1 , hvor hver kopi er i sine egne dimensioner i det indlejrede vektorrum.
↑ Rossmann, 2002 ; Denne definition svarer til definitionen i form af en forbundet Lie-gruppe, hvis Lie-algebra er Lie-algebraen i rodsystemet.
↑ Se Simmons 1972 , afsnit 30. for de nøjagtige betingelser, hvorunder de to Frobenius-metoder giver to lineært uafhængige løsninger. Hvis eksponenterne ikke adskiller sig med et heltal, gøres dette altid.
↑ "Dette er meget tæt på kilden til teorien om uendelig-dimensionelle transformationer af semisimple og reducerbare grupper..." , Langlands ( Langlands 1985 , s. 204.). Leglands henviser til en indledende bemærkning i Diracs papir fra 1945.
↑ Bemærk, at for et Hilbert-rum H , kan HS( H ) defineres kanonisk ved at bruge tensorproduktet af Hilbert-rummet H og det dobbelte rum.
↑ Hvis endelig dimensionalitet er påkrævet, er resultatet ( m , n ) repræsentationer, se Tungs papir ( Tung 1985 , opgave 10.8). Hvis der ikke kræves noget, opnår vi en bred klassifikation af alle irreducerbare repræsentationer, inklusive endelig-dimensionelle og enhedsrepræsentationer. Denne tilgang er taget i Harish-Chandras papir ( Harish-Chandra 1947 ).

Kilder

↑ 1 2 Bargmann, Wigner, 1948 .
↑ 1 2 Bekaert, Boulanger, 2006 .
↑ I. M. Gelfand , M. A. Naimark , Enhedsrepræsentationer af Lorentz-gruppen , Izv. USSR's Videnskabsakademi. Ser. Mat., 11:5 (1947), 411-504
↑ 1 2 Rossmann, 2002 , s. Afsnit 6.1.
↑ Misner, Thorne, Wheeler, 1973 .
↑ Weinberg, 2002 , s. Afsnit 2.5, kapitel 5.
↑ Tung, 1985 , s. Afsnit 10.3, 10.5.
↑ Tung, 1985 , s. Afsnit 10.4.
↑ 12 Dirac , 1945 .
↑ 1 2 3 4 5 Harish-Chandra, 1947 .
↑ Zwiebach, 2004 , s. Afsnit 12.8..
↑ 1 2 Bekaert, Boulanger, 2006 , s. 48..
↑ Zwiebach, 2004 , s. Afsnit 18.8.
↑ 1 2 Greiner, Reinhardt, 1996 , s. kapitel 2.
↑ Weinberg, 2002 , s. Forord og introduktion til kapitel 7.
↑ Weinberg, 2002 , s. Introduktion til kapitel 7..
↑ Tung, 1985 , s. Definition 10.11.
↑ Greiner og Müller 1994 , s. kapitel 1.
↑ Greiner og Müller 1994 , s. kapitel 2.
↑ Tung, 1985 , s. 203.
↑ Delbourgo, Salam, Strathdee, 1967 .
↑ Weinberg, 2002 , s. Afsnit 3.3.
↑ Weinberg, 2002 , s. Afsnit 7.4..
↑ Tung, 1985 , s. Introduktion til kapitel 10..
↑ Tung, 1985 , s. Definition 10.12..
↑ Tung, 1985 , s. Ligning 10.5-2..
↑ Weinberg, 2002 , s. Ligning 5.1.6-7..
↑ 1 2 Tung, 1985 , s. Ligning 10,5-18.
↑ Weinberg, 2002 , s. Ligning 5.1.11-12.
↑ Tung, 1985 , s. Afsnit 10.5.3.
↑ Zwiebach, 2004 , s. Afsnit 6.4.
↑ Zwiebach, 2004 , s. kapitel 7.
↑ Zwiebach, 2004 , s. Afsnit 12.5.
↑ Weinberg, 2000 , s. Afsnit 25.2..
↑ Zwiebach, 2004 , s. Sidste afsnit, afsnit 12.6.
↑ Disse fakta kan findes i de fleste indledende matematiske og fysiske tekster. Se for eksempel bøgerne af Rossmann ( Rossmann 2002 ), Hall ( Hall 2015 ) og Tung ( Tung 1985 ).
↑ Hall, 2015 , s. Sætning 4.34 og efterfølgende diskussion.
↑ 1 2 3 4 Wigner, 1939 .
↑ Hall, 2015 , s. Bilag D2.
↑ Greiner, Reinhardt, 1996 .
↑ Weinberg, 2002 , s. Afsnit 2.6, kapitel 5.
↑ 1 2 Coleman, 1989 , s. tredive.
↑ 12 Lie , 1888 .
↑ Løgn, 1890 .
↑ Løgn, 1893 .
↑ Coleman, 1989 , s. 34.
↑ Drab, 1888 .
↑ 12 Rossmann , 2002 .
↑ Cartan, 1913 .
↑ Green, 1998 , s. 76.
↑ Brauer, Weyl, 1935 .
↑ 1 2 Tung, 1985 , s. introduktion.
↑ Weyl, 1931 .
↑ Weyl, 1939 .
↑ Langlands, 1985 , s. 203-205.
↑ Clauder, 1999 .
↑ 1 2 3 Bargmann, 1947 .
↑ Bargman var også matematiker . Han arbejdede som assistent for Albert Einstein ved Institute for Advanced Study i Princeton ( Klauder (1999 )).
↑ Dalitz, Peierls, 1986 .
↑ Dirac, 1928 .
↑ Weinberg, 2002 , s. Ligning 5.6.7-8..
↑ Weinberg, 2002 , s. Ligning 5.6.9-11.
↑ 1 2 3 Hall, 2003 , s. Kapitel 6.
↑ 1 2 3 4 5 Knapp, 2001 .
↑ Dette er et appendiks til Proposition 10 fra Rossmanns papir ( Rossmann 2002 , Afsnit 6.3, Proposition 10.)
↑ 1 2 Knapp, 2001 , s. 32.
↑ Weinberg, 2002 , s. Ligning 5.6.16-17.
↑ Weinberg, 2002 , afsnit 5.6; Ligestilling følger af ligestilling 5.6.7–8 og 5.6.14–15
↑ Weinberg, 2000 , s. Afsnit 25.2.
↑ 12 Tung , 1985 .
↑ Weinberg, 2002 , s. fodnote på s. 232.
↑ Rossmann, 2002 , s. Afsnit 2.5.
↑ Hall, 2015 , s. Sætning 2.10.
↑ Bourbaki, 1998 , s. 424..
↑ Weinberg, 2002 , s. 88 Afsnit 2.7.
↑ 1 2 3 4 5 Weinberg, 2002 , s. Afsnit 2.7.
↑ Hall, 2015 , Bilag C.3.
↑ Wigner, 1939 , s. 27..
↑ Gelfand, Minlos, Shapiro, 1958 , s. §4 i afsnit 1 i kapitel 1 i anden del.
↑ Rossmann, 2002 , s. Afsnit 2.1.
↑ Hall, 2015 , Først viste ligninger i afsnit 4.6..
↑ Hall, 2015 , s. Eksempel 4.10.
↑ 1 2 Knapp, 2001 , s. kapitel 2..
↑ Knapp, 2001 , s. Ligning 2.1.
↑ Hall, 2015 , s. Ligning 4.2..
↑ Hall, 2015 , s. Ligning før 4.5.
↑ Knapp, 2001 , s. Ligning 2.4.
↑ Knapp, 2001 , s. Afsnit 2.3.
↑ Hall, 2015 , s. Sætning 9.4-5.
↑ Weinberg, 2002 , s. kapitel 5.
↑ Hall, 2015 , s. Sætning 10.18.
↑ Hall, 2003 , s. 235.
↑ Se enhver tekst om grundlaget for gruppeteori.
↑ Rossmann, 2002 , s. Forslag 3 og 6, punkt 2.5.
↑ Hall, 2003 , s. øvelse 1, kapitel 6..
↑ Bekaert, Boulanger, 2006 , s. fire.
↑ Hall, 2003 , s. Forslag 1.20.
↑ Lie, 2003 , s. Sætning 8.30..
↑ Weinberg, 2002 , s. 231 Afsnit 5.6.
↑ Weinberg, 2002 , s. Afsnit 5.6.
↑ Weinberg, 2002 , s. 231.
↑ Weinberg, 2002 , s. Afsnit 2.5, 5.7.
↑ Tung, 1985 , s. Afsnit 10.5.
↑ Weinberg, 2002 ; Dette er beskrevet (meget kort) på side 232, lidt mere end en fodnote her.
↑ Hall, 2003 , s. Forslag 7.39.
↑ 1 2 Hall, 2003 , s. Sætning 7,40.
↑ Hall, 2003 , s. Afsnit 6.6.
↑ Hall, 2003 , s. Andet punkt i forslag 4.5.
↑ Hall, 2003 , s. 219.
↑ Rossmann, 2002 , s. Øvelse 3, §6.5.
↑ Lad H være et Hilbert-rum. End H er Banach-algebraen af afgrænsede lineære operatorer, der virker på H . ( Uskova 2006 )
↑ Hall, 2003 , s. bilag D.3.
↑ Weinberg, 2002 , s. Ligning 5.4.8.
↑ 1 2 3 Weinberg, 2002 , s. Afsnit 5.4.
↑ Weinberg, 2002 , s. 215-216.
↑ Weinberg, 2002 , s. Ligning 5.4.6.
↑ Weinberg, 2002 , s. Afsnit 5.7, 232-233.
↑ Weinberg, 2002 , s. Afsnit 5.7, 233.
↑ Weinberg, 2002 , s. Ligning 2.6.5.
↑ Weinberg, 2002 , s. Ligning efter 2.6.6.
↑ Weinberg, 2002 , s. Afsnit 2.6..
↑ For en detaljeret diskussion af spin 0 tilfælde,en2og 1 se bogen af Greiner og Reinhardt ( Greiner, Reinhardt 1996 ).
↑ Weinberg, 2002 , s. kapitel 3.
↑ Rossmann, 2002 ; Se afsnit 6.1 for andre eksempler på både finit-dimensionelle og uendelig-dimensionelle.
↑ Gelfand, Minlos, Shapiro, 1958 .
↑ Churchill, Brown, 2014 , s. Kapitel 8 s. 307-310..
↑ Gonzalez, Vasquez, 2014 , s. 3.
↑ Abramowitz, Stegun, 1965 , s. Ligning 15.6.5.
↑ Simmons, 1972 , s. Afsnit 30, 31..
↑ Simmons, 1972 , s. Afsnit 30..
↑ Simmons, 1972 , s. Afsnit 31..
↑ Simmons, 1972 , s. Ligning 11 i bilag E, kapitel 5..
↑ 1 2 Gelfand, Naimark, 1947 .
↑ Langlands, 1985 , s. 205..
↑ Varadarajan, 1989 , s. Afsnit 3.1. 4.1.
↑ Dirac, 1936 .
↑ Fierz, 1939 .
↑ Fierz, Pauli, 1939 .
↑ Langlands, 1985 , s. 203.
↑ Harish-Chandra, 1951 .
↑ Gelfand, Graev, 1953 .
↑ Varadarajan, 1989 , s. Afsnit 4.1.
↑ Rühl, 1970 .
↑ Takahashi, 1963 .
↑ Helgason, 1968 .
↑ Helgason, 2000 .
↑ Jorgenson, Lang, 2008 .
↑ Gelfand, Graev, Pyatetsky-Shapiro, 1966 .
↑ Knapp, 2001 , s. Kapitel II..
↑ 12 Taylor , 1986 .
↑ Knapp, 2001 , s. Kapitel 2. Ligning 2.12.
↑ Gelfand, Graev, 1953 .
↑ Takahashi, 1963 , s. 343..
↑ Knapp, 2001 , s. Ligning 2.24.
↑ Folland, 2015 , s. Afsnit 3.1.
↑ Folland, 2015 , s. Sætning 5.2.
↑ Tung, 1985 , s. Afsnit 10.3.3.
↑ Harish-Chandra, 1947 , s. Fodnote s. 374.
↑ Tung, 1985 , s. Ligning 7.3-13, 7.3-14.
↑ Harish-Chandra, 1947 , s. Ligning 8.
↑ Hall, 2015 , s. Forslag C.7.
↑ Hall, 2015 , s. Bilag C.2.
↑ Tung, 1985 , s. Trin II afsnit 10.2.
↑ Tung, 1985 , ligninger 10.3; Tanga-notationen for Clebsch-Gordan-koefficienter adskiller sig fra dem, der bruges her.
↑ Harish-Chandra, 1947 , s. 375.
↑ Tung, 1985 , s. Ligning VII-3.
↑ Tung, 1985 , s. Ligning 10.3-5, 7, 8.
↑ Tung, 1985 , s. Ligning VII-9..
↑ Tung, 1985 , s. Ligning VII-10, 11.
↑ Tung, 1985 , s. Ligning VII-12.
↑ Tung, 1985 , s. Ligning VII-13..
↑ Weinberg, 2002 , s. Ligning 2.4.12.
↑ Weinberg, 2002 , s. Ligning 2.4.18–2.4.20.
↑ Weinberg, 2002 , s. Ligestilling 5.4.19, 5.4.20.

Litteratur

Gonzalez PA, Vasquez Y. Dirac Kvasinormale tilstande af ny type sorte huller i ny massiv tyngdekraft // Eur. Phys. JC - Berlin Heidelberg: Springer, 2014. - T. 74:2969 . - S. 3 . — ISSN 1434-6044 . - doi : 10.1140/epjc/s10052-014-2969-1 . - . - arXiv : 1404.5371v2 .
Abramowitz M., Stegun IA Håndbog i matematiske funktioner: med formler, grafer og matematiske tabeller . - New York: Dover Publications , 1965. - (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0486612720 .
Bargmann V. Irreducible enhedsrepræsentationer af Lorenz-gruppen // Ann. i matematik .. - 1947. - T. 48 , no. 3 . - S. 568-640 . - doi : 10.2307/1969129 . — . (repræsentationsteori for grupperne SO(2,1) og SL(2, R); anden del omhandler SO(3; 1) og SL(2, C), som skrevet i indledningen, men delen har ikke blevet offentliggjort).
Bargmann V., Wigner EP Gruppens teoretiske diskussion af relativistiske bølgeligninger . — Proc. Natl. Acad. sci. USA. - 1948. - T. 34. - S. 211-223. - doi : 10.1073/pnas.34.5.211 .
Bourbaki N. Lie Groups and Lie Algebras: Kapitel 1-3 . - Springer, 1998. - ISBN 978-3-540-64242-8 .
Brauer R. , Weyl H. Spinorer i n dimensioner // Amer. J. Math .. - 1935. - T. 57 , no. 2 . - S. 425-449 . - doi : 10.2307/2371218 .
Bäuerle GGA, de Kerf EA Finite og uendelig dimensionelle Lie algebraer og deres anvendelse i fysik / A. van Groesen, EM de Jager. - Nord-Holland, 1990. - Vol. 1. - (Studier i matematisk fysik). — ISBN 0-444-88776-8 .
Bäuerle GGA, de Kerf EA, ten Kroode APE Finite og uendelig dimensionelle Lie algebraer og deres anvendelse i fysik / A. van Groesen, EM de Jager. - Nord-Holland, 1997. - V. 7. - (Studier i matematisk fysik). — ISBN 978-0-444-82836-1 .
Les groupes projectifs qui ne laissant invariante aucun multiplicité plane (Fr) // Bull. soc. Math.. - 1913. - T. 41 . - S. 53-96 .
Churchill RV, Brown JW Complex Variables and Applications. — 9. — New York: McGraw–Hill, 2014. — ISBN 978-0073-383-170 .
Coleman AJ Det største matematiske papir nogensinde // The Mathematical Intelligencer . - Springer-Verlag, 1989. - Vol. 11 , iss. 3 . - S. 29-38 . — ISSN 0343-6993 . - doi : 10.1007/BF03025189 .
Dalitz RH, Rudolf Peierls. Paul Adrien Maurice Dirac. 8. august 1902–20. oktober 1984 // Biogr. Mem. Fellows R. Soc .. - 1986. - T. 32 . - S. 138-185 . - doi : 10.1098/rsbm.1986.0006 .
Delbourgo R., Salam A., Strathdee J. Harmonisk analyse i form af den homogene Lorentz-gruppe // Physics Letters B. - 1967. - Vol. 25 , no. 3 . - S. 230-232 . - doi : 10.1016/0370-2693(67)90050-0 . - .
Dirac PAM Elektronens kvanteteori // Proc. Roy. soc. A. _ - 1928. - T. 117 , Nr. 778 . - S. 610-624 . - doi : 10.1098/rspa.1928.0023 . - .
Dirac PAM Relativistiske bølgeligninger // Proc. Roy. soc. A. _ - 1936. - T. 155 , Nr. 886 . - S. 447-459 . - doi : 10.1098/rspa.1936.0111 . - .
Dirac PAM Enhedsrepræsentationer af Lorentz-gruppen // Proc. Roy. soc. A. _ - 1945. - T. 183 , Nr. 994 . - S. 284-295 . - doi : 10.1098/rspa.1945.0003 . - .
Dixmier J., Malliavin P. Factorisations de fonctions et de vecteurs indéfiniment différentiables (Fr) // Bull. Sc. Math.. - 1978. - T. 102 . - S. 305-330 .
Fierz M. Über die relativistische theorie Kräftefreier teilchen mit beliebigem spin (tysk) // Helv. Phys. acta. - 1939. - T. 12 , Nr. 1 . - S. 3-37 . - doi : 10.5169/seals-110930 .
Fierz M., Pauli W. Om relativistiske bølgeligninger for partikler af vilkårligt spin i et elektromagnetisk felt // Proc. Roy. soc. A. _ - 1939. - T. 173 , Nr. 953 . - S. 211-232 . - doi : 10.1098/rspa.1939.0140 . - .
Folland G. Et kursus i abstrakt harmonisk analyse. — 2. - CRC Press , 2015. - ISBN 978-1498727136 .
Fulton W. , Harris J. Repræsentationsteori. En forret. - New York: Springer-Verlag, 1991. - V. 129. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-97495-8 .
Gelfand I.M., Graev M.I. Om en generel metode til at dekomponere en regulær repræsentation af en Lie-gruppe til irreducible repræsentationer // Rapporter fra USSR's Videnskabsakademi . - 1953. - T. 92 . - S. 221-224 .
Gel'fand I.M., Graev M.I., Vilenkin N. Ya. Kapitel IV Harmonisk analyse af gruppen af andenordens komplekse unimodulære matricer // Integralgeometri og relaterede problemer med repræsentationsteori. - M . : Stat. Forlaget for Fysik og Matematik. Lit-ry., 1962. - S. 276-288. — (Generaliserede funktioner).
Gel'fand I. M. , Graev M. I. , Pyatetsky-Shapiro I. I. Repræsentationsteori og automorfe funktioner. - "Nauka" Hovedudgave af fysisk og matematisk litteratur, 1966. - (Generaliserede funktioner).
Gelfand I. M. , Minlos R. A. , Shapiro Z. Ya. Repræsentationer af rotationsgrupper og Lorentz-grupper, deres applikationer. — M .: Nauka, 1958.
Gelfand IM , Naimark MA Enhedsrepræsentationer af Lorentz-gruppen . - Izv. USSR Academy of Sciences Ser. Mat.. - 1947. - T. 11. - S. 411-504.
Richard Dagobert Brauer // Biografiske erindringer . - National Academy Press, 1998. - T. 75. - S. 70-95. — (biografiske erindringer). — ISBN 978-0309062954 .
Greiner W. , Müller B. Kvantemekanik: Symmetrier. - Springer, 1994. - ISBN 978-3540580805 .
Greiner W. , Reinhardt J. Field Quantization. - Springer, 1996. - ISBN 3-540-59179-6 .
Harish Chandra. Uendelige irreducible repræsentationer af Lorentz-gruppen // Proc. Roy. soc. A. _ - 1947. - T. 189 , Nr. 1018 . - S. 372-401 . - doi : 10.1098/rspa.1947.0047 . - .
Harish Chandra. Plancherel formel for komplekse semi-simple Lie grupper // Proc. Natl. Acad. sci. USA. - 1951. - T. 37 , no. 12 . - S. 813-818 . - doi : 10.1073/pnas.37.12.813 . - .
Brian C Hall. Løgngrupper, løgnealgebraer og repræsentationer: en elementær introduktion. — 1. - Springer, 2003. - V. 222. - (Kandidattekster i matematik). — ISBN 0-387-40122-9 .
Brian C Hall. Løgngrupper, løgnealgebraer og repræsentationer: en elementær introduktion. — 2. - Springer, 2015. - V. 222. - (Kandidattekster i matematik). — ISBN 978-3319134666 . - doi : 10.1007/978-3-319-13467-3 .
Helgason S. Lie grupper og symmetriske rum. - Benjamin, 1968. - S. 1-71. — (Battelle Rencontres). (Generel introduktion for fysikere)
Helgason S. Grupper og geometrisk analyse. Integral geometri, invariante differentialoperatorer og sfæriske funktioner (korrigeret genoptryk af originalen fra 1984). - American Mathematical Society, 2000. - V. 83. - (Mathematical Surveys and Monographs). — ISBN 0-8218-2673-5 .
Jørgenson J., Lang S. Varmekernen og theta-inversionen på SL(2, C ). - Springer, 2008. - (Springer Monographs in Mathematics). - ISBN 978-0-387-38031-5 .
Wilhelm Killing . Die Zusammensetzung der stetigen/endlichen Transformationsgruppen (tysk) // Mathematische Annalen. - 1888. - T. 31 , Nr. 2 (juni) . - S. 252-290 . - doi : 10.1007/bf01211904 .
En introduktion til løgnegrupper og løgnealgebraer . - Cambridge University Press, 2008. - V. 113. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 978-0521889698 .

Klauder JR Biografiske erindringer . - National Academy Press, 1999. - T. 76. - S. 37-50. — (biografiske erindringer). - ISBN 0-309-06434-1 .
Anthony W. Knapp. Repræsentationsteori for semisimple grupper. En oversigt baseret på eksempler. - Princeton University Press, 2001. - (Princeton Landmarks in Mathematics). — ISBN 0-691-09089-0 . (En elementær introduktion til gruppen SL(2, C ))
Langlands RP Harish-Chandra // Biogr. Mems Fell .. - R. Soc., 1985. - T. 31 . - S. 198-225 . - doi : 10.1098/rsbm.1985.0008 .
Sophus Lie . Introduktion til glatte manifolds. - 2003. - T. 218. - (Springer Kandidattekster i matematik). — ISBN 0-387-95448-1 .
Sophus Lie . Theorie der Transformationsgruppen I(1888), II(1890), III(1893). — 1888.
Sophus Lie . Theorie der Transformationsgruppen II (1890). — 1890.
Sophus Lie . Theorie der Transformationsgruppen III (1893). — 1893.
Charles W. Misner , Kip. S. Thorne , John A. Wheeler . Tyngdekraften . - W.H. Freeman, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .
- Mizner Ch., Thorn K., Wheeler J. Gravity. - M . : Mir, 1977. - T. 1.
- Mizner Ch., Thorn K., Wheeler J. Gravity. - M . : Mir, 1977. - T. 3.
- Mizner Ch., Thorn K., Wheeler J. Gravity. - M . : Mir, 1977. - T. 1.

Naimark M. A. Lineære repræsentationer af Lorentz-gruppen. - M . : Stat. fra Physico-Math Literature, 1958.
Wolf Rossmann. Løgngrupper – en introduktion gennem lineære grupper. - Oxford Science Publications, 2002. - (Oxford Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0 19 859683 9 .
Rühl W. Lorentz-gruppen og harmonisk analyse. - Benjamin, 1970. (Detaljeret præsentation for fysikere)
Simmons G.F. Differentialligninger med applikationer og historiske noter. - TM H. - New Dheli: Tata McGra–Hill Publishing Company Ltd , 1972. - ISBN 0-07-099572-9 .
Elias M. Stein. Analytisk fortsættelse af gruppefremstillinger // Advances in Math .. - 1970. - T. 4 . - S. 172-207 . - doi : 10.1016/0001-8708(70)90022-8 . (Foredrag af James Whitmore holdt ved Yale University i 1967)

Takahashi R. Sur les représentations unitaires des groupes de Lorentz généralisés (Fr) // Bull. soc. Matematik. Frankrig. - 1963. - T. 91 . - S. 289-433 .
Taylor ME Kapitel 9, SL(2, C ) og mere generelle Lorentz-grupper // Ikke-kommutativ harmonisk analyse. - American Mathematical Society, 1986. - V. 22. - (Mathematical Surveys and Monographs). - ISBN 0-8218-1523-7 .
Wu Ki Tung. Gruppeteori i fysik. — New Jersey London Singapore Hong Kong: World Scientific , 1985. — ISBN 978-9971966577 .
Varadarajan VS en introduktion til harmonisk analyse på semi-simple løgnegrupper. - Cambridge University Press , 1989. - ISBN 978-0521663625 .
Weinberg S. Foundations. - Cambridge: Cambridge University Press , 2002. - Vol. 1. - (The Quantum Theory of Fields). — ISBN 0-521-55001-7 .
Weinberg S. Supersymmetri. — 1. - Cambridge: Cambridge University Press, 2000. - V. 3. - (The Quantum Theory of Fields). — ISBN 978-0521670555 .
Weyl H. De klassiske grupper. Deres Invarianter og Repræsentationer . - Princeton University Press , 1939. - ISBN 978-0-691-05756-9 .
Weyl H. Teorien om grupper og kvantemekanik. - Dover, 1931. - ISBN 0-486-60269-9 .
Wigner EP Om enhedsrepræsentationer af den inhomogene Lorentz-gruppe // Annals of Mathematics . - 1939. - T. 40 , Nr. 1 . - S. 149 204 . - doi : 10.2307/1968551 . - . .
Zwiebach B. Et første kursus i strengteori. - Cambridge University Press , 2004. - ISBN 0 521 83143 1 .
Uskova N.B. Om tilnærmelse af en semisimple egenværdi // VESTNIK VGU. - 2006. - Udgave. 1 .
Lomsadze Yu. M. Gruppeteoretisk introduktion til teorien om elementarpartikler. - M . : Højere skole, 1962. - 186 s. - 13.000 eksemplarer.