Minkowskis polyedre-sætning
Minkowski-sætningen om polytoper er fællesbetegnelsen for to sætninger om eksistensen og unikheden af en lukket konveks polytop med givne retninger og ansigtsområder.
|
Minkowskis unikkesætning: Hvis der etableres en en-til-en overensstemmelse mellem flader af to lukkede konvekse polyedre, således at (i) enhedsnormalerne til de tilsvarende flader er de samme og (ii) arealer af de tilsvarende flader er de samme , så opnås polyedre fra hinanden ved en parallel translation (og især er de kongruente ). |
Det er let at bevise, at hvis er enhedsvektorerne for ydre normaler til flader af en konveks polyhedron og er områderne af de tilsvarende flader, så . Følgende teorem viser, at den angivne tilstand er den eneste, der forbinder områderne af ansigterne og normalerne til dem:
|
Minkowskis eksistenssætning: Hvis er vilkårlige enhedsvektorer, ikke alle rettet mod det samme halvrum, og er vilkårlige positive tal, og , så er der et konveks polyeder, for hvilket vektorerne (og kun dem) er vektorerne for ydre enhedsnormaler til ansigterne, og tallene er arealer. |
Kommentarer
- Begge teoremer blev bevist af Hermann Minkowski i 1897 [1] . Han havde brug for dem til at skabe det matematiske grundlag for krystallografi [2] .
- Begge Minkowskis sætninger er sande i alle euklidiske rum af dimension 2 og derover [3] [4] .
- Sætningerne er generaliserede til tilfældet med vilkårlige konvekse overflader, se Minkowski-problemet
- Under visse begrænsninger gælder lignende sætninger også for ikke-konvekse polyedre [5] .
- I det tredimensionelle rum er en generalisering af Minkowskis unikhedssætning Aleksandrovs sætning om konvekse polyedre , der siger, at "Hvis to konvekse polyedre har alle par parallelle flader, således at ingen af siderne kan placeres inde i den anden ved parallel translation, så er sådanne polyedre er lige og parallelle."
- En af konsekvenserne er Aleksandrov-Shepard-McMullen-sætningen om, at et konveks polyeder med centralt symmetriske flader i sig selv er centralt symmetrisk.
Noter
- ↑ H. Minkowski , Allgemeine Lehrsätze über die convexen Polyeder (ikke tilgængeligt link) . — Godt. Nachr. 198-219 (1897). Russisk oversættelse: G. Minkowski, Generelle sætninger om konvekse polyedre , Uspekhi Mat. videnskaber, vol. 2 , 55-71 (1936).
- ↑ A. D. Aleksandrov , B. N. Delaunay , N. N. Padurov, Matematiske grundlag for den strukturelle analyse af krystaller og bestemmelse af den vigtigste repeterbarhed parallelepiped ved hjælp af røntgenstråler . - M .; L .: Gostekhizdat, 1934.
- ↑ A. D. Alexandrov , konvekse polyedre . - M .; L .: GITTL, 1950.
- ↑ L. A. Lyusternik , Konvekse figurer og polyedre . — M. : GITTL, 1956.
- ↑ V. Alexandrov, Minkowski-type og Alexandrov-type teoremer for polyhedrale herissoner Arkiveret 1. oktober 2018 på Wayback Machine , Geom. Dedicata 107 , 169-186 (2004). DOI 10.1007/s10711-004-4090-3.