Isohedral tetraeder

Et isoedrisk tetraeder  er en specifik type tetraeder i det euklidiske rum .

Tilsyneladende blev isoedriske tetraedre først undersøgt i detaljer af Adolf Schmidt i 1884 [1] og David Besso i 1886 [2] . I 1935 blev egenskaberne ved isoedriske tetraedre systematisk præsenteret i bogen [3] .

Definition

Et tetraeder kaldes isohedral , hvis alle dets flader er lige store trekanter.

Egenskaber

Der er en række tilsvarende definitioner af det isoedriske tetraeder:

  1. parallelepipedummet beskrevet nær det  er rektangulært;
  2. dens udvikling, opnået ved at skære den langs tre kanter, der konvergerer ved et toppunkt, er en trekant (denne trekant skal være spidsvinklet, fordi en stump eller rektangulær trekant ikke vil danne et tetraeder, når den bøjes langs midtlinjerne);
  3. dens udvikling, opnået ved at skære en brudt linje af tre led, er et parallelogram;
  4. den har tre symmetriakser - disse er almindelige perpendikulære linjer trukket til modsatte kanter, de er også bimedianer;
  5. alle dens trihedriske vinkler er lige store
  6. summen af ​​trekanternes vinkler ved hvert toppunkt er lig med );
  7. summen af ​​cosinuserne af de dihedriske vinkler ved hvert toppunkt er 1;
  8. alle dens medianer er lige;
  9. alle dens højder er lige;
  10. centrene for de indskrevne og omskrevne sfærer og tyngdepunktet falder sammen;
  11. radierne af de omskrevne cirkler omkring fladerne er lige store;
  12. omkredsen af ​​ansigterne er lige store;
  13. områderne af ansigterne er lige store;
  14. modsatte dihedrale vinkler er lige store;
  15. modsatte kanter er lige store;
  16. centrene af de beskrevne sfærer ligger på den omskrevne sfære;
  17. blandt konvekse polyedre, isoedriske tetraedre, og kun de tillader vilkårligt lange lukkede geodæter uden selvskæringer på deres overflader; [4] (Den samme egenskab adskiller isoedriske tetraedre blandt alle lukkede konvekse overflader. [5] )
  18. tetraederet er isoedrisk, hvis og kun hvis ligheden holder . Her , , , og er volumenet af tetraederet . [6]

Noter

  1. ↑ Ad. Schmidt, Das gleichseitige Tetraeder Arkiveret 4. januar 2019 på Wayback Machine , Schlömilch Z. XXIX, 321-343 (1884).
  2. ↑ D. Besso, Sul tetraedro a facce eguali , Besso Per. I. 1-12 (1886).
  3. ↑ P. Couderc, A. Balliccioni. Premier livre du tetraedre. A l'usage des élèves de première, de mathématiques, des kandidater aux grandes écoles et à l'agrégation. Paris, Gauthier-Villars (1935). 204 s.
  4. ↑ V. Yu. Protasov . Om antallet af lukkede geodæter på et polyeder // Uspekhi Mat . - 2008. - T. 63 , nr. 5 (383) . — S. 197–198 .
  5. ↑ Akopyan, Arseniy; Petrunin, Anton; Lange Geodesics på konvekse overflader. Matematik. Intelligencer 40 (2018), nr. 3, 26-31, arXiv : 1702.05172
  6. ↑ M. Mazur. En ulighed for volumen af ​​et tetraeder  //  The American Mathematical Monthly . - 2018. - T. 125 , nr. 3 . - S. 273-275 . — ISSN 0002-9890 .

Litteratur

Links