Johnson polyhedron

Et Johnson-polyhedron eller et Johnson-legeme er et konveks polyeder , hvor hver side er en regulær polygon , og samtidig er det hverken et platonisk fast stof eller et arkimedisk fast stof, eller et prisme eller et antiprisme . Der er i alt 92 Johnson-kroppe.

Et eksempel på et Johnson-legeme er en pyramide med en kvadratisk base og sider i form af regulære trekanter ( J 1 (M 2 ) . Den har 1 kvadratisk flade og 4 trekantede.

Som i enhver strengt konveks krop har disse polyedre mindst tre flader, der støder op til hvert toppunkt, og summen af ​​deres vinkler (ved siden af ​​toppunktet) er mindre end 360º. Fordi regulære polygoner har vinkler på mindst 60º, kan maksimalt fem flader røre ved et toppunkt. Den femkantede pyramide ( J 2 ) er et eksempel, der har et toppunkt af orden fem (det vil sige med fem flader).

Selvom der ikke er nogen eksplicit begrænsning på de regulære polygoner, der kan tjene som flader af Johnson-faste stoffer, kan flader faktisk kun have 3, 4, 5, 6, 8 eller 10 sider, og ethvert Johnson-fast stof har trekantede flader (mindst fire).

Af Johnson-faststofferne er den aflange fire-skrånings roterede bicupole ( J 37 ), som også kaldes pseudorhombicuboctahedron [1] , den eneste, der har egenskaben lokal toppunktsensartethed - der er 4 flader ved hvert toppunkt og deres arrangement er det samme - 3 firkanter og 1 trekant. Kroppen er dog ikke vertex-transitiv, da den har forskellige isometrier ved forskellige hjørner, hvilket gør den til en Johnson-krop og ikke en arkimedisk krop .

Historie

I 1966 udgav Norman Johnson en liste, der omfattede alle 92 kroppe og gav dem navne og numre. Han antog, at der kun er 92 af dem, det vil sige, at der ikke er andre.

Tidligere, i 1946, sendte L. N. Esaulova et brev til A. D. Aleksandrov , hvori hun beviste, at kun et begrænset antal regulære polyedre (bortset fra 5 regulære polyedre, 13 semi-regulære og to uendelige serier (prismer og antiprismer) kan eksistere. 1961 Aleksandrov gav dette brev til V. A. Zalgaller, muligvis på grund af Johnsons notat fra 1960 [2] .

I 1967 offentliggjorde Victor Zalgaller bevis på, at Johnsons liste var komplet. En gruppe skolebørn fra skole nr. 239 var involveret i beslutningen . Det fuldstændige bevis tog omkring 4 år med involvering af computerteknologi . Beviset gjorde også betydelig brug af Aleksandrovs konvekse polyedre-sætning .

Terminologi

Navnene på Johnsons kroppe har en stor beskrivende kraft. De fleste af disse faste stoffer kan bygges fra flere faste stoffer ( pyramider , kupler og rotunder ) ved at tilføje platoniske og arkimedeiske faste stoffer, prismer og antiprismer .

De sidste tre operationer, inkrement , trunkér og roter  , kan udføres mere end én gang på tilstrækkeligt store polyedre. For operationer udført to gange, tilføjes to gange . ( En krop, der er to gange snoet , har to drejede kupler.) For operationer udført tre gange, tilføjes tre gange . ( Tre pyramider eller kupler er blevet fjernet fra den tre gange adskilte krop.)

Nogle gange er ordet to gange ikke nok. Det er nødvendigt at skelne kroppe, hvor to modstående flader er blevet modificeret, fra kroppe, hvor andre flader er blevet modificeret. Når ændrede ansigter er parallelle, tilføjes det modsatte til navnet . ( En dobbelt modsat forlænget krop har to parallelle flader (modsatte) med tilføjede kroppe.) Hvis ændringerne vedrører flader, der ikke er modsatte, tilføjes skrå til navnet . ( En dobbelt skæv krop har to ansigter med tilføjet krop, men ansigterne er ikke modsatte.)

Flere navne er afledt af polygonerne, som Johnsons krop er samlet af.

Hvis en måned defineres som en gruppe af to trekanter knyttet til en firkant, svarer ordet kilekrone til en kileformet kronelignende gruppe dannet af to måneder. Ordet to -clinoid eller to- klinik betyder to sådanne grupper.

Denne artikel bruger titlerne fra Zalgallers papir [3] . Sammen med polyhedrontallene givet af Johnson er det sammensatte nummer fra Zalgallers artikel angivet i parentes. I dette sammensatte nummer

P n betegner et prisme med en n -gonal base. Og n betegner en antiprisme med en n -gonal base. M n betegner en krop med indeks n (dvs. i dette tilfælde er kroppen bygget på basis af en anden krop). Understregning betyder rotation af kroppen

Bemærk : M n er ikke det samme som J n . Den firkantede pyramide J 1 (M 2 ) har således indeks 1 for Johnson og indeks 2 for Zalgaller.

Liste

Pyramider

De første to Johnson-kroppe, J 1 og J 2 , er pyramider . Den trekantede pyramide er et regulært tetraeder , så det er ikke et Johnson-fast stof.

pyramider
Korrekt J 1 (M 2 ) J 2 (M 3 )
Trekantet pyramide
( Tetraeder ) 		firkantet pyramide Femkantet pyramide

Kupler og rotunder

De næste fire polyedre er tre kupler og en rotunde .

Domes Rotunder
Homogen J 3 (M 4 ) J 4 (M 5 ) J 5 (M 6 ) J 6 (M 9 )
trekantet prisme Tri-slope kuppel Firehøjde kuppel fem skråninger kuppel fem skråninger rotunde
Beslægtede ensartede polyedre
Cuboctahedron Rhombicuboctahedron Rhombicosidodecahedron icosidodecahedron

Aflange og snoede aflange pyramider

De følgende fem Johnson polyedre er aflange og snoede aflange pyramider. De repræsenterer limningen af ​​to polyedre. I tilfælde af en vridning aflang trekantet pyramide, er tre par af tilstødende trekanter coplanar, så kroppen er ikke en Johnson polyhedron.

Aflange pyramider
(eller forlængede prismer) 		Snoede aflange pyramider
(eller forstærkede antiprismer)
J 7 ( M1 + P3 ) J 8 (M 2 + P 4 ) J 9 (M 3 + P 5 ) koplanar J 10 (M 2 + A 4 ) J 11 (M 3 + A 5 )
Aflang trekantet pyramide Aflang firkantet pyramide Aflang femkantet pyramide Snoet aflang trekantet pyramide Snoet aflang firkantet pyramide Snoet aflang femkantet pyramide
Forlænget trekantet prisme udvidet terning Forlænget femkantet prisme forstærket oktaeder Forstærket firkantet antiprisme Udvidet femkantet antiprisme
Afledt af polyeder
tetraeder
trekantet prisme 		firkantet pyramide
terning 		Femkantet pyramide
femkantet prisme 		tetraeder
oktaeder 		Firkantet pyramide
firkantet antiprisme 		femkantet pyramide
femkantet antiprisme

Bipyramider

Følgende Johnson polyedre er bipyramider , aflange bipyramider og snoede aflange bipyramider :

Bipyramider Aflange bipyramider Snoede aflange bipyramider
J 12 (2M 1 ) Korrekt J 13 (2M 3 ) J14 ( M1 + P3 + M1 ) _ J15 ( M2 + P4 + M2 ) _ J 16 (M 3 + P 5 + M 3 ) koplanar J 17 ( M2 + A4 + M2 ) Korrekt
trekantet bipyramide firkantet bipyramide
( oktaeder ) 		Femkantet bipyramide Aflang trekantet bipyramide Aflang firkantet bipyramide Aflang femkantet bipyramide Snoet aflang trekantet bipyramide
( rhombohedron ) 		Snoet aflang firkantet bipyramide Snoet aflang femkantet bipyramide
( icosahedron )
Afledt af polyeder
tetraeder firkantet pyramide Femkantet pyramide tetraeder
trekantet prisme 		firkantet pyramide
terning 		Femkantet pyramide
femkantet prisme 		tetraeder
oktaeder 		Firkantet pyramide Firkantet
antiprisme 		Femkantet pyramide
Femkantet antiprisme

Aflange kupler og rotunder

Aflange kupler Aflang rotunde Snoede aflange kupler Snoet aflang rotunde
koplanar J 18 (M 4 + P 6 ) J 19 (M 5 + P 8 ) J 20 (M 6 + P 10 ) J 21 (M 9 + P 10 ) Konkav J 22 (M 4 + A 6 ) J 23 (M 5 + A 8 ) J 24 (M 6 + A 10 ) J 25 (M 9 + A 10 )
Aflang gavlkuppel Aflang trekantet kuppel Aflang høvlet kuppel Aflang femsidet kuppel Aflang rotunde med fem skråninger Snoet aflang gavlkuppel Snoet aflang trekantet kuppel Snoet aflang, firkantet kuppel Snoet aflang fem-højde kuppel Snoet aflang fem-skrånings rotunde
Afledt af polyeder
Firkantet prisme
Trekantet prisme 		Sekskantet
prisme 		Ottekantet
prisme 		Tikantet prisme Femsidet
kuppel 		Tikantet
prisme 		Firkantet antiprisme
Trekantet prisme 		Sekskantet
antiprisme 		Ottekantet antiprisme
Kuppel med fire toner 		Tikantet antiprisme
Kuppel med fem skråninger 		Tikantet antiprisme
Femsidet rotunde

Bicupoles

Roterede trekantede bikupoler er semi-regulære polyedre (i dette tilfælde arkimedeiske faste stoffer ), så de tilhører ikke Johnson-polytopklassen.

lige kupler Roterede kupler
koplanar J 27 (2M 4 ) J 28 (2M 5 ) J 30 (2M 6 ) J 26 (P 3 + P 3 ) halvkorrekt J 29 (M 5 + M 5 ) J 31 (M 6 + M 6 )
Gavl lige bi-kuppel Tre-skrån lige bi-dome Fire-skråninger lige bi-dome Fem skråninger lige bi-dome Gavldrejet bicupole
( gyrobifastigium ) 		Trekantet roteret bicupole
( cuboctahedron ) 		Fire-skråning drejet bi-dome Fem skrånende bi-dome
Afledt af polyeder

Cupolorotundas og birotundas

Cupolorotunda birotundaer
J 32 (M 6 + M 9 ) J 33 (M 6 + M 9 ) J 34 (2M 9 ) halvkorrekt
Fem-skråninger lige kuppel Fem-skråninger drejet kuppel-orotonda Fem skråninger lige birotunda Femsidet roteret birotunda
icosidodecahedron
Afledt af polyeder
Fem-skråning kuppel
Fem-skråninger rotunde 		fem skråninger rotunde

Aflange bicupoles

Aflange lige bicupoles Aflange roterede bi-domes
koplanar J 35 (M 4 + P 6 + M 4 ) halvkorrekt J 38 (M 6 + P 10 + M 6 ) koplanar J 36 (M 4 + P 6 + M 4 ) J 37 (M 5 + P 8 + M 5 ) J 39 (M 6 + P 10 + M 6 )
Aflang gavl lige bi-kuppel Aflang tri-slope lige bi-dome Aflang firkantet lige bicupole
( rhombicuboctahedron ) 		Aflang fem-skråning lige bi-dome Aflang dobbelt-skrå roteret bi-dome Aflang tri-slope roteret bi-dome Aflang fire-skrånings roteret bi-dome Aflang fem-skråning drejet bi-dome

Aflang kuppel og birotunda

aflang kuppel-orotonda Aflange birotundaer
J 40 (M 6 + P 10 + M 9 ) J 41 (M 6 + P 10 + M 9 ) J 42 (M 9 + P 10 + M 9 ) J 43 (M 9 + P 10 + M 9 )
Aflang fem-skrån lige kuppel Aflang fem-skråning drejet kuppel Aflang fem-skråning lige birotunda Aflang fem-skråning drejet birotunda

Snoede aflange bicupoles, cupola orotunds og birotundas

Følgende Johnson-faststoffer har to chirale former.

Snoede aflange bi-kupler Snoet aflang kuppel Snoet aflang birotunda
ikke-konveks J 44 (M 4 + A 6 + M 4 ) J 45 (M 5 + A 8 + M 5 ) J 46 (M 6 + A 10 + M 6 ) J 47 (M 6 + A 10 + M 9 ) J 48 (M 9 + A 10 + M 9 )
Snoet aflang gavl bi-kuppel Snoet aflang tri-slope bi-dome Snoet aflang fire-pitched bi-dome Snoet aflang fem-skråning bi-kuppel Snoet aflang fem-skråning kuppel Snoet aflang fem-skråning birotunda
Afledt af polyeder
Trekantet prisme Firkantet
antiprisme 		Tri-slope kuppel
Sekskantet antiprisme 		Fire-pitched kuppel
Octagonal antiprism 		Fem skråninger kuppel
Dekagonal antiprisme 		Fem-skrånings kuppel Fem-skrånings
rotunde
Decagonal antiprism 		Fem-skrånings rotunde
Tikantet antiprisme

Udvidede trekantede prismer

J 7 (M 1 + P 3 )
(gentagne gange) 		J 49 ( P3 + M2 ) J 50 (P 3 + 2 M 2 ) J 51 (P 3 + 3M 2 )
Aflang trekantet pyramide Forlænget trekantet prisme Dobbelt forlænget trekantet prisme Tredobbelt forlænget trekantet prisme
Afledt af polyeder
trekantet prisme
tetraeder 		Trekantet prisme
Firkantet pyramide

Udvidede femkantede og sekskantede prismer

Forlængede femkantede prismer Forlængede sekskantede prismer
J 52 (P 5 + M 2 ) J 53 (P 5 + 2 M 2 ) J 54 ( P6 + M2 ) J 55 ( M2 + P6 + M2 ) J 56 (P 6 + 2M 2 ) J 57 (P 6 + 3M 2 )
Forlænget femkantet prisme Dobbelt forlænget femkantet prisme Forlænget sekskantet prisme Dobbelt-modsat forlænget sekskantet prisme Dobbelt skråt forlænget sekskantet prisme Tredobbelt forlænget sekskantet prisme
Afledt af polyeder
Femkantet prisme
Firkantet pyramide 		Sekskantet prisme
Firkantet pyramide

Augmented dodecahedrons

Ret J 58 (M 15 + M 3 ) J 59 (M 3 + M 15 + M 3 ) J 60 (M 15 + 2M 3 ) J 61 (M 15 + 3M 3 )
Dodekaeder forstærket dodekaeder Dodecahedron dobbelt forlænget Dodecahedron dobbelt forlænget Triple Augmented Dodecahedron
Afledt af polyeder
Dodekaeder og femkantet pyramide

Skær icosaeder af

Ret J 11 (M 3 + A 5 )
(gentagne gange) 		J 62 (M 7 + M 3 ) J 63 (M 7 ) J 64 (M 7 + M 1 )
icosahedron Afskåret icosahedron
( snoet aflang femkantet pyramide ) 		Dobbelt skråt skåret icosaeder Triple cut icosahedron Forstærket triple cut icosahedron
Afledt af polyeder
Triple cut icosahedron , femkantet pyramide og tetrahedron

Forstærkede trunkerede tetraedre og terninger

J 65 (M 10 + M 4 ) J 66 (M 11 + M 5 ) J 67 (M 5 + M 11 + M 5 )
Forstærket trunkeret tetraeder Augmented Truncated Cube Dobbelt forstærket trunkeret terning
Afledt af polyeder
Afkortet
tetraeder 		Afkortet
terning

Augmented trunked dodecahedrons

halvkorrekt J 68 (M 6 + M 12 ) J 69 (M 6 + M 12 + M 6 ) J 70 (M 12 + 2M 6 ) J 71 (M 12 + 3M 6 )
afkortet dodekaeder Forstærket afkortet dodekaeder Dodekaeder afkortet dodekaeder dobbelt forlænget Dodekaeder dodekaeder Triple-Augmented Truncated Dodecahedron

Snoede rhombicosidodecahedrons

J 72 ( M 6 + M 14 + M 6 = M 6 + M 13 + 2M 6 ) J 73 ( M 6 + M 14 + M 6 ) J 74 (2 M 6 + M 13 + M 6 ) J 75 (3 M 6 + M 13 )
Snoet rhombicosidodecahedron Dobbelt snoet rhombicosidodecahedron Dobbelt snoet rhombicosidodecahedron Tri-snoet rhombicosidodecahedron

Skær rhombicosidodecahedrons af

J 76 ( M6 + M14 = 2M6 + M13 ) J 77 (M 14 + M 6 ) J 78 (M 13 + M 6 + M 6 ) J 79 (M 13 +2 M 6 )
Skær rhombicosidodecahedron af Modsat snoet afkortet rhombicosidodecahedron Skrå snoet afkortet rhombicosidodecahedron Dobbelt snoet afkortet rhombicosidodecahedron
J 80 (M 14 ) J 81 (M 13 + M 6 ) J 82 (M 14 + M 6 ) J 83 (M 13 )
Dobbelt-modsat skåret rhombicosidodecahedron Den to gange skråtskårne rhombicosidodecahedron Snoet dobbeltskåret rhombicosidodecahedron Tredelt rhombicosidodecahedron

Snub antiprismer

Snub antiprismer kan konstrueres ved at ændre trunkerede antiprismer. To kroppe er Johnson polyhedra, en krop er regulær, og resten kan ikke bygges ved hjælp af regulære trekanter.

J 84 (M 25 ) Ret J 85 (M 28 ) Forkert
Johnsons krop Ret Johnsons krop Konkav

Snub biklinoid
ss{2,4}
icosahedron
ss{2,6}
Snub firkantet antiprisme
ss{2,8}
ss{2,10}
umuligt at bygge ud fra
almindelige trekanter

Andre

J 86 (M 22 ) J 87 (M 22 + M 3 ) J 88 (M 23 )
kilekrone Forlænget kilekrone Stor kilekrone
J 89 (M 21 ) J 90 (M 24 ) J 91 (M 8 ) J 92 (M 20 )
Affladet stor kilekrone Biclinic med bælte Dobbelt Serporotonda Affladet trekantet clinorohonde

Klassificering efter ansigtstyper

Trekantede ansigter

De fem Johnson-polyedre er deltaedre , hvilket betyder, at alle deres ansigter er regelmæssige trekanter:

J 12 (2M 1 ) Trekantet bipyramide J 13 (2M 3 ) Pentagonal bipyramide J 17 (M 2 + A 4 + M 2 ) Snoet aflang firkantet bipyramide J 51 (P 3 + 3M 2 ) Tredobbelt forlænget trekantet prisme J 84 (M 25 ) Fladnæset to-clinoid

Trekantede og firkantede flader

Fireogtyve Johnson polytoper har kun trekantede og firkantede flader:

J 1 (M 2 )
Firkantet pyramide J 7 (M 1 + P 3 )
Aflang trekantet pyramide J 8 (M 2 + P 4 )
Aflang firkantet pyramide J 10 (M 2 + A 4 )
Snoet aflang firkantet pyramide J 14 (M 1 + P 3 + M 1 )
Aflang trekantet bipyramide J 15 (M 2 + P 4 + M 2 )
Aflang firkantet bipyramide J 16 (M 3 + P 5 + M 3 )
Aflang femkantet bipyramide J 26 (P 3 + P 3 )
Dobbeltsidet drejet bi-dome ( gyrobifastigium ) 		J 27 (2M 4 )
Tri-slope lige bi-dome J 28 (2M 5 )
Fire-pitchet lige bi-dome J 29 ( M 5 + M 5 )
J 35 (M 4 + P 6 + M 4 )
Aflang tri-slope lige bi-kuppel J 36 (M 4 + P 6 + M 4 )
J 37 (M 5 + P 8 + M 5 )
J 44 (M 4 + A 6 + M 4 )
Snoet aflang tri-slope bi-dome J 45 (M 5 + A 8 + M 5 )
Snoet langstrakt fire-skrånings bi-dome 		J 49 (P 3 + M 2 )
Forlænget trekantet prisme J 50 (P 3 +2M 2 )
Dobbelt forlænget trekantet prisme J 85 (M 28 )
Snub firkantet antiprisme J 86 (M 22 )
Kilekrone J 87 (M 22 + M 3 )
Forlænget kilekrone J 88 (M 23 )
Stor kilekrone J 89 (M 21 )
Affladet stor kilekrone J 90 ( M 24 )

Trekantede og femkantede flader

Elleve Johnson-faste stoffer har kun trekantede og femkantede flader:

J 2 (M 3 )
Femkantet pyramide J 11 (M 3 + A 5 )
Snoet aflang femkantet pyramide J 34 (2M 9 )
Fem skråninger lige birotunda J 48 (M 9 + A 10 + M 9 )
Snoet aflang fem-skrånings birotunde J 58 (P 15 + M 3 )
Forlænget dodekaeder J 59 (M 3 + M 15 + M 3 )
Dodecahedron fordoblet modsat 		J 60 (M 15 + 2M 3 )
Dodecahedron fordoblet skråt J 61 (M 15 + 2M 3 )
Tredobbelt forlænget dodekaeder J 62 (M 7 +M 3 )
Dobbelt skråt skåret icosahedron J 63 (M 7 )
Tre gange skåret icosahedron J 64 (M 7 + M 1 )
Forlænget triple cut icosahedron

Trekantede, firkantede og sekskantede flader

De otte Johnson-polyedre har kun trekantede, firkantede og sekskantede flader:

J 3 (M 4 )
Tre-pitched kuppel J 18 (M 4 + P 6 )
Aflang tri-slope kuppel J 22 (M 4 + A 6 )
Snoet aflang tri-slope kuppel J 54 (P 6 + M 2 )
Forlænget sekskantet prisme 		J 55 (M 2 + P 6 + M 2 )
Dobbelt modsat forlænget sekskantet prisme J 56 (P 6 +2M 2 )
Dobbelt skråt forlænget sekskantet prisme J 57 (P 6 + 3M 2 )
Tredobbelt forlænget sekskantet prisme J 65 (M 10 + M 4 )
Forlænget trunkeret tetraeder

Trekantede, firkantede og ottekantede ansigter

De fem Johnson polyedre har kun trekantede, firkantede og ottekantede flader:

J 4 (M 5 )
Kuppel med fire stigninger J 19 (M 5 + P 8 )
Langstrakt firkantet kuppel J 23 (M 5 + A 8 )
Snoet aflang, firkantet kuppel 		J 66 (M 11 + M 5 )
Forlænget trunkeret terning J 67 (M 5 + M 11 + M 5 )
Dobbelt forlænget trunkeret terning

Johnson-polytoper indskrevet i en kugle

25 Johnson polytoper har toppunkter, der ligger på samme kugle: 1-6, 11, 19, 27, 34, 37, 62, 63, 72-83. Alle disse polyedre kan fås fra almindelige eller ensartede polyedre ved rotation (kuppel) eller skæring (kuppel eller pyramide) [4] .

Oktaeder Cuboctahedron Rhombicuboctahedron
J 1 (M 2 )
 J 3 (M 4 )
 J 27 (2M 4 )
 J 4 (M 5 )
 J 19 (M 5 + P 8 )
 J 37 (M 5 + P 8 + M 5 )
icosahedron icosidodecahedron
J 2 (M 3 )
J 63 (M 7 )
 J 62 (M 7 + M 3 )
 J 11 (M 3 + A 5 )
 J 6 (M 9 )
 J 34 (2M 9 )
Rhombicosidodecahedron (klippet)
J 5 (M 6 )
 J 76 (M 6 + M 14 )
 J 80 (M 14 )
 J 81 (M 13 + M 6 )
 J 83 (M 13 )
Rhombicosidodecahedron (+ rotation)
J 72 ( M 6 + M 14 + M 6 )
 J 73 ( M 6 + M 14 + M 6 )
 J 74 (2 M 6 + M 13 + M 6 )
 J 75 (3 M 6 + M 13 )
 J 77 (M 14 + M 6 )
 J 78 (M 13 + M 6 + M 6 )
 J 79 (M 13 + 2M 6 )
 J 82 (M 14 + M 6 )

Se også

Noter

  1. ↑ Pseudo Rhombicuboctahedra Arkiveret 8. december 2012 på Wayback Machine .
  2. ↑ Johnson N. W. Konvekse polyedre med regelmæssige ansigter (foreløbig rapport) // Notices Amer. Matematik. soc. - 1960. - S. 952 .
  3. ↑ Zalgaller, 1967 .
  4. ↑ Johnson solids et al Arkiveret 2. maj 2014 på Wayback Machine .

Litteratur

Links