Fasehastighed

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 6. juni 2019; checks kræver 23 redigeringer .

Fasehastighed - hastigheden af bevægelse af et punkt, som har en konstant fase af oscillerende bevægelse i rummet, langs en given retning. Normalt betragtes retningen, der falder sammen med retningen af bølgevektoren , og fasen kaldes hastigheden målt i denne retning, medmindre andet udtrykkeligt er angivet (det vil sige, hvis en anden retning end bølgevektorens retning ikke er eksplicit angivet). Fasehastigheden i bølgevektorens retning falder sammen med hastigheden af fasefronten (konstant faseoverflade). Det kan om ønsket betragtes som en vektormængde.

Mest brugt notation: . $v_{\phi }\$

Strengt taget er begrebet fase kun anvendeligt, når man beskriver harmoniske eller monokromatiske (det vil sige sinusformede eller imaginære eksponenter ) bølger, og også - tilnærmelsesvis - for bølger af lignende form (f.eks. næsten monokromatiske bølgepakker) eller let reduceret til sinusformet (for eksempel sfæriske bølger af formen ), eller, hvilket er mindre korrekt, når man beskriver periodiske bølger af en anden form. Ikke desto mindre kan en bølge (praktisk talt) af enhver form repræsenteres ved hjælp af Fourier-transformationen som en sum af monokromatiske bølger, og derefter kan begrebet fase og fasehastighed anvendes på hver af disse bølger ganske strengt (dog så hver monokromatisk bølge i ekspansionen vil generelt set sin egen fasehastighed, som ikke falder sammen med andre, kun i særlige tilfælde kan de alle nøjagtigt falde sammen eller være tæt på). $\sin(\phi)$ $e^{i\phi}$ $\cos(\phi )/r$

For at beskrive andre bølger end harmoniske (især til beskrivelse af bølgepakker ) bruger de, ud over begrebet fasehastighed, begrebet gruppehastighed (som ikke beskriver bevægelsen af en separat top i en bølgepakke, men af dens konvolutten, for eksempel det maksimale af konvolutten).

Formler

Den grundlæggende formel, der bestemmer fasehastigheden af en (monokromatisk) bølge i et-dimensionelt rum eller fasehastigheden langs bølgevektoren for en bølge i et højere-dimensionelt rum er:

v_{\phi }=\omega /k

hvilket er en direkte konsekvens af, at fasen af en plan bølge i et homogent medie er

\phi =\omega t-kx

for den endimensionelle sag

eller for en dimension større end én. $\phi =\omega t-{\vec k}\cdot {\vec x}$

Det specifikke forhold mellem og - den såkaldte spredningslov - for hver specifik bølgetype opnås sædvanligvis fra en differentialligning, der beskriver denne type bølge, der erstatter en monokromatisk (oftest plan) bølge i den [1] . $\omega$ $k$

I det tilfælde, hvor fasehastigheden for en given type bølger ikke afhænger af frekvensen eller bølgetallet (og bølgevektorens retning), falder gruppehastigheden sammen med fasehastigheden.

Fasehastighed af en elektromagnetisk bølge

I vakuum, for en elektromagnetisk bølge af en hvilken som helst frekvens (i det mindste i de områder af frekvenser og intensiteter, der er blevet undersøgt), er fasehastigheden, målt i bølgevektorens retning, altid lig med den samme værdi - hastigheden af lys i vakuum , en universel konstant.

I medier er loven om spredning af elektromagnetiske bølger ret kompliceret (se Lysspredning ), og fasehastigheden kan ændre sig mærkbart, op til negative [2] værdier.

For bølgeligningen

Enhver bølge beskrevet af bølgeligningen

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=C^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}

har en fasehastighed C (desuden er C her en vis konstant koefficient; denne koefficient er lig med lysets hastighed i bølgeligningen for elektromagnetiske bølger).

Dette resultat opnås ved direkte at substituere en monokromatisk bølge af formen i denne ligning og derefter beregne . $\cos(kx-\omega t)$ $\omega /k$

Dette resultat gælder ikke kun for bølgeligningen i et-dimensionelt rum (vi brugte det ovenfor kun for kortheds skyld; alt forbliver nøjagtigt det samme for et hvilket som helst antal afledede med hensyn til koordinaterne på højre side).

Til Klein–Gordon-ligningen

Klein-Gordon ligning

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2))}=C^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2 }}}+C^{4}m^{2}f

kun adskiller sig i sidste termin, giver med en lignende substitution

{\displaystyle \omega ^{2}=C^{2}k^{2}+C^{4}m^{2))

hvor:

\omega ={\sqrt {C^{2}k^{2}+C^{4}m^{2}}}

v_{\varphi }=\omega /k=C{\sqrt {1+C^{2}m^{2}/k^{2))}

Dette udtryk er altid større end C for reel m , der ikke er nul, og kan være vilkårligt stor som k → 0.

Fasehastighed som vektor

På en måde er fasehastigheden ikke en vektor. Ved at sige dette mener de det faktum, at fasehastighederne i forskellige retninger (for eksempel langs retningerne af koordinatakserne), defineret som beskrevet ovenfor, hverken er koordinater eller projektioner [3] af nogen vektor [4] . Herunder naturligvis ikke projektioner eller koordinater af en vektor, der falder sammen i retning med bølgevektoren og med en absolut værdi lig med fasehastigheden i denne retning.

Men dette forhindrer naturligvis ikke, hvis det ønskes, at indføre en rent formel fasehastighedsvektor, som per definition falder i retning med bølgevektoren og med en absolut værdi lig med fasehastigheden i denne retning. Spørgsmålet om det er korrekt at kalde en sådan vektor for en fasehastighedsvektor er rent terminologisk (konventionelt). Den eneste kendsgerning er, at projektionerne af denne "vektor" på koordinatakserne eller komponenterne langs disse akser ikke vil svare til fasehastigheden langs disse retninger i overensstemmelse med definitionen af fasehastigheden i retningen givet i begyndelsen af artiklen (og generelt med en fornuftig definition, bortset fra den rent formelle beskrevet i dette afsnit).

Specifikt i tilfælde af en plan harmonisk bølge kan fasehastigheden langs bølgevektoren udtrykkes som følger:

v_{\phi }\equiv v_{\phi ,0}=\omega /k

hvor er bølgetallet , er vinkelfrekvensen . I dette tilfælde vil fasehastigheden langs retningen, afviget fra bølgevektoren med en vinkel , være lig med: $k$ $\omega$ $\alfa$

v_{{\phi ,\alpha }}={\frac {v_{{k}}}{\cos \alpha }}

Manglende forståelse af dette faktum er ofte årsagen til misforståelser og fejl. Fra ovenstående er det for eksempel klart, at fasehastigheden kan være større end lysets hastighed (dette følger direkte af formlen skrevet ovenfor, givet at den kan antage vilkårligt små værdier, når vinklen tenderer til en ret linje , og følgelig viser fasehastigheden i en retning tæt på ortogonal sig at være vilkårligt stor, tenderende til uendelig) [5] . $\cos\alpha$

Kan fasehastigheden overstige lysets hastighed

Fasehastigheden kan overstige lysets hastighed i vakuum og overstiger den ofte. Dette er ikke i modstrid med det velkendte princip om lysets maksimale hastighed, hvis behov opstår for samtidig at overholde kausalitetsprincippet (så der ikke er nogen kausale paradokser) og relativitetsprincippet ( Lorentz invarians ).

Faktum er, at disse principper kun sætter en begrænsning på udbredelseshastigheden af sådanne fysiske objekter, hvorigennem information kan transmitteres. Og fasehastigheden [6] gælder ikke for sådanne objekters hastigheder. En rent monokromatisk (sinusformet) bølge er uendelig i rum og tid, kan ikke ændres på nogen måde for at transmittere information (hvis vi modulerer bølgen, vil den ophøre med at være monokromatisk, og modulationsudbredelseshastigheden falder ikke sammen med fasehastigheden, normalt falder sammen med gruppehastigheden for næsten monokromatiske bølger).

Fasehastighed i en retning, der ikke falder sammen med bølgevektoren

Da fasehastigheden, målt langs en vilkårlig retning, der ikke falder sammen med bølgevektoren og bølgeudbredelsesretningen, ikke er bevægelseshastigheden af et "fysisk objekt", det vil sige et objekt, hvis tilstand i efterfølgende øjeblikke af tid er kausalt bestemt af tilstanden i de foregående, men karakteriserer faktisk blot tilstandens oscillerende felt ved kunstigt valgte punkter, ofte (nemlig hvis du vælger en tilstrækkelig stor vinkel med bølgevektoren) fasehastigheden i en given retning af evt. selv vilkårligt langsom (som vist i afsnittet ovenfor) bølge kan overstige lysets hastighed , og tenderer til uendeligt, da vinklen har tendens til en lige linje.

Især lysets fasehastighed (eller i almindelighed af enhver vandrende elektromagnetisk bølge) i vakuum, målt i enhver retning, der ikke falder sammen med dens bølgevektor, er altid større end lysets hastighed .

Men sagen er ikke begrænset til fasehastigheden i en vilkårlig retning. Lysets hastighed kan overgås selv af fasehastigheden målt langs bølgevektoren.

Fasehastighed for en kvantepartikel

Fasehastigheden af en kvante-"bølge" svarende til enhver massiv partikel (det vil sige en partikel med en masse større end nul) er altid større end lysets hastighed. Dette er let at se fra formlerne , og , hvorfra , mens E for massive partikler altid er større end p på grund af massen ( hvileenergi ). $\ v_{\phi }=\omega /k$ $E = \hbar \omega$ $p=\hbar k$ $\ v_{\phi }=E/s$

Imidlertid kan denne fasehastighed i princippet ikke observeres (da i kvantefysikken er fasen slet ikke observerbar). Kun gruppehastigheden er tilgængelig for observation , som er kvanteanalogen af den almindelige hastighed af en klassisk partikel.

Fasehastighed for Klein-Gordon-ligningen

Men differentialligningerne, der beskriver kvantepartikler, kan i princippet implementeres på andre fysiske systemer (for eksempel på ret simple mekaniske modeller). I dette tilfælde er fasehastigheden ret tilgængelig for observation.

Ikke desto mindre kan fasehastigheden selv her gøres vilkårligt stor (det er nok at vælge en tilstrækkelig lille k ), og i princippet er det let at gøre den større end lysets hastighed.

Dette tilsyneladende paradoksale resultat skyldes det faktum, at "udbredelsen" af en sådan bølge er en illusion [7] i den forstand, at der ikke er nogen årsagssammenhæng mellem forskellige dele af bølgen (tilstanden af bølgen, der bevæger sig til højre er ikke bestemt af, hvad det var til venstre).

Noter

↑ eller eller en lignende multivariat variant. $\cos(kx-\omega t)$ $\exp(i(kx-\omega t))$
↑ Materialer med et negativt brydningsindeks - Victor Veselago
↑ Ved brug af f.eks. skrå koordinater er begreberne for vektorens koordinater og projektionen på aksen ikke sammenfaldende.
↑ Selvfølgelig, i et bestemt fast koordinatsystem, definerer enhver tredobbelt (vi vil tale om det tredimensionelle tilfælde for bestemthed) af tal en vektor; men hvis vi har at gøre med en reel vektor, så bør vi, når vi ændrer koordinatsystemet (for eksempel ved rotation af akserne), få resultater i overensstemmelse med visse regler for ethvert koordinatsystem, og allerede dette viser sig at være forkert for tredobbelt af tal, vi overvejer.
↑ Dette er ikke i modstrid med relativitetsteorien. Se næste afsnit.
↑ Som for eksempel hastigheden af en kanin på skærmen - se artiklen Superluminal motion .
↑ Distribution som et faktum finder selvfølgelig sted; illusion betyder her, at vi har en tendens til intuitivt at investere mere i dette faktum, end det i virkeligheden er, nemlig at vi intuitivt har en tendens til at tro, at for en bølge, der bevæger sig fra venstre mod højre, er de tidligere tilstande af bølgen til venstre årsagen til efterfølgende tilstande til højre, hvilket ikke er tilfældet. Faktisk ville det være mere korrekt at sige, at forskellige dele af denne bølge svinger uafhængigt af hinanden, og overlejringen af sådanne svingninger giver en vandrende bølge (det minder faktisk lidt om en optisk illusion).

Links

Fysisk encyklopædi online. Bind 5, s.266.

Bølgehastigheder _
gruppehastighed Fasehastighed Frontal hastighed Signalhastighed