Kompleks værdsat funktion

En funktion med kompleks værdi i en reel variabels funktionsteori er en funktion , der tager komplekse værdier: . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$

En sådan funktion kan repræsenteres som:

f(x)=u(x)+iv(x)

hvor og er reelle funktioner . I dette tilfælde kaldes funktionen den reelle del af funktionen og - dens imaginære del. I forbindelse med en sådan nedbrydning overføres alle begreber, der indføres for funktioner med reelle værdier, naturligt til funktioner med kompleks værdi, især betragtes en funktion med kompleks værdi som kontinuert ( differentierbar , analytisk , målbar , harmonisk ) hvis dens reelle og imaginære dele er kontinuerlige (differentierbare, analytiske, målbare, harmoniske) funktioner. Integralet af en funktion med kompleks værdi er defineret som følger: $u(x)$ $v(x)$ $u(x)$ $f(x)$ $v(x)$ $f(x)=u(x)+iv(x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)=\int \limits _{a}^{b}u(x)dx+i\int \limits _{a}^{b }v(x)dx

Imidlertid kan ikke alle egenskaber, der er gyldige for de reelle og imaginære dele samtidigt, udvides til funktioner med kompleks værdi. Især gælder Rolles sætning ikke for funktioner med kompleks værdi i det generelle tilfælde , for eksempel afledet af en funktion med kompleks værdi af et reelt argument:

{\displaystyle \sigma (x)=e^{ix))

forsvinder ikke i intervallet , selvom funktionens værdier ved segmentets slutpunkter er lig med . $[0,2\pi ]$ $(\sigma (0)=\sigma (2\pi )=1)$

Litteratur

Titchmarsh E. Funktionsteori. - 2. udg., revideret. — M .: Nauka , 1980 . — 464 s.