En-dimensionel stationær Schrödinger-ligning

Den endimensionelle stationære Schrödinger -ligning er en andenordens lineær ordinær differentialligning af formen

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+U(x)\psi ( x)=E\psi (x),\qquad (1)

hvor er Plancks konstant , er massen af partiklen, er den potentielle energi, er den samlede energi, er bølgefunktionen . For at få en fuldstændig redegørelse for problemet med at finde en løsning er det også nødvendigt at sætte grænsebetingelserne , som præsenteres i en generel form for intervallet $\hbar$ $m$ $U(x)$ $E$ $\psi(x)$ $(1)$ $[a,b]$

\alpha _{1}\psi (a)+\beta _{1}{\frac {d\psi (a)}{dx))=\gamma _{1},\qquad (2)

\alpha _{2}\psi (b)+\beta _{2}{\frac {d\psi (b)}{dx))=\gamma _{2},\qquad (3)

hvor er konstanter. Kvantemekanik overvejer løsninger af en ligning med randbetingelser og . ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\beta _{1},\beta _{2},\gamma _{1},\gamma _{2))$ $(1)$ $(2)$ $(3)$

Generelle egenskaber

Baseret på den fysiske betydning skal bølgefunktionen være en enkeltværdi og kontinuerlig funktion af dens koordinater. Normaliseringsbetingelsen kommer fra at fortolke kvadratet af bølgefunktionen som en sandsynlighed .

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=1.\qquad (0a)

Heraf følger især, at bølgefunktionen skal henfalde tilstrækkeligt hurtigt som funktion af x. I det endimensionelle tilfælde, hvis bølgefunktionen er ved , så eksponenten i overensstemmelse med udtrykket ${\displaystyle \psi (x)\sim 1/x^{\alpha ))$ $x\longrightarrow +\infty$

\int ^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=\int ^{+\infty }1/x^{2\alpha }dx=1/x^{2\ alpha -1}\mid ^{+\infty }\longrightarrow 0,\qquad (0b)

skal tilfredsstille uligheden $\alpha >1/2.$

Integration af ligningen i et lille område af punktet a giver yderligere betingelser for den afledede af bølgefunktionen $(1)$

\int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2))}dx={\frac {2m}{ \hbar ^{2}}}\int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }(U(x)-E)\psi (x)dx,\qquad (0c)

hvoraf det følger i grænsen $\varepsilon \longrightarrow 0$

\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\ højre|_{a-0}=0,\qquad(0d)

hvis den potentielle energi har diskontinuiteter af den første slags (endelige spring) i punktet a. Hvis der i punkt a er en diskontinuitet af den anden slags , for eksempel, beskrives den potentielle energi af deltafunktionen ( ), så har betingelsen formen $U(x)=-G\delta(xa)$ $(0c)$

\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\ højre|_{a-0}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(-G)\psi (a).\qquad (0e)

Hvis energispektret er ikke-degenereret, så er der kun én bølgefunktion, der er en løsning på Schrödinger-ligningen for en given energi, og den er defineret op til fase. I det tilfælde, hvor potentialet er symmetrisk, vil bølgefunktionerne være enten lige eller ulige, og pariteten af bølgefunktionerne veksler.

Præcise analytiske løsninger

I den generelle form er der ingen løsning på ligningen , med randbetingelser og , men med et vist valg af potentiel energi kan der findes nøjagtige løsninger. De spiller en vigtig rolle i konstruktionen af analytiske omtrentlige løsninger af ligningen . $(1)$ $(2)$ $(3)$ $(1)$

Løsningen for en fri partikel er plane bølger

I det frie rum, hvor der ikke er potentialer, antager ligningen en særlig enkel form $(1)$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}=E\psi (x). \qquad(4)

For denne ligning er løsningen superpositionen af plane bølger

\psi (x)=C_{1}e^{i{\sqrt {2mE}}x/\hbar}+C_{2}e^{-i{\sqrt {2mE}}x/\hbar }.\qquad(5)

Her kan energien antage alle værdier over nul, så egenværdien siges at tilhøre det kontinuerlige spektrum . Konstanterne og bestemmes ud fra normaliseringsbetingelsen . $E$ $C_{1}$ $C_{2}$

Løsning til en partikel i en endimensionel potentialbrønd med uendeligt høje vægge

Hvis en partikel placeres i en potentiel brønd, bliver det kontinuerlige energispektrum diskret . For en ligning med potentiel energi , som er nul i intervallet og bliver uendelig ved punkterne og . På dette interval falder Schrödinger-ligningen sammen med . Grænsebetingelser for bølgefunktionen er skrevet i formen $(1)$ $U(x)$ $(0,a)$ $0$ $-en$ $(4)$ $(2)$ $(3)$

\psi (0)=0,\qquad (6)

\psi (a)=0.\qquad (7)

Søger løsninger i formularen . Under hensyntagen til randbetingelserne får vi for energiegenværdierne ${\displaystyle A\sin {({\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}x+\delta )))$ $E_{n}$

E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n^{2}\qquad (8)

og egenfunktioner under hensyntagen til normaliseringen

\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin {{\frac {\pi n}{a}}x}.\qquad (9)

Numeriske løsninger

Et noget komplekst potentiale i ligningen tillader ikke længere at finde en analytisk løsning (eller rettere, denne løsning kan kun findes for problemet med en partikel, der bevæger sig i en andens felt), og derfor er det nødvendigt at bruge numeriske metoder til at løse Schrödinger ligning. En af de enkleste og mest tilgængelige af disse er den endelige differensmetode , hvor ligningen erstattes af en endelig differensligning på et valgt gitter med noder i punkterne , nemlig ved at erstatte den anden afledede med formlen $(1)$ $(1)$ $x_{n}$

{\frac {d^{2}y(x)}{dx^{2}}}={\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{ h^{2}}},\qquad(10)

hvor er diskretiseringstrinnet , er gitterknudenummeret, vi får $h$ $n$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{h^{2}}} +U_{n}y_{n}=Ey_{n},\qquad(11)

hvor er værdien af den potentielle energi ved netknuderne. Lad en karakteristisk skala af potentialet, så kan ligningen skrives i en dimensionsløs form $U_{n}$ $U(x)$ $-en$ $(11)$

-y_{n-1}+(2+h^{2}{\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}})y_{n}-y_{ n+1}=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2}}}y_{n}.\qquad (12)

Hvis vi betegner de dimensionsløse værdier af den potentielle energi og egenværdierne , så vil ligningen blive forenklet $v_{n}={\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}}$ ${\displaystyle e=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2))))$ $(12)$

-y_{n-1}+(2+h^{2}v_{n}-e)y_{n}-y_{n+1}=0.\qquad (13)

Det sidste udtryk skal forstås som et ligningssystem for alle mulige indekser . $n$

Litteratur

Boum A. Kvantemekanik: grundlæggende og applikationer. M. Mir, 1990. - 720'erne. ISBN 5-03-001311-3
Berezin F. A., Shubin M. A. Schrödinger-ligning. Forlag ved Moscow State University, 1983.
Kalitkin N. N. Numeriske metoder. M., Nauka, 1978.

Se også

Grube med endeløse vægge

Modeller af kvantemekanik
Endimensionel uden spin	fri partikel Grube med endeløse vægge Rektangulær kvantebrønd delta potentiale Trekantet kvantebrønd Harmonisk oscillator Potentiel trædesten Pöschl-Teller potentiale godt Modificeret Pöschl-Teller potentialebrønd Partikel i et periodisk potentiale Dirac potentiel kam Partikel i ringen
Multidimensionel uden spin	cirkulær oscillator Hydrogen molekyle ion Symmetrisk top Sfærisk symmetriske potentialer Woods-saksisk potentiale Keplers problem Yukawa-potentiale Morse potentiale Hulthen potentiale Kratzers molekylære potentiale Eksponentielt potentiale
Inklusiv spin	hydrogenatom Hydrid ion helium atom