Den endimensionelle stationære Schrödinger -ligning er en andenordens lineær ordinær differentialligning af formen
hvor er Plancks konstant , er massen af partiklen, er den potentielle energi, er den samlede energi, er bølgefunktionen . For at få en fuldstændig redegørelse for problemet med at finde en løsning er det også nødvendigt at sætte grænsebetingelserne , som præsenteres i en generel form for intervallet
hvor er konstanter. Kvantemekanik overvejer løsninger af en ligning med randbetingelser og .
Baseret på den fysiske betydning skal bølgefunktionen være en enkeltværdi og kontinuerlig funktion af dens koordinater. Normaliseringsbetingelsen kommer fra at fortolke kvadratet af bølgefunktionen som en sandsynlighed .
Heraf følger især, at bølgefunktionen skal henfalde tilstrækkeligt hurtigt som funktion af x. I det endimensionelle tilfælde, hvis bølgefunktionen er ved , så eksponenten i overensstemmelse med udtrykket
skal tilfredsstille uligheden
Integration af ligningen i et lille område af punktet a giver yderligere betingelser for den afledede af bølgefunktionen
hvoraf det følger i grænsen
hvis den potentielle energi har diskontinuiteter af den første slags (endelige spring) i punktet a. Hvis der i punkt a er en diskontinuitet af den anden slags , for eksempel, beskrives den potentielle energi af deltafunktionen ( ), så har betingelsen formen
Hvis energispektret er ikke-degenereret, så er der kun én bølgefunktion, der er en løsning på Schrödinger-ligningen for en given energi, og den er defineret op til fase. I det tilfælde, hvor potentialet er symmetrisk, vil bølgefunktionerne være enten lige eller ulige, og pariteten af bølgefunktionerne veksler.
I den generelle form er der ingen løsning på ligningen , med randbetingelser og , men med et vist valg af potentiel energi kan der findes nøjagtige løsninger. De spiller en vigtig rolle i konstruktionen af analytiske omtrentlige løsninger af ligningen .
I det frie rum, hvor der ikke er potentialer, antager ligningen en særlig enkel form
For denne ligning er løsningen superpositionen af plane bølger
Her kan energien antage alle værdier over nul, så egenværdien siges at tilhøre det kontinuerlige spektrum . Konstanterne og bestemmes ud fra normaliseringsbetingelsen .
Hvis en partikel placeres i en potentiel brønd, bliver det kontinuerlige energispektrum diskret . For en ligning med potentiel energi , som er nul i intervallet og bliver uendelig ved punkterne og . På dette interval falder Schrödinger-ligningen sammen med . Grænsebetingelser for bølgefunktionen er skrevet i formen
Søger løsninger i formularen . Under hensyntagen til randbetingelserne får vi for energiegenværdierne
og egenfunktioner under hensyntagen til normaliseringen
Et noget komplekst potentiale i ligningen tillader ikke længere at finde en analytisk løsning (eller rettere, denne løsning kan kun findes for problemet med en partikel, der bevæger sig i en andens felt), og derfor er det nødvendigt at bruge numeriske metoder til at løse Schrödinger ligning. En af de enkleste og mest tilgængelige af disse er den endelige differensmetode , hvor ligningen erstattes af en endelig differensligning på et valgt gitter med noder i punkterne , nemlig ved at erstatte den anden afledede med formlen
hvor er diskretiseringstrinnet , er gitterknudenummeret, vi får
hvor er værdien af den potentielle energi ved netknuderne. Lad en karakteristisk skala af potentialet, så kan ligningen skrives i en dimensionsløs form
Hvis vi betegner de dimensionsløse værdier af den potentielle energi og egenværdierne , så vil ligningen blive forenklet
Det sidste udtryk skal forstås som et ligningssystem for alle mulige indekser .
af kvantemekanik | Modeller|
---|---|
Endimensionel uden spin | fri partikel Grube med endeløse vægge Rektangulær kvantebrønd delta potentiale Trekantet kvantebrønd Harmonisk oscillator Potentiel trædesten Pöschl-Teller potentiale godt Modificeret Pöschl-Teller potentialebrønd Partikel i et periodisk potentiale Dirac potentiel kam Partikel i ringen |
Multidimensionel uden spin | cirkulær oscillator Hydrogen molekyle ion Symmetrisk top Sfærisk symmetriske potentialer Woods-saksisk potentiale Keplers problem Yukawa-potentiale Morse potentiale Hulthen potentiale Kratzers molekylære potentiale Eksponentielt potentiale |
Inklusiv spin | hydrogenatom Hydrid ion helium atom |