Schwinger-Tomonaga ligning

Schwinger-Tomonaga-ligningen , i kvantefeltteorien , den grundlæggende bevægelsesligning [1] , der generaliserer Schrödinger-ligningen til det relativistiske tilfælde.

Bølgefunktionen i det relativistiske tilfælde skal angives som en funktion af rumlignende hyperflader . Schwinger-Tomonaga-ligningen for bølgefunktionen har formen: [2] $\Psi [\sigma ]$

i\hbar {\frac {\delta \Psi [\sigma ]}{\delta \sigma (x)))={\mathcal {H))(x)\Psi [\sigma ],

hvor er tætheden af Hamiltonian ${\mathcal {H}}(x)$

H(t)=\int {\mathcal {H}}(x)d^{3}\mathbf {x} .

$x=(x^{0},\mathbf {x} )$ er en koordinat i Minkowski rummet . Schwinger-Tomonaga-ligningen for tæthedsmatricen , som også er en funktionel af rumlignende hyperflader, har formen: [3] $\mathbb {R} ^{1,3}$

i\hbar {\frac {\delta \rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)))=[{\mathcal {H}}(x),\rho [\sigma ]].

Rumlignende hyperflader er defineret af en tredimensionel manifold i , som kan udvides i alle rumlignende retninger. Disse manifolds er bestemt af det faktum, at hyperoverfladen på hvert punkt har en enhedsnormalvektor $\sigma$ $\mathbb {R} ^{1,3}$ $x\in \sigma$

n_{\mu}(x)n^{\mu}(x)=1,

tidslignende

n^{0}(x)\geqslant 1.

Schwinger-Tomonaga-ligningen er en funktionel differentialligning . Det kan ses som en differentialligning i en kontinuumfamilie af tidsvariable. [3] For at gøre dette er det nødvendigt at vælge parametriseringen af hyperoverfladen ved koordinaterne for det tredimensionelle rum , så kan punkterne repræsenteres som . Således har hvert punkt sin egen tidsvariabel . $\sigma$ $\mathbf {x}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $x\in \sigma$ $x=(x^{0}(\mathbf {x} ),\mathbf {x} )$ $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$ $x^{0}=x^{0}(\mathbf {x} )$

Funktionel afledt i Schwinger-Tomonaga-ligningen

Lad os betragte et punkt og en varieret hyperoverflade , som kun adskiller sig fra et eller andet område af punktet . Lad betegne volumenet af den firedimensionelle region indesluttet mellem og . Derefter defineres den funktionelle afledte af en vilkårlig funktional , som er en afbildning fra mængden af hyperflader til reelle tal , [4] som følger [5] $x\in \sigma$ $\sigma +\delta \sigma$ $\sigma$ $Okse$ $x$ $\Omega (x)$ $\sigma$ $\sigma +\delta \sigma$ ${\frac {\delta }{\delta \sigma (x)))$ $F[\sigma ]$

{\frac {\delta F[\sigma ]}{\delta \sigma (x)))={\underset {\Omega (x)\højrepil 0}{\lim )){\frac {F[ \sigma +\delta \sigma ]-F[\sigma ]}{\Omega (x))).

Løsning af Schwinger-Tomonaga-ligningen

Løsningen af Schwinger-Tomonaga-ligningen for tæthedsmatricen kan repræsenteres som [6]

\rho (\sigma )=U(\sigma ,\sigma _{0})\rho (\sigma _{0})U^{\dolk }(\sigma,\sigma _{0}),

hvor er formularens enhedsudviklingsoperator _ $U(\sigma ,\sigma _{0})$

U(\sigma ,\sigma _{0})=\mathrm {Texp} \venstre[-i\hbar \int _{\sigma _{0))^{\sigma }{\mathcal {H} }(x)d^{4}x\højre],

hvor er den tidsordnede eksponent. er den initiale tæthedsmatrix defineret på den initiale hyperoverflade . På samme måde kan løsningen af Schwinger-Tomonaga ligningen for bølgefunktionen repræsenteres som $\mathrm {Texp}$ $\rho (\sigma _{0})$ $\sigma _{0}$

\Psi (\sigma )=U(\sigma ,\sigma _{0})\Psi (\sigma _{0}),

hvor er den indledende bølgefunktion. $\Psi (\sigma _{0})$

Nødvendig betingelse for integrerbarhed

Ligesom partielle differentialligninger kræver kommuterbarhed af disse derivater for integrerbarhed, så har Schwinger-Tomonaga-ligningen for tæthedsmatricen en nødvendig integrerbarhedsbetingelse [6] , hvilket kræver, at variationsderivaterne pendler ved vilkårlige punkter af hver fast rumlignende hyperoverflade : $\sigma$

{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)))-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)))=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .

Denne tilstand er en konsekvens af mikrokausalitetskravet for tætheden af Hamiltonian . Det hedder, at Hamiltonians for forskellige punkter af rumlignende intervaller ${\mathcal {H}}(x)$

[{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)]=0,\qquad (xy)^{2}<0.

Under hensyntagen til Jacobi-identiteten har vi faktisk:

{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)))-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)))=[[{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)],\rho [\sigma ]]=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .

Integrerbarhedsbetingelsen sikrer det unikke ved løsningen.

Rum-tidsbundtet og Schrödinger-ligningen

Et rumbundt er defineret [7] af en glat én-parameter familie $\mathbb {R} ^{1,3}$

{\mathcal {F}}=\{\sigma (\tau )\}

bestående af rumlignende hyperflader med den egenskab, at hvert punkt tilhører én og kun én hyperflade : $\sigma (\tau )$ $x\in \mathbb {R} ^{1,3}$ $\sigma (\tau )$

\forall x\in \mathbb {R} ^{1,3}\;\eksisterer !\tau \i \mathbb {R} :x\in \sigma (\tau ).

Vi betegner hyperoverfladen svarende til punktet som . Et fast bundt genererer en familie af tilstandsvektorer $x$ $\sigma _{x}$ ${\mathcal {F}}$

|\Psi (\tau )\rangle =\Psi (\sigma (\tau )).

Derefter kan Schwinger-Tomonaga-ligningen omformuleres i integralformen

|\Psi (\tau )\rangle =|\Psi (0)\rangle -i\hbar \int _{\sigma _{0))^{\sigma (\tau )}{\mathcal {H }}(x)\Psi (\sigma _{x})d^{4}x.

Firedimensionel integration udvides til området omgivet af den oprindelige hyperflade og familiens hyperoverflade , som ligger helt i fremtiden . $\sigma _{0}=\sigma (0)$ $\sigma (\tau )$ $\sigma _{0}$

Lad hyperfladerne defineres af det implicitte udtryk $\sigma (\tau )$

{\tilde {f}}(x,\tau )=0,

hvor er en jævn skalarfunktion . Derefter enhedens normalvektor ${\tilde {f))(x,\tau )$

n_{\mu }(x)={\frac {1}{\sqrt ({\frac {\partial {\tilde {f))(x,t)}{\partial x^{\mu } }}{\frac {\partial {\tilde {f}}(x,t)}{\partial x_{\mu }})))}}{\frac {\partial {\tilde {f}}(x , t)}{\partial x^{\mu }}}.

For nemheds skyld normaliserer vi funktionen, der definerer hyperplanet for at eliminere normaliseringsfaktoren i formlen for det normale $f(x,\tau )=0$

n_{\mu }(x)={\frac {\partial f(x,t)}{\partial x^{\mu ))}.

Differentiering af integralligningen for tilstandsvektorer

{\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau )\rangle =-{\frac {i}{\hbar }}\int _{\sigma (\tau )}\venstre |{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x)|\Psi (\tau )\rangle d\sigma (x),

hvor integrationen udføres over hyperfladen . Denne ligning er en kovariant generalisering af Schrödinger-ligningen. Tage med i overvejelse $\sigma (\tau )\in {\mathcal {F}}$

\int _{\sigma (\tau )}\venstre|{\frac {\partial f}{\partial \tau ))\right|{\mathcal {H))(x)d\sigma (x )=\int _{\sigma (\tau )}\left|n_{0}{\frac {\partial x_{0}}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x )d\sigma (x)=H(\tau )

bevægelsesligningen for tilstandsvektorerne tager formen

i\hbar {\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau )\rangle =H(\tau )|\Psi (\tau )\rangle .

Historisk baggrund

Umiddelbart efter fremkomsten af kvantemekanikken begyndte forsøg på at opbygge dens relativistiske generalisering. Der opstod imidlertid en grundlæggende vanskelighed på denne vej, [1] på grund af det faktum, at tiden i kvantemekanikkens formalisme [8] spiller en væsentligt fremtrædende rolle, forskellig fra koordinater. På den anden side skal tids- og rumkoordinater i relativitetsteorien fungere symmetrisk som komponenter i én 4-vektor.

For at finde en relativistisk generalisering af ligningen for udviklingen af tilstande var det nødvendigt at forstå, at ikke-relativistisk tid spiller to roller på én gang, som er opdelt i den relativistiske generalisering. På den ene side er dette det individuelle tidspunkt for hændelsen - det er denne tid, der skal være symmetrisk med koordinaterne, på den anden side fungerer det som en udviklingsparameter, der bestiller hændelser i rumligt adskilte punkter. Den relativistiske generalisering af denne anden funktion af tid kan være et hvilket som helst sæt af indbyrdes rumlignende punkter, således at enhver tidslignende verdenslinje omfatter ét og kun ét punkt af dette sæt. En sådan samling er en rumlignende hyperflade . $\sigma$

Ligningen i den beskrevne form blev uafhængigt introduceret af S. Tomonaga i 1946 og J. Schwinger i 1948 og tjente som grundlag for konstruktionen af Lorentz-invariant perturbationsteorien .

Noter

↑ 1 2 Prokhorov, 1992 , TOMONAG - SCHWINGER LIGNING.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 1984 , s. 397.
↑ 1 2 Breuer og Petruccione, 2010 , s. 620.
↑ En sådan definition kræver, at den defineres ikke kun på rumlignende hyperflader, men også på deres tilstrækkeligt små variationer.
↑ Bogolyubov og Shirkov, 1984 , s. 400.
↑ 1 2 Breuer og Petruccione, 2010 , s. 622.
↑ Breuer og Petruccione, 2010 , s. 623.
↑ Og også i sin oprindelige formalisme af klassisk Hamilton-mekanik .

Litteratur

Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Introduktion til teorien om kvantiserede felter. - 4. udg., Rev. - M. : Nauka, Hovedudgave af fysisk og matematisk litteratur, 1984. - 600 s. — ISBN 978-5-93972-774-7 .
Breuer H.-P. , Petruccione F. . Teori om åbne kvantesystemer / Pr. fra engelsk. udg. Yu. I. Bogdanova . - M. - Izhevsk: Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", Institute of Computer Research, 2010. - 824 s. — ISBN 978-5-93972-774-7 .
Prokhorov A. M. (red.). Fysisk encyklopædi . - M .: Soviet Encyclopedia , 1992. - T. 3. - 672 s. — ISBN 5-85270-034-7 .